第06讲 二次根式（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材北师大版

第06讲 二次根式（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+5个知识归纳+22个题型+课后作业】 模块二 二次根式 观察下列代数式： ，，，，（其中，）． 可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 一般地，形如（）的式子叫作二次根式，叫作被开方数．二次根式的运算有怎样的规律呢? 【知识点1 二次根式】 定义：一般地，形如的式子叫做二次根式． 注意：（1）若≥0这个条件不成立，则 不是二次根式； （2）是一个重要的非负数，即：≥0． 【知识点2 二次根式乘除法法则】 1．乘法法则：（，）； 2．积的算术平方根：（，）； 3．除法法则：（，）； 4．商的算术平方根：（，）． 【知识点3 最简二次根式】 1．最简二次根式：必须同时满足下列条件：， （1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （3）分母中不含根式． 【知识点4 同类二次根式】 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 【知识点5 分母有理化】 1．定义：化去分母中的根号叫做分母有理化． 2．方法：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式． 3．常用分母有理化因式：与，与，与，它们也叫互为有理化因式． 【题型1 二次根式的识别】 【例1】下列各式中为二次根式的是（     ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式，故选项不符合题意； B、根指数为3，属于三次根式，故选项不符合题意； C、根指数为2，且被开方数，是二次根式，故选项符合题意； D、2025是整数，不是二次根式，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A中，被开方数，满足定义，故A是二次根式； 选项B中，被开方数，二次根号下负数无意义，故B不是二次根式； 选项C中，，可得，二次根号下负数无意义，故C不是二次根式； 选项D中，是三次根式，不满足定义，故D不是二次根式． 故选：A． 【变式1-2】下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需要满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】根据定义，形如的式子叫做二次根式． A．∵被开方数，∴不是二次根式，故不符合题意； B．∵可以取负数，当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式，故不符合题意； C．∵对任意实数，都有，∴，根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故符合题意； D．∵该式子根指数为，属于三次根式，∴不是二次根式，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 故答案为：3． 【题型2 求二次根式的值】 【例2】当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入二次根式可得． 故选：A． 【变式2-1】当时，二次根式的值是_______． 【答案】 【分析】将代入二次根式的被开方数，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：把代入得：． 故答案为：2． 【变式2-2】要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 故选：A． 【变式2-3】当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【题型3 求二次根式中的参数】 【例3】若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设为正整数，将等式平方整理得到关于的表达式，根据为正整数，即可找出符合条件的的取值． 【详解】解：设，其中为正整数， 等式两边平方得：， 整理得：， 为正整数， 为正整数，且为的倍数， 令，得，是正整数，符合题意， 正整数可能取值为（答案不唯一）． 【变式3-1】若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【分析】化简二次根式，再根据二次根式为整数的条件，结合完全平方数的性质，即可求出正整数a的最小值． 【详解】解：先对进行化简，， 已知是整数，是正整数， ∴必须是整数，即是完全平方数， ∴ 正整数的最小值是． 【变式3-2】若是整数，则满足条件的自然数的值为 ． 【答案】0，7，12，15，16 【详解】解： 有意义， ，即， 是整数， 或或或或， 解得，或或或或 故答案为：0，7，12，15，16． 【变式3-3】已知二次根式是整数，则自然数a的所有可能结果为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合是整数，得到为不超过的非负完全平方数，计算即可得到自然数的所有可能结果． 【详解】解：二次根式有意义， ， 即， 是自然数，是整数， 为不大于的非负完全平方数， ∵不大于的非负完全平方数为 ∴当时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； 若 ，则，不是自然数，舍去； ∴自然数a的所有可能结果为． 【题型4 二次根式有意义的条件】 【例4】若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式有意义要求被开方数为非负数逐项判断即可． 【详解】解：选项A：被开方数为，当时，，此时式子无意义，故A不符合要求； 选项B：被开方数为，当时，，此时式子无意义，故B不符合要求； 选项C：被开方数为，∵任意实数都满足， ∴，仅当时式子有意义，时无意义，故C不符合要求； 选项D：被开方数为，∵任意实数都满足， ∴，恒满足被开方数非负，因此为任意实数时式子都一定有意义． 【变式4-1】若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴被开方数满足， 解得． 【变式4-2】若实数x、y同时满足，则的值为________． 【答案】/0.2 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 【变式4-3】已知关于x的方程 有一个实数根是，那么m的值为（     ） A．5 B．4 C．5或4 D．一切实数 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，结合二次根式的非负性求解即可得到的值． 【详解】解：∵原方程的一个实数根为， ∴将代入， 得 整理得 根据二次根式的性质，被开方数非负，二次根式结果非负，得 ， 解得 ． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【例5】计算____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：． 【变式5-1】化简：______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解：. 【变式5-2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 【变式5-3】下列说法正确的是（     ） A．无意义 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和化简判断即可． 【详解】解：， 有意义，故选项A错误； ，故选项B，D错误， 故选：C． 【题型6 二次根式的乘法】 【例6】估计 的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算化简后无理数的范围，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴在和之间． 【变式6-1】计算：______． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘法法则进行计算，先将两个二次根式合并为一个二次根式，再化简得到结果． 【详解】解：． 【变式6-2】估计的值在(     ) A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】D 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算的取值范围，即可得到原式的范围． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6到7之间． 【变式6-3】如图是一个正方体的展开图，已知这个正方体各对面的式子之积是相等的，那么为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体展开图“相间、字形端点”的特征确定三组相对面，利用已知条件“各对面的式子之积相等”，进而列出关于的方程求解即可． 【详解】解：由正方体展开图的特征可知： “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， 根据正方体各对面的式子之积相等，可得， 解得． 【题型7 二次根式的乘除混合运算】 【例7】计算：． 【分析】利用二次根式乘除运算法则，分别计算系数部分和被开方数部分，再化简即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式7-1】计算：． 【分析】把二次根式的除法化为乘法，计算即可． 【详解】解： =． 【变式7-2】计算：（    ） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型8 最简二次根式的判断】 【例8】下列根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； B．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式． 【变式8-1】下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：最简二次根式需要同时满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A．，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简二次根式； B．，被开方数含分母， 不是最简二次根式； C．的被开方数 不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； D．，分母含根号，不是最简二次根式． 【变式8-2】下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、的被开方数含有分母，不是最简二次根式； B、的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式． 【变式8-3】在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 【题型9 化为最简二次根式】 【例9】将化简为最简二次根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的性质和分母有理化方法即可求解，最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵==， 将分母有理化，分子分母同乘得： =， ∴化简结果为． 【变式9-1】将化为最简二次根式为___________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式9-2】化简： _____． 【答案】 【详解】解：． 【变式9-3】若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【题型10 同类二次根式】 【例10】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； B选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； C选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； D选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数分别为和，不相同，不是同类二次根式． 【变式10-1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，比较化简后的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】选项A：，被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，被开方数为，与不是同类二次根式． 【变式10-2】下列各式中，化简后能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数相同的同类二次根式，将各选项化为最简二次根式，判断被开方数即可得到结果 【详解】解：A．，最简后被开方数为，可以与合并； B．，最简后被开方数为，不可以合并； C．，最简后被开方数为，不可以合并； D．，最简后被开方数为，不可以合并 【变式10-3】下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将化为最简二次根式，再把各选项化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义判断，只有同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式）才能合并； 【详解】解：，化简后被开方数为 A选项 是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； B选项 ，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； C选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； D选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； 【题型11 已知最简二次根式，求参数】 【例11】已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】4 【分析】根据题意，两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，则它们的根指数都为2，且被开方数相等，据此列出关于的方程组求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴． 【变式11-1】如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并 ∴， 解得． 【变式11-2】若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 【变式11-3】若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，能合并的二次根式为同类二次根式，先化简，再结合为整数，求出除外符合条件的的值． 【详解】解：， ∵二次根式与能合并， ∴化简后被开方数为， ∴，其中为正整数，且， 当时，，解得：，为题目给出的已知值； 当时，，解得，符合整数要求． 【题型12 二次根式的加减运算】 【例12】计算： (1)； (2)． 【分析】（）利用算术平方根和立方根的定义先化简，再进行加减运算即可； （）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式12-1】计算：________． 【答案】 【详解】解： 【变式12-2】计算：． 【详解】解：． 【变式12-3】计算：． 【分析】先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， ． 【题型13 分母有理化】 【例13】下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 【变式13-1】下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理化因式的定义，两个含根式的代数式相乘，若积不含有根式，则二者互为有理化因式，将各选项与相乘，判断积是否含根式即可得到结果． 【详解】解：A：，积不含根式，是有理化因式； B：，积不含根式，是有理化因式； C：，乘积仍含有根式，不是有理化因式； D：，积不含根式，是有理化因式． 【变式13-2】下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据倒数定义得到所求表达式，再利用平方差公式化简即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为， ， 对表达式分母有理化，将分子分母同乘， 得 ． 【变式13-3】计算：． 【分析】先对每一项进行分母有理化，再通过裂项相消抵消中间项，计算剩余项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 【题型14 二次根式的混合运算】 【例14】计算 (1) (2) 【分析】（1）先分别进行二次根式的化简和二次根式的乘除法运算，最后进行二次根式减法运算； （2）先分别进行二次根式的乘法、二次根式的化简和绝对值化简，最后进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【变式14-1】计算：． 【分析】原式先分母有理化、根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【变式14-2】计算： (1)； (2) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解； （2）先利用平方差公式、二次根式除法法则算乘除，再算二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式14-3】计算：______． 【答案】 【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可． 【详解】解：， ， ， ． 【题型15 复合二次根式的化简】 【例15】综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式15-1】_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 【变式15-2】形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 【变式15-3】计算：． 【分析】先对两个根号内的多项式配方，将其整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，化简过程去绝对值符号再运算即可． 【详解】解：， ， ∴原式． 【题型16 已知字母的值，化简求值】 【例16】化简求值：，其中． 【分析】先进行开方、分母有理化，再合并同类项，最后代入，即可求解． 【详解】解： 当时，上式． 【变式16-1】先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【变式16-2】先化简，再求值： ，其中，． 【分析】先由二次根式定义确定，然后由二次根式性质变形，再合并同类二次根式化简，最后将，代入计算即可． 【详解】解：在中，由二次根式定义可知， ， 当，时，原式． 【变式16-3】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【分析】（1）根据平方差公式直接求解； （2）先求出的值，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴ ． 【题型17 已知条件式，化简求值】 【例17】已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 【变式17-1】若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 【变式17-2】已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【变式17-3】已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 【题型18 二次根式的比较大小】 【例18】比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【答案】> 【分析】可先计算两个数的平方，通过比较平方的大小判断原数的大小，平方更大的原数更大，据此即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 【变式18-1】比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【答案】< 【分析】两个数均为负数，先对两个数做分子有理化变形，再比较绝对值的大小，根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， 对两个数变形得：， ， ， ， ， ． 【变式18-2】比较大小：_____（填“>、<或=”）． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，判断两个数的正负性，根据有理数大小比较法则“负数小于正数”即可比较大小． 【详解】解：， ， ，， 可得， 根据负数小于正数，得． 【变式18-3】比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 【题型19 二次根式的应用】 【例19】在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间（单位：）与下落高度（单位：）近似满足公式，其中重力加速度取．若一物体从距地面的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 【变式19-1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为3，2，则阴影部分的周长为________． 【答案】 【分析】根据题意运用开平方的方法分别求出大正方形、小正方形的边长，再分别求出阴影部分长方形的长与宽，最后，根据长方形的周长公式代入计算即可． 【详解】解：根据题意知大正方形的面积为3，小正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴阴影部分长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的周长为． 【变式19-2】如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的半径，再利用圆环宽度等于大圆半径减去小圆半径进行计算． 【详解】解：设大圆的半径为 ，小圆的半径为， 由题意得 ，， 解得，， ． 【变式19-3】如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 【答案】27 【分析】设和的两个小正方形的边长为a，b，则，，根据题意可知，，，即，由完全平方公式求得即可． 【详解】解：设和的两个小正方形的边长为a，b，则，， 根据题意可知，，，即， 由得： ， ∴． 【题型20 实数的混合运算】 【例20】计算：． 【详解】解： ． 【变式20-1】计算：． 【详解】解：原式 ． 【变式20-2】计算： 【分析】先计算立方根、算术平方根、负整数指数幂、零指数幂，再进行加减运算即可求解． 【详解】解： ． 【变式20-3】计算：． 【详解】解： ． 【题型21 实数中的新定义问题】 【例21】对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键． 先化简每个根式，比较大小以确定运算规则，再计算每个“”运算的结果，最后相减即可． 【详解】解：化简根式： ， ， ， 计算：由于，根据规则， 计算：由于，根据规则， 整体计算： 故答案为：． 【变式21-1】定义新运算：对于a，b有，根据定义新运算，则________． 【答案】 【分析】根据新定义进行计算即可． 【详解】解：． 【变式21-2】对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种新运算“⊗”，规定根据定义计算的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算及二次根式的运算，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． 根据题意列式后利用二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为：． 【变式21-3】请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【分析】（1）根据新运算的定义，将代入的公式中计算； （2）观察和，乘积为整数，定义新运算时结合其乘积，再通过添加常数项使运算结果为2026． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：示例：对于任意实数，，都有． ． 【题型22 实数中的规律问题 】 【例22】根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … (1)【探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【应用】计算：； (3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可． （2）分析所给的等式可知第n个等式为：，利用规律进行求解即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：由题意可得第n个等式为：， ∴． （3）解：∵（，均为正整数）符合上述规律， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式22-1】如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察得出被开方数是连续自然数，且第k行有个数，先计算前6行的总个数，第7行从左向右数第8个数的被开方数，化简后即可得到结果． 【详解】解：观察数阵可知，被开方数是从1开始的连续自然数，且第行共有个数， ∴前6行的数的总个数为， ∴第7行从左向右数第8个数是整个数阵的第个数，即被开方数为50， ∴所求数为． 【变式22-2】观察下列各式： ． ． (1)在最后一个等式的括号内填上适当的数，使等式成立． (2)从上述各式中你发现了什么规律，请用含有n的式子将其规律表示出来，注明n的取值范围，并用数学知识证明你所写式子的正确性． 【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减1的差，据此可得答案． （2）先计算等号左边被开方数中的分式加法，再利用二次根式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解： ， ……， 以此类推，可知． （2）解：（的整数），证明如下： ． 【变式22-3】设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键． 通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 故选：C． 模块三 课后作业 1．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式要求形如的式子中被开方数，题目要求“一定是”，即无论字母取何值都满足被开方数非负，据此逐个判断即可. 【详解】A、，，不是二次根式； B、，，不是二次根式； C、，，一定是二次根式； D、，当时，不是二次根式. 2．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 3．下列各式，化简后能与合并的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把选项中的二次根式化简后，与是同类二次根式，即可合并． 【详解】解：，与不能合并，故选项A不符合题意； ，与能合并，故选项B符合题意； ，与不能合并，故选项C不符合题意； 与不能合并，故选项D不符合题意． 4．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 5．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的运算规则分别计算，，然后得出，再通过二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 6．如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用算术平方根的性质结合二次根式的化简求出长方形木板的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木板数量. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， 同理：,， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， ∴一共可以截出块两边分别为与的长方形木板. 7．当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 8．若，，化简____________________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 9．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求， 故答案为：2（答案不唯一）． 10．若（其中，为有理数），______． 【答案】 【分析】先对等式左边的分式进行分母有理化，整理等式后分离有理数部分与无理数部分，根据对应系数相等得到关系，计算得出的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 11．小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 【答案】 【分析】（1）根据前4个等式写出第5个等式即可； （2）根据前5个等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1个等式为，即 第2个等式为，即， 第3个等式为，即， 第4个等式为，即， 第5个等式为，即， 归纳推得：第n个等式为，其中n为正整数． 12．计算 (1) (2)； (3) (4)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：∵， ∴ ． 13．已知，求的值． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，再求出，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：要使和有意义，被开方数必须非负，因此： 解得， 将代入， 得； 将，代入式子： ． 14．先化简，再求值：，其中：，． 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 15．已知，，求的值． 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 16．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，把式子正确转化为完全平方公式的形式． （1）根据完全平方公式对式子进行配方，求解即可； （2）根据题意，将式子配成完全平方式的形式，求解即可； （3）分别对，进行化简，变成完全平方式的形式，然后根据二次根式的性质进行化简，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵两个正数 ∴ ∴； （3）解：， 同理可得， ∴， ， ， ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 二次根式（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+5个知识归纳+22个题型+课后作业】 模块二 二次根式 观察下列代数式： ，，，，（其中，）． 可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 一般地，形如（）的式子叫作二次根式，叫作被开方数．二次根式的运算有怎样的规律呢? 【知识点1 二次根式】 定义：一般地，形如的式子叫做二次根式． 注意：（1）若≥0这个条件不成立，则 不是二次根式； （2）是一个重要的非负数，即：≥0． 【知识点2 二次根式乘除法法则】 1．乘法法则：（，）； 2．积的算术平方根：（，）； 3．除法法则：（，）； 4．商的算术平方根：（，）． 【知识点3 最简二次根式】 1．最简二次根式：必须同时满足下列条件：， （1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （3）分母中不含根式． 【知识点4 同类二次根式】 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 【知识点5 分母有理化】 1．定义：化去分母中的根号叫做分母有理化． 2．方法：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式． 3．常用分母有理化因式：与，与，与，它们也叫互为有理化因式． 【题型1 二次根式的识别】 【例1】下列各式中为二次根式的是（     ） A． B． C． D．2025 【变式1-1】下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【题型2 求二次根式的值】 【例2】当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【变式2-1】当时，二次根式的值是_______． 【变式2-2】要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【题型3 求二次根式中的参数】 【例3】若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【变式3-1】若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 【变式3-2】若是整数，则满足条件的自然数的值为 ． 【变式3-3】已知二次根式是整数，则自然数a的所有可能结果为________． 【题型4 二次根式有意义的条件】 【例4】若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【变式4-2】若实数x、y同时满足，则的值为________． 【变式4-3】已知关于x的方程 有一个实数根是，那么m的值为（     ） A．5 B．4 C．5或4 D．一切实数 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【例5】计算____________． 【变式5-1】化简：______． 【变式5-2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【变式5-3】下列说法正确的是（     ） A．无意义 B． C． D． 【题型6 二次根式的乘法】 【例6】估计 的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式6-1】计算：______． 【变式6-2】估计的值在(     ) A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【变式6-3】如图是一个正方体的展开图，已知这个正方体各对面的式子之积是相等的，那么为（     ） A． B． C． D． 【题型7 二次根式的乘除混合运算】 【例7】计算：． 【变式7-1】计算：． 【变式7-2】计算：（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【题型8 最简二次根式的判断】 【例8】下列根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【题型9 化为最简二次根式】 【例9】将化简为最简二次根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】将化为最简二次根式为___________． 【变式9-2】化简： _____． 【变式9-3】若，把化简成最简二次根式为______． 【题型10 同类二次根式】 【例10】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式10-1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列各式中，化简后能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【题型11 已知最简二次根式，求参数】 【例11】已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 【变式11-1】如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式11-2】若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【变式11-3】若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 【题型12 二次根式的加减运算】 【例12】计算： (1)； (2)． 【变式12-1】计算：________． 【变式12-2】计算：． 【变式12-3】计算：． 【题型13 分母有理化】 【例13】下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【变式13-1】下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 【变式13-3】计算：． 【题型14 二次根式的混合运算】 【例14】计算 (1) (2) 【变式14-1】计算：． 【变式14-2】计算： (1)； (2) 【变式14-3】计算：______． 【题型15 复合二次根式的化简】 【例15】综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【变式15-1】_____． 【变式15-2】形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【变式15-3】计算：． 【题型16 已知字母的值，化简求值】 【例16】化简求值：，其中． 【变式16-1】先化简，再求值：，其中． 【变式16-2】先化简，再求值： ，其中，． 【变式16-3】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【题型17 已知条件式，化简求值】 【例17】已知，则_________． 【变式17-1】若，，则代数式的值等于____． 【变式17-2】已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式17-3】已知，则的值为_________． 【题型18 二次根式的比较大小】 【例18】比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【变式18-1】比较大小：________（填“>”、“”、“<”）． 【变式18-2】比较大小：_____（填“>、<或=”）． 【变式18-3】比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【题型19 二次根式的应用】 【例19】在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间（单位：）与下落高度（单位：）近似满足公式，其中重力加速度取．若一物体从距地面的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式19-1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为3，2，则阴影部分的周长为________． 【变式19-2】如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 【变式19-3】如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 【题型20 实数的混合运算】 【例20】计算：． 【变式20-1】计算：． 【变式20-2】计算： 【变式20-3】计算：． 【题型21 实数中的新定义问题】 【例21】对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为____________． 【变式21-1】定义新运算：对于a，b有，根据定义新运算，则________． 【变式21-2】对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种新运算“⊗”，规定根据定义计算的结果为________． 【变式21-3】请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【题型22 实数中的规律问题 】 【例22】根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … (1)【探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【应用】计算：； (3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【变式22-1】如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（   ） A． B． C． D． 【变式22-2】观察下列各式： ． ． (1)在最后一个等式的括号内填上适当的数，使等式成立． (2)从上述各式中你发现了什么规律，请用含有n的式子将其规律表示出来，注明n的取值范围，并用数学知识证明你所写式子的正确性． 【变式22-3】设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．下列各式，化简后能与合并的是（） A． B． C． D． 4．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 5．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．当时，二次根式的值为_________． 8．若，，化简____________________． 9．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 10．若（其中，为有理数），______． 11．小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 12．计算 (1) (2)； (3) (4)． 13．已知，求的值． 14．先化简，再求值：，其中：，． 15．已知，，求的值． 16．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $