2.2 有理数的乘法与除法 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

2.2 有理数的乘法与除法 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册 核心知识点 一、有理数乘法核心法则 1. 基础乘法法则 同号相乘：两数同号（均正或均负），积为正数，绝对值相乘。 示例： 。 异号相乘：两数异号，积为负数，绝对值相乘。 示例： 。 零乘法则：任何数与 0 相乘，结果为 0。 示例：。 2. 多个因数相乘的符号法则 负因数个数决定符号： 若负因数个数为偶数，积为正数； 若负因数个数为奇数，积为负数。 示例： 因数含 0 时：只要有一个因数为 0，积直接为 0。 示例：。 3. 运算步骤 确定符号：根据因数的符号法则判断结果符号。 计算绝对值：将所有因数的绝对值相乘。 示例：计算  符号：2 个负因数（偶数）→ 正； 绝对值：→ 结果为 10 。 二、乘法运算律与简算技巧 1. 乘法交换律 公式： 2. 乘法结合律 公式：。 应用：将易计算的数结合相乘。 示例： 3. 乘法分配律 公式： 三、有理数除法法则 1. 核心转化 法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 即  两变原则：除法变乘法，除数变倒数。 示例： 。 2. 符号法则 同号相除：商为正数，绝对值相除。 异号相除：商为负数，绝对值相除。 示例： 3. 分数化简规则 符号规律：分子、分母、分数本身的符号，改变其中任意两个，分数值不变。 示例： 。 四、乘除混合运算步骤 统一成乘法：将所有除法转化为乘法，同时倒数除数。 确定符号：根据负因数个数判断结果符号。 应用运算律：利用交换律、结合律简化计算。 示例：计算  转化为乘法：； 符号：2 个负因数（偶数）→ 正； 计算： 。 五、倒数的概念与计算 1. 定义 乘积为 1 的两个数互为倒数。 公式：若 。 示例： 3 的倒数是 。 2. 特殊数的倒数 1 和 - 1：倒数是自身。 0：没有倒数。 带分数：先化为假分数再求倒数。 示例： 小数：先化成分数再求倒数。 示例： 。 六、实际应用场景 1. 温度变化 示例：某地气温每天下降 2℃，连续 3 天，总变化量为：（下降 6℃） 。 2. 财务计算 示例：某商品单价 - 8 元（亏损），卖出 15 件，总利润为：元（亏损 120 元） 。 3. 速度问题 示例：汽车以 - 60 km/h 的速度向西行驶 2 小时，总位移为：km（向西 120 km） 。 七、常见错误与注意事项 1. 符号混淆 错误示例：（正确应为 12）。 注意：同号相乘得正，异号相乘得负，与加法法则严格区分 。 2. 倒数计算错误 错误示例：-0.25 的倒数是 4（正确应为 - 4）。 注意：负数的倒数仍为负数，小数需先化成分数 。 3. 运算顺序错误 错误示例 注意：乘除同级运算需从左到右依次进行 。 4. 分配律误用 错误示例：。 注意：分配律需将因数与括号内每个数相乘 。 八、典型例题 1. 基础运算 题目：计算 。 解： 转化为乘法：； 符号：3 个负因数（奇数）→ 负； 绝对值：。 2. 简算应用 题目：计算。 解： 逆用分配律：。 3. 实际问题 题目：某公司每月亏损 5 万元，连续 6 个月后，总亏损是多少？ 解： 专项练习 一、选择题 1．计算–4÷×的结果是（　　） A．4 B．–4 C． D．– 2．一道计算题(-3)×●=-9不慎被墨水覆盖了一部分，则覆盖的数字为(　　) A．-3 B．3 C．-6 D．6 3．形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 计算 的结果是(　　) A．11 B．-11 C．5 D．-2 4．有个填写运算符号的游戏：在“2□3□6-5”中的每个□内，填入+，-，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果，则计算所得结果的最小值为（　　） A．-23 B．-21 C．-12 D．-5 5．某超市卖一种轮滑鞋，售价的是进价，售价的是赚的钱．现在要搞促销活动，原来每双售价为150元的这种轮滑鞋，为保证一双赚的钱不少于30元，最多打（　　）折． A．七 B．七五 C．八 D．八五 6．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折。某玩具汽车原价300元，小明持会员卡购买这辆玩具汽车需要花 (　　) A．240元 B．180元 C．160元 D．144元 7．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24。现有四个有理数：3，4，－6，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形中，把，，，，，，这6个数分别填入下图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，那么的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 9．“井底之蛙”要爬出井来，它每小时往上爬5m，休息一小时又下滑3m，若井深11m，则它爬出井来需　 　h． 10．如图，这是一个运算流程图，当输入x=5时，运算的结果为299．若输出结果为363，则所有满足条件的x(x为正整数)的值为　 　． 11．从“+，一，×，÷”四种运算符号中，挑选一种填入算式“(-2022)□2023”的“□”中，使算得的结果最大，则“□”内应填入的运算符号是　 　。 12．两个有理数相乘，积为-21.若把其中一个因数换成它的相反数，另一个因数不变，则所得的积是　 　. 13．某同学计划在假期每天做6道数学题，超过的题数记为正数，不足的题数记为负数，十天中做题记录如下：-3，5，-4，2，-1，1，0，-3，8，7，那么他十天共做的数学题有　 　道． 14．规定一种新运算“※”，，例如：．根据上面规定计算的值为　 　． 15．冰箱启动时内部温度是，如果每小时冰箱内部的温度降低，那么4小时后，冰箱内部的温度是　 　． 16．如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上m表示的数中最小的为　 　． 三、解答题 17． 计算： （1）（-8）÷4×（-3）； （2）（-1.6）×0.4÷（-0.5）； （3） （4） 18．小强在班级里表演了一个魔术：他让每一位同学在心里想好一个数，然后按照下列步骤进行运算：把这个数乘5，然后减7，再把所得的差乘2，再加14，最后得到的数的个位数字一定是0 （1）小丽心里想的数字是52，她按以上步骤运算后，最后得到的数是多少？ （2）请你运用所学知识解释为什么这个魔术最后得到的数的个位数字一定是0？ 19．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 20．为了增强体质，小明给自己设定：以每天跳绳数量a个为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负。手机应用程序记录小明一周跳绳数量情况记录如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与基准a的差/个 +20 +80 +80 -40 -80 +120 +40 小明周六和周日共跳了1160个。 （1）求a的值。 （2）小明本周共跳绳多少个? 21．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东跑回到自己家 ． （1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点表示出小红家，用点表示出学校的位置； （2）求小彬家与学校之间的距离； （3）如果小明跑步的速度是，那么小明跑步一共用了多长时间？ 22．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅，尤其对于我国来说，新能源汽车产销盘都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）.以 50km 为标准，多于 50km 的记为“+”，不足50km 的记为“_”，刚好 50km 的记为“0”. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） -8 -12 -16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程圾多的一天比最少的一天多走　 　km： （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? （3）已知汽油车每行驶100kmm用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶 100k耗电为1度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱? 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：由−4÷×=−4××（−）=. 故选C． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先根据有理数的除法法则，把除法转化为乘法运算，再利用乘法法，进行计算，即可得到答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得 ● =（-9）÷（-3）=3. 故答案为：B. 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意得： 故答案为：A. 【分析】根据题意定义的二阶行列式的计算法则直接计算即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得， 计算结果的最小值为：2-3×6-5=-21； 故答案为：-21. 【分析】根据题意和题目中的式子可知：2-3×6-5使得式子的结果为负数且值最小，从而可以列出算式，然后计算即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：， ∴打八折时刚好赚30元， ∴为保证一双赚的钱不少于30元，最多打八折， 故答案为：C 【分析】先计算出进价，再由进价加上利润求出打折后的售价，再用打折后的售价除以原售价即可求出答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：300x0.8x0.6-144(元) 故答案为：D. 【分析】根据题意，列出算式，求解即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：A：，符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据有理数的混合运算的顺序：先运算括号，然后运算乘除，最后运算加减计算，然后逐一判断即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：因为三边之和是，等于加三个顶点的值， 所以三个顶点的值最大时，最大， 所以三个顶点的值是，，时，最大， 所以最大为． 故选：B． 【分析】被考查了有理数的加减法的运算法则及应用，将三边所有数字求和，根据三个顶点的值最大时，最大，进而求得有最大值，列出代数式，即可得到答案． 9．【答案】7 【解析】【解答】解：(11-5)÷(5-3)+1+3 =6-2+1+3 =7(小时) 故答案为：7. 【分析】根据题意找出每小时向上爬的实际距离即可求解. 10．【答案】6，23，91 【解析】【解答】解：(363+1)÷4=364÷4=91； (91+1)÷4=92÷4=23； (23+1)÷4=24÷4=6； ∵x为正整数， ∴所有满足条件的x的值为6，23，91． 故答案为：6，23，91. 【分析】流程图描述了输入x后，先乘以4，再减去1，如果结果大于295，则输出结果；否则，将结果作为新的x，重复上述过程，即可得出答案. 11．【答案】+ 【解析】【解答】解：“□”内填入的运算符号是+时，(-2022)+2023=1； “□”内填入的运算符号是一时，(-2022)-2023=-4045， “□”内填入的运算符号是×时，(-2022)×2023=-4090506， “□”内填入的运算符号是÷时，(-2022)÷2023= 因为 所以“□”内应填入的运算符号是+。 故答案为：+. 【分析】分别计算出在算式“(-2022)□2023”中填入不同运算符号十，-，×，÷时的结果，然后比较这些结果，找出其中最大的一个. 12．【答案】21 【解析】【解答】解：∵两个有理数相乘，积为-21.若把其中一个因数换成它的相反数，另一个因数不变，则所得的积是原来的积的相反数。 ∴所得的积是21. 故答案为：21 . 【分析】根据有理数的乘法法则计算出结果即可. 13．【答案】72 【解析】【解答】 故答案为：72 【分析】七天中做题记录的数的和加上6的10倍即可求解． 14．【答案】33 【解析】【解答】解：∵， ∴ . 故答案为：33． 【分析】本题考查了新定义的运算，以及有理数的混合运算，根据新的运算法则，套用公式，结合有理数的运算法则，直接计算，即可得到答案． 15．【答案】 【解析】【解答】解：4小时后，冰箱内部的温度为：． 故答案为：． 【分析】用启动时的温度－4个小时下降的温度即可得4小时后冰箱内部的温度． 16．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得当抽到和时，m的取值最小， ∴m的最小值为． 故答案为：． 【分析】根据3张卡片上各数之积最小为，当抽到和时，m的取值最小，即可得到答案. 17．【答案】（1）解：原式= （2）解：原式= （3）解：原式= （4）解：原式= 【解析】【分析】先将除法运算转换为乘法运算，再利用有理数乘法法则进行计算. 18．【答案】（1）解：根据题意得： 答：小丽最后得到的数是520； （2）解：最后得到的数的个位数字一定是0，理由如下： 设心里想好的数为x， 则按以上步骤运算后得到的数为， 最后得到的数的个位数字一定是0． 【解析】【分析】（1）根据题意，按照题干中的步骤： 把这个数乘5，然后减7，再把所得的差乘2，再加14， ，列式计算，即可求解； （2）设心里想好的数为x，按照题干中的步骤运算后，得出运算后的数为，进而得到最后得到的数的个位数字一定是0，即可求解． （1）解：根据题意得： 答：小丽最后得到的数是520； （2）解：最后得到的数的个位数字一定是0，理由如下： 设心里想好的数为x， 则按以上步骤运算后得到的数为， 最后得到的数的个位数字一定是0． 19．【答案】（1）解： （千米）． 答：地位于地的正东方向，距离地千米． （2）解：行车的总路程为： （千米） 应耗油量：（升） 故应补充的油量为：（升） 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还补充升油． 【解析】【分析】（1）根据题中正数、负数的实际意义，将题中所有数值相加，再根据计算所得结果为21判断B地位于A地的什么方向即可； （2）先求出这一天所行驶的总路程，再计算出这一天一共所需的油量，用这一天一共所需的油量减去油箱容量即可求出应补充的油量. 20．【答案】（1）解： （2）解： (个)， 即小明本周共跳绳3720个. 【解析】【分析】(1)根据正数和负数的实际意义列式计算即可； (2)结合 (1)中所求，根据正数和负数的实际意义列式计算即可. 21．【答案】（1）解：如图所示． （2）解：小彬家与学校的距离是． 故小彬家与学校之间的距离是． （3）解：小明一共跑了， 小明跑步一共用的时间是 ． 答：小明跑步一共用了． 【解析】【分析】（1）根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点的上方写出该点所表示的字母即可； （2）结合数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值，进行计算即可； （3）根据有理数加法法则求出小明所跑的总路程，然后根据时间等于路程除以速度，列式计算即可. （1）解：如图所示． （2）解：小彬家与学校的距离是． 故小彬家与学校之间的距离是． （3）解：小明一共跑了， 小明跑步一共用的时间是 ． 答：小明跑步一共用了． 22．【答案】（1）49 （2）解： 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400km. （3）解：用汽油的费用： (元) ， 用电的费用： (元) ， (元)， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省179.6元. 【解析】【解答】(1) 由表格得： 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km， 故答案为：49； 【分析】(1)根据表格可得行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，把两天行驶路程相减解题； (2)先求出这七天高于 (或低于)50km的标准所行驶的路程，然后加上七天按标准行驶路程解题即可； (3)分别求出汽油费和电费，然后求差解题 学科网（北京）股份有限公司 $$