第05讲 异面直线间的距离（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第05讲 异面直线间的距离（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：异面直线距离 知识点02：异面直线距离求法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：异面直线的概念及辨析 题型02：异面直线的判定 题型03：求异面直线的距离 题型04：点面距离 题型05：线面距离 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】异面直线距离 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线间的距离。 【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由： 1.两条异面直线有无数条公垂线； 2.异面直线上任意两点连线的长度，大于等于异面直线的距离； 3.和两条异面直线都垂直的直线，就是异面直线的公垂线。 【知识点02】异面直线距离求法 （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求． 【例2】已知正方体，棱长为，求异面直线与之间的距离。 【题型01】异面直线的概念及辨析 【典例1-1】（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【变式1-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【变式1-2】如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）已知，是两条直线，则“，没有公共点”是“，是异面直线”的_________条件．（填“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”或“既非充分又非必要”） 【题型02】异面直线的判定 【典例2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则______ 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面，直线，若，，，，．求证：是异面直线． 【变式2-3】如图，在正方体中，M、N分别是棱、的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由： (1)直线与是相交直线； (2)直线与是平行直线； (3)直线与是异面直线． 【题型03】求异面直线的距离 【典例3-1】（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【变式3-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离． 【变式3-2】如图，在长方体中，，，．求异面直线与之间的距离． 【变式3-3】如图，设正方体的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： (1)与； (2)与． 【题型04】点面距离 【典例4-1】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为______. 【变式4-1】如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．    【变式4-2】如图所示，已知为外一点，，，两两垂直，，求点到平面的距离． 【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 【题型05】线面距离 【典例5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）在长方体中，，，，则直线到平面的距离为______． 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 【变式5-2】如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离. 【变式5-3】已知长方体. （1）求证：平面 （2）若，，求和平面的距离. 知识点01核心概念知识回顾（必背基础） 1. 公垂线定义 和两条异面直线同时垂直、同时相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线。 关键结论：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 2. 异面直线的距离定义 两条异面直线的公垂线段的长度，即为异面直线间的距离。 3. 核心重要性质 异面直线距离是两条异面直线上任意两点连线长度的最小值； 距离为标量，计算结果恒大于0，无负值； 公垂线（直线）≠公垂线段（线段），只有线段长度才是距离。 知识点02解题方法完整梳理 方法1：定义法（公垂线直接法） 适用场景 正方体、长方体、直棱柱等规则几何体，可直观找出公垂线段。 解题核心 找公垂线段→验证垂直+相交→直接计算线段长度 优缺点 优点：计算量最小，适合选择填空题；缺点：复杂几何体无法直接找到垂线。 方法2：线面平行转化法 转化原理 若异面直线，，则： 解题核心 异面直线距离 → 直线到平面距离 → 点到平面距离 方法3：面面平行转化法 转化原理 过两条异面直线分别作两个互相平行的平面，则： 适用场景 两条异面直线均难以做线面平行，适合空间结构对称的棱柱模型。 知识点03高频易错点清单（预习避坑） 误区：只要和两条异面直线都垂直的直线就是公垂线 正解：必须同时满足垂直+相交两个条件，缺一不可 误区：异面直线距离可以为0 正解：异面直线无公共点，距离恒大于0 误区：向量叉乘顺序会改变距离结果 正解：叉乘顺序改变只会改变向量方向，模长不变，距离结果不变 误区：平行直线、相交直线也有异面直线距离 正解：只有异面直线才有该距离，共面直线无此概念 一、填空题 1．已知空间中两条直线，“”是“与相交”的______条件. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）四面体中，所有棱所在的直线构成了________对异面直线． 3．（24-25高二上·上海宝山·期末）空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为__________． 4．（25-26高二下·上海浦东新·期中）在四面体的6条棱中，与棱所在直线异面的是棱__________所在直线. 5．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的______条件．（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”、“充要条件”、“既非充分也非必要条件”） 6．（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，棱长为a，所在直线与成异面直线且距离为a的棱有________条． 7．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为________. 8．（25-26高二上·上海·单元测试）A、B两点到平面α的距离分别是3、5，M是AB中点，则M到平面α的距离是________． 9．（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是________． 10．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______． 11．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是________． 12．已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 二、单选题 13．（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有（   ） A．8对 B．10对 C．12对 D．14对 15．如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 16． 正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知平面，直线，，直线，，A与B不重合．求证：直线a与b是异面直线．    18．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线EF与AB之间的距离．    19．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，与是否为异面直线？请说明理由． 20．已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点. (1)连结，求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线到平面的距离. 21.已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 异面直线间的距离（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：异面直线距离 知识点02：异面直线距离求法 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：异面直线的概念及辨析 题型02：异面直线的判定 题型03：求异面直线的距离 题型04：点面距离 题型05：线面距离 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】异面直线距离 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线间的距离。 【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由： 1.两条异面直线有无数条公垂线； 2.异面直线上任意两点连线的长度，大于等于异面直线的距离； 3.和两条异面直线都垂直的直线，就是异面直线的公垂线。 解：1.错误。根据定义，任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 2.正确。异面直线距离是异面直线上两点连线的最小值，故任意连线长。 3.错误。公垂线需要同时满足两个条件：①与两条异面直线都垂直；②与两条异面直线都相交，缺一不可。 【知识点02】异面直线距离求法 （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求． 【例2】已知正方体，棱长为，求异面直线与之间的距离。 解：步骤1：寻找公垂线段 在正方体中，，，且与两条异面直线均相交，故线段为公垂线段。 步骤2：直接读取长度 正方体棱长为，。 结论：异面直线与的距离为。 【题型01】异面直线的概念及辨析 【典例1-1】（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义直接判断. 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 【变式1-2】如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【答案】C 【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断． 【详解】∵直线a和b没有公共点， ∴直线a与b不是相交直线． ∴直线a与b可能是相交直线或异面直线． 故选：C． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）已知，是两条直线，则“，没有公共点”是“，是异面直线”的_________条件．（填“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”或“既非充分又非必要”） 【答案】必要非充分 【分析】，没有公共点，此时，平行，或，是异面直线，从而得到答案. 【详解】，没有公共点，故，平行，或，是异面直线， 故“，没有公共点”是“，是异面直线”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 【题型02】异面直线的判定 【典例2-1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则______ 【答案】5 【分析】由异面直线的性质结合图形观察可得. 【详解】观察可得，与直线异面的直线有，共5条， 所以. 故答案为：5. 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知平面，直线，若，，，，．求证：是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法结合分类讨论证明即可. 【详解】首先假设不是异面直线，即共面． 如果，因为，所以，这与已知矛盾； 如果直线a与b相交，设，因为，，所以， 同理可得，由公理3得，，得，这与已知矛盾． 综上，假设不成立，即是异面直线 【变式2-3】如图，在正方体中，M、N分别是棱、的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由： (1)直线与是相交直线； (2)直线与是平行直线； (3)直线与是异面直线． 【答案】(1)结论不成立，直线与是异面直线， (2)结论不成立，直线与是异面直线， (3)结论成立． 【分析】（1）（2）（3）由正方体的结构特征，分析直线与直线的位置关系，即可得答案． 【详解】（1）结论不成立， 直线与既不是相交也不平行， 则直线与是异面直线； （2）结论不成立， 直线与既不是相交也不平行， 直线与是异面直线， （3）结论成立，直线与是异面直线． 【题型03】求异面直线的距离 【典例3-1】（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 【变式3-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离． 【答案】 【分析】将异面直线间的距离转化为线面距离，以及点面的距离. 【详解】如图，连接、，在正方体中，∵， ∴平面，∴与平面间的距离等于异面直线与间的距离． 连接、BD，设，．∵，， ∴平面，且平面，∴平面平面． 连接，则平面平面，作于G， 则平面，∴为直线与平面间的距离， 即为异面直线与间的距离． 在中，，， ∴， ∴， 即异面直线与间的距离为． 【变式3-2】如图，在长方体中，，，．求异面直线与之间的距离． 【答案】 【分析】依据题意转化为点到平面的距离，结合等面积法求解长度即可. 【详解】如图，连接，作，设， 由长方体性质得，， 而，面， 所以面，故， 而由长方体性质得，而面， 面，所以面， 所以异面直线的距离转化为到面的距离， 由等面积公式得， 解得，所以异面直线与之间的距离为. 【变式3-3】如图，设正方体的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： (1)与； (2)与． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）（2）依据题意找到公垂线，求解公垂线长度即可. 【详解】（1）由正方体性质得，， 又，，所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. （2）由正方体性质得，， 又，， 所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. 【题型04】点面距离 【典例4-1】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】利用正方体的特征及线面垂直的判定计算即可. 【详解】如图所示，E为侧面的中心， 根据正方体的特征可知平面， 平面，所以， 又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 故答案为： 【变式4-1】如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．    【答案】 【详解】，为边长为的等边三角形， 设到平面的距离为，根据， 则， 解得. 故答案为：. 【变式4-2】如图所示，已知为外一点，，，两两垂直，，求点到平面的距离． 【答案】． 【分析】根据点到平面距离的定义，结合全等三角形的判定定理、勾股定理、三角形外心的定义进行求解即可. 【详解】如图所示，过作平面于点， 连接，，， ，， ， ， ，为的外心． 又，，两两垂直，， 为正三角形，． ∴点到平面的距离为． 【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据异面直线所成角的定义可得即为所求，解直角三角形即可求解； （2）在正方体中，证明面，即可得出点面距离也即线面距离. 【详解】（1）因为，所以即为异面直线与所成角或其补角， 因为，由勾股定理得， 故，所以； （2）连接交于，则， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，则点到平面的距离为. 【题型05】线面距离 【典例5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）在长方体中，，，，则直线到平面的距离为______． 【答案】 【分析】根据已知易证平面且平面平面，结合平面的基本性质，将问题化为求到的距离，即可得. 【详解】由题设，平面，平面，则平面， 所以直线到平面的距离，即为到平面的距离， 由平面，平面， 所以平面平面，又平面平面， 由平面，所以到平面的距离，即为到的距离， 在长方体中，，即，， 所以为正方形，故到的距离是正方形对角线的一半，为. 故答案为： 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 【答案】 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 【变式5-2】如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离. 【答案】 【分析】由，得，则线段的长为到底面ABCD的距离，然后求出即可． 【详解】解：因为， 所以为异面直线AD与所成的角， 所以， 因为正四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD， 所以线段的长为线段到底面ABCD的距离， 因为在中，，， 所以， 所以线段到底面ABCD的距离为． 【变式5-3】已知长方体. （1）求证：平面 （2）若，，求和平面的距离. 【答案】(1) 证明见解析 ；   (2)   【分析】(1) 在长方体中， ,可证平面. (2) 由平面，直线上任意一点到平面的距离都相等,即可以求点到平面的距离,从而可得答案. 【详解】(1)在长方体中，    又平面 所以平面 (2)由(1) 平面， 则直线上任意一点到平面的距离都相等, 所以只需求直线上任意一点到平面的距离, 在长方体中, 平面 且平面，则平面平面 过点作交于, 则平面, 即为直线和平面间的距离 在中，，,则. 由等面积法得： 所以和平面的距离. 【点睛】本题考查线面平行的证明和线面距离，将线面距离转化为点面距离，属于基础题. 知识点01核心概念知识回顾（必背基础） 1. 公垂线定义 和两条异面直线同时垂直、同时相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线。 关键结论：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 2. 异面直线的距离定义 两条异面直线的公垂线段的长度，即为异面直线间的距离。 3. 核心重要性质 异面直线距离是两条异面直线上任意两点连线长度的最小值； 距离为标量，计算结果恒大于0，无负值； 公垂线（直线）≠公垂线段（线段），只有线段长度才是距离。 知识点02解题方法完整梳理 方法1：定义法（公垂线直接法） 适用场景 正方体、长方体、直棱柱等规则几何体，可直观找出公垂线段。 解题核心 找公垂线段→验证垂直+相交→直接计算线段长度 优缺点 优点：计算量最小，适合选择填空题；缺点：复杂几何体无法直接找到垂线。 方法2：线面平行转化法 转化原理 若异面直线，，则： 解题核心 异面直线距离 → 直线到平面距离 → 点到平面距离 方法3：面面平行转化法 转化原理 过两条异面直线分别作两个互相平行的平面，则： 适用场景 两条异面直线均难以做线面平行，适合空间结构对称的棱柱模型。 知识点03高频易错点清单（预习避坑） 误区：只要和两条异面直线都垂直的直线就是公垂线 正解：必须同时满足垂直+相交两个条件，缺一不可 误区：异面直线距离可以为0 正解：异面直线无公共点，距离恒大于0 误区：向量叉乘顺序会改变距离结果 正解：叉乘顺序改变只会改变向量方向，模长不变，距离结果不变 误区：平行直线、相交直线也有异面直线距离 正解：只有异面直线才有该距离，共面直线无此概念 一、填空题 1．已知空间中两条直线，“”是“与相交”的______条件. 【答案】既不充分也不必要 【分析】以正方体为例，举例说明，结合充分条件和必要条件的定义可得. 【详解】以正方体为例，举例说明即可. 如图，在正方体中，，但是异面，即不相交； ，但是、不垂直. 故答案为：既不充分也不必要. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）四面体中，所有棱所在的直线构成了________对异面直线． 【答案】3 【分析】作出正四面体，得到异面直线对数即可. 【详解】如图，我们给出四面体， 共有，，这3对异面直线. 故答案为：3 3．（24-25高二上·上海宝山·期末）空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为__________． 【答案】平行或异面 【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断. 【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线. 故答案为：平行或异面. 4．（25-26高二下·上海浦东新·期中）在四面体的6条棱中，与棱所在直线异面的是棱__________所在直线. 【答案】 【分析】作出图形，利用异面直线的定义判断即可． 【详解】如图所示，四面体的6条棱：, 棱的端点为，过的棱、过的棱都和相交，共面，不是异面直线； 剩余仅棱，与没有公共点，且不共面，因此和互为异面直线. 5．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的______条件．（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”、“充要条件”、“既非充分也非必要条件”） 【答案】充分非必要 【分析】运用充分条件和必要条件的概念，判断“这两条直线为异面直线”能否推出“这两条直线没有公共点”. 【详解】若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行． 若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点． 故若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分不必要条件. 故答案为：充分非必要. 6．（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，棱长为a，所在直线与成异面直线且距离为a的棱有________条． 【答案】4 【分析】由异面直线的判定可得结论． 【详解】解：在正方体中， 与成异面直线的棱且距离为a的有，，，，共4条． 故答案为：4． 7．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为________. 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可. 【详解】连结，与交点为，    因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又，平面，则平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为： 8．（25-26高二上·上海·单元测试）A、B两点到平面α的距离分别是3、5，M是AB中点，则M到平面α的距离是________． 【答案】4或1 【分析】对A、B两点与平面α的相对位置分类讨论计算即可. 【详解】当A、B两点在平面α的同侧时，如下图. ，， 易知为梯形的中位线. 由已知， 根据梯形中位线的性质，得M到平面α的距离是. 当A、B两点在平面α的异侧时，如下图. ，， 易知，， 又为中点，. 易知，， ，即M到平面α的距离是. 综上，M到平面α的距离是或. 故答案为：或. 9．（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是________． 【答案】 【分析】求证且即可得解 【详解】由正方体性质可知平面，平面， 又平面，平面， 所以，， 又，， 故为异面直线与AD的公垂线. 故答案为：. 10．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______． 【答案】②④ 【分析】根据题意，结合异面直线的判定方法，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，如图①所示，连接，因为分别是上下底面对应边的中点， 可得且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以①不符合题意； 对于②，如图②所示，由平面，平面，平面，且直线上， 所以与为异面直线，所以②符合题意； 对于③，如图③所示连接，因为分别各边的中点，可得且， 四边形是以和为腰的梯形，所以和必相交，所以③不符合题意； 对于④，如图④所示，由平面，平面，平面，且直线上， 所以与为异面直线，所以④符合题意. 11．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是________． 【答案】4 【分析】因为分别与、垂直，故是与的公垂线，即可求解． 【详解】因为分别与、垂直，故是与的公垂线， 所以的长4就是与之间的距离， 故答案为：4 12．已知正方体的棱长为4，则直线到平面的距离为___________． 【答案】2 【分析】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可. 【详解】连接与交点为，因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又平面，则平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【答案】C 【分析】根据异面直线的距离定义即可求解. 【详解】由题意，根据异面直线的性质可得，两条异面直线的距离即为它们的公垂线夹在垂足间的线段的长， 故选：C. 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有（   ） A．8对 B．10对 C．12对 D．14对 【答案】C 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】和，和，和，和，和，和， 和，和，和，和，和，和， 共有以上12对异面直线. 故选：C. 15．如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 【答案】D 【分析】结合图形，分别讨论与是从同一点出发的对角线和与不是从同一点出发的对角线时即可得结论. 【详解】如图：长方体中， 直线，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线， 当与是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与相交， 当与不是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与异面， 所以与相交或异面. 16． 正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】连接，它们交于点，证明平面，得的长即为棱到面的距离， 【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知平面，直线，，直线，，A与B不重合．求证：直线a与b是异面直线．    【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用反证法，结合线面平行的判定、性质推理即得. 【详解】假设直线a与b不是异面直线，则或a与b相交， 若，而，，则，又，，则，与矛盾； 若a与b相交，而，，于是，，因此A与B重合，与A与B不重合矛盾， 所以直线a与b是异面直线． 18．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线EF与AB之间的距离．    【答案】 【分析】取的中点G，连接EG、FG，则可证得∥平面，则异面直线EF与AB之间的距离即为直线AB与平面间的距离，再转化为点B与平面的距离，连接，，设，则可得BM为点B到平面的距离，然后求解即可. 【详解】解：取的中点G，连接EG、FG，所以∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面， 所以异面直线EF与AB之间的距离即为直线AB与平面间的距离， 即点B与平面的距离． 连接，，设． 因为∥，，所以． 因为平面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，平面 所以平面，即BM为点B到平面的距离． 因为，， 所以， 即异面直线EF与AB之间的距离为．        19．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，与是否为异面直线？请说明理由． 【答案】与不是异面直线，理由见解析 【详解】与不是异面直线．如图，连接， 因为P是的中点，Q是的中点， 所以是的中位线，故， 而在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以，得到共面，故与共面， 则与不是异面直线得证. 20．已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点. (1)连结，求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据和不共面从而得结论; （2）由直线到平面的距离转换为点到平面的距离，再根据直线和平面的垂直，即可得答案. 【详解】（1）假设和共面，因为，，可确定平面，则平面，而是棱的中点，平面，所以和共面不成立，故和不共面. 故直线与直线是异面直线. （2）因为在正方体中，所以，平面，平面， 所以平面，直线到平面的距离，即点平面的距离， 连接，与交于点， 在正方体中，所以， 又在正方体中，所以平面，由平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面.所以的长度即点平面的距离， 因为正方体中，棱长为2，所以 的长度为. 故直线到平面的距离为. 21. 已知正方体的棱长为，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； (3)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）由平行四边形和三角形中位线性质可证得，由线面平行判定可得结论； （2）取中点，由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可证得，，由线面垂直的判定可得平面，进而得到的长； （3）根据（1）（2）的结论可知所求距离为的长，由（2）可知. 【详解】（1）连接， ，，四边形为平行四边形，； 分别为中点，，， 平面，平面，平面. （2）取中点为， ，， ，，又， ，， 又，，则， ，平面，平面，此时， 则线段上存在点，为中点，使得平面，此时. （3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离， 由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为， 又，直线到平面的距离为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $