第05讲 有理数的乘法与除法（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材人教版

第05讲 有理数的乘法与除法（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+4个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 有理数的加法 同学们，小学已经学过正数与正数的乘法、正数与零的乘法，那么引入负数之后，怎样进行有理数的乘法运算？有理数的乘法运算有几种情况？ （1）计算：(－10)＋(－10)＋(－10)＋(－10)＋(－10)； （2）有理数加减运算中的关键问题是什么？ （3）猜想(－10)×5的结果是多少？(－10)×8的结果呢？ （4）有理数的乘法的关键问题是什么？ 【知识点1 有理数的乘法】 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．0与任何数相乘都得0． 2. 符号法则：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负数；当负因数的个数是偶数时，积为正数． 【知识点2 有理数乘法运算律】 1. 交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 用字母表示： 2. 结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 用字母表示：． 乘法交换律和结合律可以推广为三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中任意几个数相乘，积都不变． 3. 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． 用字母表示：． 乘法分配律对于两个以上的数相加的情形仍然成立，如． 【知识点3 倒数】 一般地，如果1，那么ɑ和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1-1】计算： (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1-2】有下列说法：①两个同号的数相乘，积的符号不变；②互为相反数的两数相乘，积一定为负；③两个有理数的积的绝对值等于这两个有理数的绝对值的积．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】下列说法：①若，则；②若，则；③若，则a或b至少有一个为0；④若，且，则.其中正确的有______． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知a，b，c，d都是有理数，且．若a与b同号，则c与d（    ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．一定同号 【题型3 有理数的乘法运算律】 【例3】在计算时，运用下列哪种运算律可以避免通分（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【变式3-1】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【变式3-3】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【题型4 倒数】 【例4】因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【变式4-1】若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是__________． 【变式4-2】若，互为相反数，，互为倒数，则的值是______． 【变式4-3】已知、互为相反数且，、互为倒数，是最小的正整数，求的值_____． 模块三 有理数的除法 前面我们学习了“有理数的乘法”，那么自然会想到有理数的除法，如何进行有理数的除法运算呢？ （1）有理数的乘法法则是__两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积__； （2）计算，探索： 5×9＝____ 45÷9＝____ (－2)×5＝____ (－10)÷(－2)＝____ 12×(－3)＝____ (－36)÷12＝____ (－5)×(－4)＝____ 20÷(－5)＝____ 0×(－9)＝____ 0÷(－9)＝____ 根据经验和上面的结果我们可以发现有理数的除法与乘法互为逆运算，接下来我们将探索有理数的除法． 【知识点4 有理数除法法则】 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 法则2：两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 【题型5 有理数的除法法则】 【例5】的计算结果是（   ） A． B． C． D．1 【变式5-1】有下列运算：①；②；③0.75÷；④，其中运算正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-3】下列说法：①0除以任何数都得0；②两个互为相反数的数相除商为；③除以一个负数结果总比大；④两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，商不变，那么两数互为相反数．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 有理数的乘除混合运算】 【例6】计算的结果是（   ） A．7 B．49 C． D． 【变式6-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】计算： (1)． (2)． 【变式6-3】阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【题型7 有理数的简便运算】 【例7】用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【变式7-1】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【变式7-2】用运算律简便运算 (1) (2) 【变式7-3】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【题型8 有理数的四则混合运算】 【例8】计算： (1) (2) (3) 【变式8-1】计算： (1)； (2) 【变式8-2】计算：． 【变式8-3】小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 【题型9 有理数的四则混合运算在数轴、绝对值中的应用】 【例9】为任意非零有理数，则的可能取值是（   ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 【变式9-1】已知，，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式9-2】有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是_________（请填序号）． 【变式9-3】已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则_____． 【题型10 有理数的四则混合运算在实际问题中的应用】 【例10】上呼吸道感染常见于秋、冬两季，戴口罩可有效降低呼吸道传染病的传染风险．某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产600个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划生产量相比情况如下表所示（增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数）： 星期 日 一 二 三 四 五 六 增减（单位：个） (1)该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产多少个口罩？ (2)该加工厂实行计件工资，每生产一个医用口罩，工资为0.3元，则该口罩加工厂本周应支付的工资总额是多少元？ 【变式10-1】浆水苹果是河北省邢台市邢台县浆水镇特产．某电商把浆水苹果放到了网上售卖，原计划每天卖，但实际每天的销量与计划相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销售情况 (1)根据表中的数据可知实际最接近原计划一天的销售量的是星期 ，这天的销售量为 ； (2)根据表中数据，销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少千克？ (3)若电商以5.5元的价格购进浆水苹果，又按8元的价格出售，且电商需为买家按0.5元的价格支付运费，求电商这一周一共赚了多少钱． 【变式10-2】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，网约车司机小王新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程，以千米为标准，多于记为“”，不足记为“”； 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（千米） (1)这一周行驶路程最多的一天比最少的一天多走________千米． (2)求小王的新能源汽车这七天平均每天行驶多少千米？ (3)已知小王原来的汽油车每行驶千米需要汽油7升，每升汽油元，而新能源汽车每行驶千米耗电度，每度电元．请你帮小王估算一下，换过新能源汽车后的一个月（按天）比之前的汽油车能节约多少钱？ 【变式10-3】奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取50枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 2 5 10 15 9 6 3 (1)①50枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多________g； ②若允许有的误差，50枚样品中不合格的有________枚； (2)与标准质量相比，50枚样品总计超过或不足的质量为多少g（克）？ 模块四 课后作业 1．计算时，可以使运算简便的是（　　） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．加法结合律 2．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 3．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2850米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为（   ） A． B． C． D． 4．小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是________． 5．设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为______． 6．计算： (1)； (2)； (3)． 7．运用运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 8．若规定：，例如：，试求的值． 9．已知、、都是非零有理数， (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． 10．某校为培养学生节约用水的习惯，对学生家庭每日用水量进行统计．若规定每户每日用水量标准为，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”，下表记录了某同学家一周七天的用水量数据（单位：）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 用水量（） 已知：吨，居民用水原价为2.75元/吨． (1)该同学家用水量最多的一天比最少的一天多多少升？ (2)该同学家这周的总用水量是多少升？若规定每周用水量不超过即为节水达标，判断该同学家这周用水量是否达标？ (3)若该同学家这周前4天按原价缴纳水费，后3天因参与节水活动每吨减少0.2元，求该同学家这周一共缴纳多少水费？（结果保留两位小数） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘法与除法（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+4个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 有理数的加法 同学们，小学已经学过正数与正数的乘法、正数与零的乘法，那么引入负数之后，怎样进行有理数的乘法运算？有理数的乘法运算有几种情况？ （1）计算：(－10)＋(－10)＋(－10)＋(－10)＋(－10)； （2）有理数加减运算中的关键问题是什么？ （3）猜想(－10)×5的结果是多少？(－10)×8的结果呢？ （4）有理数的乘法的关键问题是什么？ 【知识点1 有理数的乘法】 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．0与任何数相乘都得0． 2. 符号法则：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负数；当负因数的个数是偶数时，积为正数． 【知识点2 有理数乘法运算律】 1. 交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 用字母表示： 2. 结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 用字母表示：． 乘法交换律和结合律可以推广为三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中任意几个数相乘，积都不变． 3. 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． 用字母表示：． 乘法分配律对于两个以上的数相加的情形仍然成立，如． 【知识点3 倒数】 一般地，如果1，那么ɑ和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1-1】计算： (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）将带分数化为假分数，根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据“乘以任何数都等于”计算即可； （5）将小数化为分数，根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式1-2】有下列说法：①两个同号的数相乘，积的符号不变；②互为相反数的两数相乘，积一定为负；③两个有理数的积的绝对值等于这两个有理数的绝对值的积．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则逐一分析各说法是否正确：①两个同号的数相乘，符号可能改变；②互为相反数的两数相乘可能为；③绝对值的积等于积的绝对值． 【详解】解：①：两个同号的数相乘，若均为正数，积为正；若均为负数，积也为正，此时积的符号与原符号（负数）不同，故①错误． ②：互为相反数的两数相乘，例如和，积为（负）；但若两数均为，积为（非负）．故②错误． ③：根据有理数乘法性质，，无论取何值均成立，故③正确． 故选：B． 【变式1-3】下列说法：①若，则；②若，则；③若，则a或b至少有一个为0；④若，且，则.其中正确的有______． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了乘法法则，根据“①两数相乘，同号得正，异号得负；②任何数与0相乘，都得0”逐项进行判断即可． 【详解】解：①若，则a、b同号，或，故①错误； ②若，则a、b异号，或，故②错误； ③若，则a或b至少有一个为0，正确； ④若，且，则，正确； 故答案为：③④． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键；小数转化为分数，带分数转化为假分数是易错点，转化的时候要注意； （1）有三个负数相乘，可将负号提至最前，再将分数相乘，约分即可； （2）几个数相乘，中间有零，根据零乘任何数都得零，可直接得出答案； （3）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可； （4）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是熟练运用有理数的乘法法则进行运算． （1）根据有理数的乘法的法则，进行计算即可； （2）根据有理数的乘法的法则，进行计算即可； （3）根据有理数的乘法的法则，进行计算即可； （4）根据有理数的乘法的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ； （3）解： ； （4）解：． 【变式2-2】若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，有理数乘法运算，绝对值意义，由和得，即a和c异号；结合，推出；由和得；最终得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴，即a和c异号， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-3】已知a，b，c，d都是有理数，且．若a与b同号，则c与d（    ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．一定同号 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；由a与b同号，得；结合，推出，然后问题可求解． 【详解】解：∵a与b同号， ∴． ∵， ∴． ∴c与d异号； 故选C． 【题型3 有理数的乘法运算律】 【例3】在计算时，运用下列哪种运算律可以避免通分（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法分配律，根据乘法分配律即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故运用乘法分配律可以避免通分， 故选：C ． 【变式3-1】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 【变式3-2】有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案． 【详解】A．，不含数字，该选项符合题意； B．，含数字，该选项不符合题意； C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意； D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意． 故答案为：A． 【变式3-3】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将999写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 倒数】 【例4】因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：因为，所以和互为倒数， 故选：C． 【变式4-1】若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是__________． 【答案】-8 【分析】根据互为负倒数的定义可知，用-1÷0.125即可得到0.125的负倒数． 【详解】解：0.125的负倒数为：-1÷0.125=-8． 故答案为：-8． 【点睛】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键． 【变式4-2】若，互为相反数，，互为倒数，则的值是______． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，相反数，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据相反数和倒数的定义，可得 和，代入表达式计算即可． 【详解】解： ，互为相反数， ， ，互为倒数， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】已知、互为相反数且，、互为倒数，是最小的正整数，求的值_____． 【答案】1或 【分析】本题考查相反数、倒数、绝对值的定义及代数式求值，关键是根据相关定义求出、、的取值，再分情况代入计算．首先根据相反数的定义得到，倒数的定义得到，绝对值的性质结合最小正整数的概念得到，然后分和两种情况代入代数式计算即可． 【详解】解：∵、互为相反数且， ∴； ∵、互为倒数， ∴； ∵是最小的正整数， ∴，即或． 当时，； 当时，； 故答案为：1或． 模块三 有理数的除法 前面我们学习了“有理数的乘法”，那么自然会想到有理数的除法，如何进行有理数的除法运算呢？ （1）有理数的乘法法则是__两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积__； （2）计算，探索： 5×9＝____ 45÷9＝____ (－2)×5＝____ (－10)÷(－2)＝____ 12×(－3)＝____ (－36)÷12＝____ (－5)×(－4)＝____ 20÷(－5)＝____ 0×(－9)＝____ 0÷(－9)＝____ 根据经验和上面的结果我们可以发现有理数的除法与乘法互为逆运算，接下来我们将探索有理数的除法． 【知识点4 有理数除法法则】 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 法则2：两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 【题型5 有理数的除法法则】 【例5】的计算结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，运用有理数除法的规则解决此题，按正常除法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：A． 【变式5-1】有下列运算：①；②；③0.75÷；④，其中运算正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据有理数混合运算的运算规则，逐一验证四个等式的正误，由此即可得出结论． 【详解】解：①，故①运算正确； ②，故②运算正确； ③，故③运算正确； ④，故④运算正确． ∴正确的共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，牢记有理数除法运算的运算法则是解题的关键． 【变式5-2】下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，根据有理数乘除法运算法则逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、若，，则，原说法正确，不符合题意； 、若，则，原说法正确，不符合题意； 、若，则或，若 ，则无意义，所以原说法错误，符合题意； 、若，则，所以，原说法正确，不符合题意； 故选：． 【变式5-3】下列说法：①0除以任何数都得0；②两个互为相反数的数相除商为；③除以一个负数结果总比大；④两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，商不变，那么两数互为相反数．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数除法的运算规则，涉及零的特殊性、相反数的性质、负数除法的符号规律以及商不变条件下的数的关系． 逐一分析四个说法的正确性：  ①考虑除数是否为；②验证互为相反数的数相除的结果，并考虑除数为的特殊情况；③计算除以负数的结果范围；④分析交换被除数与除数后商不变的条件． 【详解】解：①：除以任何数都得；错误，因为除数不能为，除以非零数才得． ②：两个非零互为相反数的数相除商为；错误，当互为相反数的两个数均为时，除数也为，不符合除法规则． ③：除以一个负数结果总比大；正确，结果为正数（如），正数恒大于． ④：交换被除数与除数商不变，则两数互为相反数；错误，设两数为和，若，则，即或；故两数可能相等或互为相反数． 故选：A． 【题型6 有理数的乘除混合运算】 【例6】计算的结果是（   ） A．7 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式6-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加、减、乘、除法则，依次对各个选项进行计算，注意运算顺序，即可解题． 【详解】解：A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C正确； D. ，故D错误， 故选：C． 【变式6-2】计算： (1)． (2)． 【答案】（1）； （2）. 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式6-3】阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)②③ (2)36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 【题型7 有理数的简便运算】 【例7】用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式7-1】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将式子中写成，通过观察发现可以把公因数提出来，再算出括号里的数，最后与相乘得到最终答案． （2）先把式子中转化成，再提出公因数，再运算得出结果． （3）先把式子中转化成，把公因数提出，再运算得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 【变式7-2】用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式7-3】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【题型8 有理数的四则混合运算】 【例8】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)． (3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式8-1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． （1）先将小数转为分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可； （2）根据有理数混合运算法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键在于熟练掌握运算法则．先计算小括号里的乘法，再计算小括号里的减法，然后计算除法，最后根据去括号法去括号后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式8-3】小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 【答案】(1)一，一 (2) 【分析】（1）先根据有理数混合运算的顺序，分别检查小河和小北的每一步计算：小河在第一步计算时，违反同级运算从左到右的顺序，错误先算，因此从第一步开始出错；小北在第一步计算时，错误对除法使用分配律拆分，因此从第一步开始出错． （2）按照有理数混合运算的正确顺序：先算括号内的减法，再算乘除，最后算减法，同级运算从左到右依次计算，逐步脱式计算出正确结果． 【详解】（1）解：小河计算时，违反同级运算从左到右的计算顺序，先计算了后一项的乘法，第一步就得到错误结果，因此小河从第一步开始出现错误． 小北计算时，错误对除法使用分配律拆分，第一步就得到错误结果，因此小北从第一步开始出现错误． （2）解：正确计算过程如下： ． 【题型9 有理数的四则混合运算在数轴、绝对值中的应用】 【例9】为任意非零有理数，则的可能取值是（   ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值运算和有理数的除法与加减法运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据题意分，、，、，和，四种情况，再根据绝对值运算、有理数的除法与加减法运算即可得． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： （1）当，时，， 则， （2）当，时，， 则， （3）当，时，， 则， （4）当，时，， 则， 综上，的可能取值是或3， 故选：D． 【变式9-1】已知，，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的加法和乘法运算，解题的关键是掌握相关知识．先根据绝对值的定义以及求出、的值，再代入中求解即可． 【详解】解： ， 或，或， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． 故选：A． 【变式9-2】有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是_________（请填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较代数式大小，以及有理数的减法、加法法则，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键．根据有理数的加减法和乘除法运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由，在数轴上的位置可知，， ∴；；；，，， ∴；； 综上，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【变式9-3】已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，代数式求值，根据，确定出a、b、c中有两个负数，一个正数，再分别讨论a、b、c的符号，然后化简绝对值，从而确定x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数或a、b、c中三个都是正数， 又∵， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， 当，则， ∴ ； 当，则， ∴ ； 当，则， ∴ ； ∴， ∴， 故答案为：． 【题型10 有理数的四则混合运算在实际问题中的应用】 【例10】上呼吸道感染常见于秋、冬两季，戴口罩可有效降低呼吸道传染病的传染风险．某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产600个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划生产量相比情况如下表所示（增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数）： 星期 日 一 二 三 四 五 六 增减（单位：个） (1)该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产多少个口罩？ (2)该加工厂实行计件工资，每生产一个医用口罩，工资为0.3元，则该口罩加工厂本周应支付的工资总额是多少元？ 【答案】(1)多生产65个口罩 (2)工资总额为1287元 【分析】（1）表格中最大数减去最小数即可； （2）用总数乘以单价即可得出结果． 【详解】（1）解：（个）； 答：该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产65个口罩． （2）解：（元）； 答：该口罩加工厂本周应支付的工资总额是1287元． 【变式10-1】浆水苹果是河北省邢台市邢台县浆水镇特产．某电商把浆水苹果放到了网上售卖，原计划每天卖，但实际每天的销量与计划相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销售情况 (1)根据表中的数据可知实际最接近原计划一天的销售量的是星期 ，这天的销售量为 ； (2)根据表中数据，销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少千克？ (3)若电商以5.5元的价格购进浆水苹果，又按8元的价格出售，且电商需为买家按0.5元的价格支付运费，求电商这一周一共赚了多少钱． 【答案】(1)二，102； (2)； (3)电商这一周一共赚了1428元． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解题意列出算式． （1）先求出表格中每天记录的数据的绝对值，再比较绝对值的大小，从而判断并解答即可； （2）观察表格，找出销量最多的一天和销量最少的一天，然后列出算式进行计算即可； （3）先求出这一周销售的总克数和每千克的纯利润，然后根据利润千克数每千克的纯利润，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，， ∵， ∴实际最接近原计划一天的销售量的是星期二，这天的销售量为： ， 故答案为：二，102； （2）解：由表格可知：销量最多的一天是星期六，销量最少的一天是星期日， ∴销量最多的一天比销量最少的一天多销售的千克数为： ； （3）解：这一周的实际销售总量比计划总量多的千克数为： ， （元）， ∴ （元）， 答：电商这一周一共赚了1428元． 【变式10-2】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，网约车司机小王新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程，以千米为标准，多于记为“”，不足记为“”； 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（千米） (1)这一周行驶路程最多的一天比最少的一天多走________千米． (2)求小王的新能源汽车这七天平均每天行驶多少千米？ (3)已知小王原来的汽油车每行驶千米需要汽油7升，每升汽油元，而新能源汽车每行驶千米耗电度，每度电元．请你帮小王估算一下，换过新能源汽车后的一个月（按天）比之前的汽油车能节约多少钱？ 【答案】(1) (2) 千米 (3) 元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键； （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是星期五，最少的一天是星期三，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再求七天的平均行驶的路程，即可求解； （3）分别求出汽油费和电费，即可求解． 【详解】（1）解：（千米）， 故答案为：； （2）解：， （千米）， 答：小王的新能源汽车这七天平均每天行驶千米； （3）解：（元）， 答：换过新能源汽车后的一个月（按天）比之前的汽油车能节约元. 【变式10-3】奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取50枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 2 5 10 15 9 6 3 (1)①50枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多________g； ②若允许有的误差，50枚样品中不合格的有________枚； (2)与标准质量相比，50枚样品总计超过或不足的质量为多少g（克）？ 【答案】(1)6；5 (2)50枚样品总计超过质量 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，掌握有理数的混合运算法则是关键． （1）①由超过最多的减去不足最多的可得答案；②根据绝对值大于2的有5枚可得答案； （2）把不足的与超过的相加，根据结果可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意可知，质量最大的一枚比质量最小的一枚质量多：． 故答案为：6； ②由题意可得：绝对值大于2的有枚， 允许有的误差，50枚样品中不合格的有5枚； （2） ， ， 枚样品总计超过的质量为． 模块四 课后作业 1．计算时，可以使运算简便的是（　　） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．加法结合律 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算即乘法运算律，掌握乘法分配律是解题的关键． 根据题意，运用乘法分配律计算即可． 【详解】解：计算时，可以运用乘法分配律使运算简便， 故选：B ． 2．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 3．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2850米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数运算的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键． 根据：每升高100米，气温约下降列出算式解答即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：A． 4．小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是________． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据直接用乘法结合律来计算会非常简便来确定即可． 【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个， 并且直接用乘法结合律来计算会非常简便， 观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算． 故答案为：7． 5．设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为______． 【答案】2 【分析】根据题意，利用有理数的乘法法则判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴a，b，c中有一个负数或三个负数， ∵， ∴a，b，c中负数只有一个，即正数的个数为2个， 故答案为：2． 6．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算除法，再进行加法计算； （2）先计算乘除法，再进行加减计算； （3）先计算括号，再进行乘除法计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； 7．运用运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）先整理原式，再运算括号内，即可作答． （3）先整理原式，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，新定义运算，熟练掌握新定义，是解题的关键．根据新定义，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 9．已知、、都是非零有理数， (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． 【答案】(1)1或-3 (2) 【分析】（1）由条件可推出中有1个或3个负数，再分类讨论即可； （2）由条件可推出三个数同号，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴中有1个或3个负数 当中有1个负数时，原式； 当中有3个负数时，原式 故：的值为1或 （2）解：∵ ∴三个数同号 当均为正数时，原式； 当均为负数时，原式； 故的值为 【点睛】本题考查了绝对值的性质及有理数乘除法．正确判断各数的正负是解题关键． 10．某校为培养学生节约用水的习惯，对学生家庭每日用水量进行统计．若规定每户每日用水量标准为，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”，下表记录了某同学家一周七天的用水量数据（单位：）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 用水量（） 已知：吨，居民用水原价为2.75元/吨． (1)该同学家用水量最多的一天比最少的一天多多少升？ (2)该同学家这周的总用水量是多少升？若规定每周用水量不超过即为节水达标，判断该同学家这周用水量是否达标？ (3)若该同学家这周前4天按原价缴纳水费，后3天因参与节水活动每吨减少0.2元，求该同学家这周一共缴纳多少水费？（结果保留两位小数） 【答案】(1) (2)总用水量是，达标 (3)5.53元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列出式子，并结合有理数的减法法则计算即可得出结果； （2）根据有理数的混合运算法则求出该同学家这周的总用水量，与比较即可得出结果； （3）分别求出前四天和后三天所需要缴纳的水费，相加即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可得：该同学家用水量最多的一天比最少的一天多升； （2）解： ， ∵， ∴该同学家这周用水量达标； （3）解：前四天的水费为： （元）， 后三天的水费为： （元）， 故该同学家这周一共缴纳水费为（元）． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $