第05讲 二次根式 单元综合检测（重点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第05讲 二次根式 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．在下列二次根式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，不能与 合并的是（     ） A． B． C． D． 3．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．比较大小： 2（填“”或“”或“”） 8．要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 9．计算：    10．的倒数为 ． 11．成立的条件是 ． 12．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 13．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 14．如图，数轴上点所对应的数为，化简： ．    15．不等式的解集是 ． 16．已知，则 ． 17．若的整数部分为a，小数部分为b，求 的值为 ． 18．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 三、解答题 19．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 20．计算：． 21．计算： 22．计算：． 23．计算：． 24．计算： 25．已知，，求的值． 26．如图所示，在面积为的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．    27．设，化简：． 28．（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 29．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 30．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次根式 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．在下列二次根式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【解析】解：A：是最简二次根式，该选项符合题意； B：被开方数是小数，可化为，所以不是最简二次根式，该选项不符合题意； C：，所以不是最简二次根式，该选项不符合题意； D：被开方数是分数，所以不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：A 2．下列二次根式中，不能与 合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式的化简，解题的关键是正确化简二次根式．先化简各个选项的二次根式，再看能否与合并，即可得到答案． 【解析】解：A、，不能和合并，符合题意， B、，能和合并，不符合题意， C、，能和合并，不符合题意， D、，能和合并，不符合题意， 故选：A． 3．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【解析】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 4．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可． 【解析】解：A. 与不属于同类二次根式，不能运算，故A选项运算错误，不符合题意； B. ，故B选项运算错误，不符合题意； C. ，故C不符合题意； D. ，故D选项运算错误，不不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．若，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质及幂的乘方运算的逆运算化简即可得到答案． 【解析】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质及幂的乘方运算的逆运算化简是解决问题的关键． 6．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式解答即可． 【解析】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则 其面积为 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 7．比较大小： 2（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，二次根式大小比较，算术平方根的求解，根据，即可求出结果． 【解析】解：， ， 故答案为：． 8．要使得代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【解析】解：若代数式有意义， 则有且， 解得且． 故答案为：且． 9．计算：    【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的加减法、二次根式的性质与化简，先根据题意判处出与3的大小关系，再根据二次根式的性质进行解题即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．的倒数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数，分母有理化；先根据倒数的定义表示出其倒数，再进行分母有理化即可． 【解析】解：的倒数为， 故答案为：． 11．成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式商的性质，解题的关键是利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组． 【解析】解：要使有意义，则： ， 解得：， 故答案为：． 12．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，可得，，求出a、b，代入即可求解． 【解析】二次根式与是同类根式， ，， 解得：，， ， 故答案为：12． 13．在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是： ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴、二次根式的加减，分两种情况：当这个点在左边时；当这个点在右边时；分别列出式子，计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：， 当这个点在右边时，这个点对应的数为：， 综上所述，表示到这个点的距离为的点对应的数是：或， 故答案为：或． 14．如图，数轴上点所对应的数为，化简： ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的化简；先根据数轴求出，再根据进行化简． 【解析】解：由数轴得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得的解集，解题的关键是熟悉不等式的基本性质：不等式的两边同时除以负数，不等号的方向发生改变． 【解析】解：由，得： ， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得的值，进而可得的值，再计算的值即可． 【解析】解：由题意得：， 解得：， 则， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 17．若的整数部分为a，小数部分为b，求 的值为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了无理数的估算和二次根式的化简求值，得出的值是解题关键． 根据二次根式的估算，分别求出整数部分和小数部分，再代入计算即可得出答案． 【解析】解： 故答案为：6 18．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【解析】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，面积相等 重叠部分也为正方形， 空白部分的面积为， 一个空白长方形面积为， 大正方形面积为12，重叠部分面积为3， 大正方形边长为，重叠部分边长为， 空白部分的长为， 设空白部分宽为，可得：， 解得：， 小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长， 小正方形面积， 故答案为：10 三、解答题 19．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式． 【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定. 【解析】解：根据二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式． 【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开方数为非负数. 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式加减运算，先分母有理化，化简二次根式，再加减计算即可． 【解析】解：原式 ． 21．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算除法和乘法，再化为最简二次根式，然后算加减即可． 【解析】解： ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．先算除法及乘法，再算加减即可． 【解析】解： ． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，先逐项化简，再合并同类二次根式即可． 【解析】解： ． 24．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【解析】 ． 25．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先将，分母有理化，求得和的值，根据完全平方公式求解原式即可． 【解析】解：， ， ∴，， 故原式． 【点睛】本题考查了分母有理化，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 26．如图所示，在面积为的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．    【答案】 【分析】先求出正方形的边长为，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【解析】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 27．设，化简：． 【答案】 【分析】根据完全平方公式将根号下式子因式分解，再利用的取值范围和二次根式的性质，即可化简． 【解析】解：， ， ， ， 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 28．（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 【答案】（1）与无关系，与有关系；当时，，当时，，当时，；（2） 【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，最后去绝对值计算即可； （2）由可得，再变形处理即可． 【解析】（1）与有关系，与无关系．理由如下： ，与无关系； ，与有关系； ， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 当时，， 当时，， （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴， 两边平方，再整理得：， 继续平方，得：， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了考查了二次根式的化简求值：．也考查了绝对值的含义以及代数式的变形能力． 29．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式； （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先化简，再化简原式即可得出答案； （3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 30．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【解析】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$