第2章 一元二次方程全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）新九年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 苏科版新教材一元二次方程单元提高卷，24题覆盖全章核心，融合科技文创、《九章算术》等真实情境，梯度设计适配暑假复习，可量化学生综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|配方、根与系数关系|结合新运算（题5）、几何翻折（题7）考查抽象能力| |填空题|6/30|黄金分割、同伴方程|新定义“同伴方程”（题15）体现创新意识| |解答题|8/80|动态几何、利润模型|科技文创利润问题（题21）培养模型意识，折纸图解方程（题24）融合几何直观与运算能力|

第2章 一元二次方程全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）若关于的方程是由方程配方后得到的，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 2．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 4．（2026·安徽宿州·三模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽六安·期中）我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 7．如图，一张大正方形纸片，E，F，G，H分别为四边上的点，且，现将大正方形的四个角分别沿，，，翻折．四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等，则等于（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 9．（2026·安徽六安·模拟预测）已知三个实数满足，且，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．4 10．（2026·重庆·三模）已知整式，，其中，，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①整式可以为； ②满足条件的所有整式中有5个单项式； ③当，时，关于的方程有实数解，则满足条件的整式有7个； ④当时，，且，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为16． 其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 12．（2026·河南周口·模拟预测）设方程的正根介于整数与之间，则____． 13．（2026·江苏苏州·二模）某长方形的长和宽分别等于关于的一元二次方程的两根，若该长方形的周长和面积的数值相等，则，的关系为______． 14．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 15．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 16．（2026·山东济宁·二模）若关于的一元二次方程（），当，2，3，…，2026时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级下·辽宁大连·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)． 18．（8分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 19．（8分）（25-26八年级下·辽宁大连·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． (1)求实数的取值范围； (2)当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 20．（10分）（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 21．（10分）（25-26八年级下·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即）． 【问题解决】 (1)用含的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是_____件； (2)若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； (3)为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 22．（12分）（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 23．（12分）我们规定：形如（，，为常数，）的函数叫做“奇特函数”．当时，“奇特函数”就是反比例函数．    (1)若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”； (2)如图，点O为坐标原点，矩形的顶点，的坐标分别为、．点D是的中点，连结，交于点E，“奇特函数” 的图象经过，两点． ①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移_______个单位可得到①中所得“奇特函数”的图象．过线段中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于，两点（P在Q的右侧），若以、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 24．（12分）（25-26九年级上·河南南阳·期中）图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等．让我们一起来了解一下吧．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为2的正方形的纸片，先折出，的中点E，F，再沿过点A的直线折叠，使点D落在线段上（即H处），折痕为，点G在边上，连接，． (1)用公式法求方程的解； (2)请利用等面积法借助分别求出线段，的长度，并说明哪条线段的长度值恰好是方程的一个正根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）若关于的方程是由方程配方后得到的，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．将化为一般式，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的方程是由方程配方后得到的， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 2．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， 即， ∵是方程 的两根， ∴， ∴ ． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 4．（2026·安徽宿州·三模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程有两个相等实数根可得判别式，展开化简判别式即可得到正确结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根 ∴，且． 即 ∴ ∴， 即． 5．（25-26八年级下·安徽六安·期中）我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 即： 解得： 故选：C ． 6．（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 7．如图，一张大正方形纸片，E，F，G，H分别为四边上的点，且，现将大正方形的四个角分别沿，，，翻折．四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，又可得，设，，则可得 ，则可得等式，可求得，则，即可求解． 【详解】∵四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等， ∴， ∵，正方形中， ∴， 设，， ∴ ， ∴， 化简得 ， 解得 或 ， ∵， ∴，得， ∴， ∴， ∴． 8．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又 ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 9．（2026·安徽六安·模拟预测）已知三个实数满足，且，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】根据已知等式变形，结合韦达定理构造一元二次方程，利用方程有实数根得出判别式大于等于零，建立关于c的不等式求解范围，最后验证取值成立，求出c的最小值． 【详解】解：， ． ，， ， ． 、是一元二次方程的两个实数根． 方程有实数根， ， ， ． ，两边同时除以16，得 ， 两边同乘正数，得 ． ， ． 当时，方程为，解得， 即，． 将，，代入原式，，，符合题意． 的最小值为1． 10．（2026·重庆·三模）已知整式，，其中，，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①整式可以为； ②满足条件的所有整式中有5个单项式； ③当，时，关于的方程有实数解，则满足条件的整式有7个； ④当时，，且，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为16． 其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题目给出的的约束条件，逐一判断每个说法，结合单项式定义、一元二次方程判别式、枚举法得到正确说法的个数． 【详解】解：由题意得：对，，，为自然数； 对，为正整数， ，故 ， ①若，则，，， ∵不是正整数，不符合条件，故①错误； ②若是单项式： 当时，为常数单项式，可取，共3个； 当时，要是单项式需，可取，共2个； 当时，所有的都为正整数，故至少有2个非零项，不可能是单项式； 总共有个单项式，故②正确； ③ 当，时，， ∵ ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴，且方程有实根， 当时，该方程为 ，为一次方程，必有实根，有三种情况，对应3个不同的； 当 时，，该方程为 ，为一元二次方程， 其判别式 ， 则符合条件，对应2个； 当 时， ，该方程为 ，为一元二次方程， 其判别式 ， 则 符合条件，对应2个； 总共有个，故③正确； ④当时，， ∵， ∴ ， ∴仅时满足， ∵ ，即 ，， ， 当时，得，则或3，和为； 当时，得，则或， 若，则；若，则或4，和为； 当时，得或， 若，则，此时或3， 若，则或， 当时，或3，和为， 当时，或3，和为， 所有最高次项系数和为 ，故④错误． 综上，正确的说法共2个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 12．（2026·河南周口·模拟预测）设方程的正根介于整数与之间，则____． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的求解与无理数的估算，掌握配方法解一元二次方程和利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先通过配方法求出方程的正根为，再根据得到，进而推出，确定正根介于整数与之间，从而求出的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：． 13．（2026·江苏苏州·二模）某长方形的长和宽分别等于关于的一元二次方程的两根，若该长方形的周长和面积的数值相等，则，的关系为______． 【答案】 且 【分析】设，是关于x的一元二次方程的两正实数根，利用根与系数的关系，可得出，,结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系． 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积的数值相等， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得，或，解得， ∵，即， ∴， ∴且． 14．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的定义得到，则，进而代入求解即可． 【详解】解：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去） 15．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程及“同伴方程”的定义，先求解方程的实数根，再分两种情况将相同根代入方程求出，同时验证另一个根是否不同，确保符合“同伴方程”的定义即可． 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． 16．（2026·山东济宁·二模）若关于的一元二次方程（），当，2，3，…，2026时，相应的一元二次方程的两根分别记为，；，；…；，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到对任意， ， ，将所求式子变形后，利用裂项相消法计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ， ∴由根与系数的关系得： ， ； ， ； ， ； ∴原式 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级下·辽宁大连·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， （2）解： 或 18．（8分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【详解】（1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 19．（8分）（25-26八年级下·辽宁大连·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． (1)求实数的取值范围； (2)当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式满足， 即， 解得：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：，， ∵、是矩形两邻边，对角线长为， 由勾股定理得：， 即：， ∴， 解得， 验证：，符合（）中的范围，且两根和、积都为正，边长为正符合题意，故． 20．（10分）（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 21．（10分）（25-26八年级下·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即）． 【问题解决】 (1)用含的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是_____件； (2)若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； (3)为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)此时模型的实际售价为50元 (3)扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元，见解析 【分析】（1）根据题意列出代数式； （2）利用一元二次方程求解； （3）列出一元二次方程，通过根的判别式进行判断． 【详解】（1）解：∵售价60元时销量200件，每降2元增10件， 每降1元，销量增5件， 降价元， 销量； （2）解：每件利润元，销量件，利润2500元，， 整理得， 解得， ， 舍去， 此时模型的实际售价为50元； （3）解：每售出一件捐赠5元， 每件实际利润为元， 假设利润能达到3800元，列方程：， 展开并整理得， ∵此方程中， ， ∴该一元二次方程无实数根， 不存在满足条件的售价 ∴扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元． 22．（12分）（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 23．（12分）我们规定：形如（，，为常数，）的函数叫做“奇特函数”．当时，“奇特函数”就是反比例函数．    (1)若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”； (2)如图，点O为坐标原点，矩形的顶点，的坐标分别为、．点D是的中点，连结，交于点E，“奇特函数” 的图象经过，两点． ①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移_______个单位可得到①中所得“奇特函数”的图象．过线段中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于，两点（P在Q的右侧），若以、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，是“奇特函数” (2)①，②2， 【分析】（1）根据矩形的面积公式，可得函数解析式，根据分式的加减，可得答案； （2）①根据图象的交点，可得E点坐标，根据待定系数法，可得奇特函数解析式； ②根据图象右移减，上移加，可得答案；先求出，设，根据四边形是矩形，可得，即有，根据勾股定理可得，令，即有，解方程可得P点坐标． 【详解】（1）由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“奇特函数”； （2）①∵矩形的顶点，的坐标分别为、， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 设直线的解析式为：， 即有：，解得：， ∴得到直线解析式为， 设直线的解析式为：， 把的坐标，代入 得 解得 ∴直线解析式为， 联立得：，解得：，即， 将，代入函得： ， 整理得：， 解得：， 则“奇特函数”的解析式为； ②∵， ∴将反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移 2个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象； ∵，，点M是线段中点， ∴， 如图，P在Q的右侧，    设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 整理：， 令，且，即， ∴， 解得：，， 经检验：是原方程的解 ∴，或者， ∴，，，， 结合图象可知： ，，不符合题意，舍去， 即， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理以及图象平移的规律，正确得出是解答本题的关键． 24．（12分）（25-26九年级上·河南南阳·期中）图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等．让我们一起来了解一下吧．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为2的正方形的纸片，先折出，的中点E，F，再沿过点A的直线折叠，使点D落在线段上（即H处），折痕为，点G在边上，连接，． (1)用公式法求方程的解； (2)请利用等面积法借助分别求出线段，的长度，并说明哪条线段的长度值恰好是方程的一个正根． 【答案】(1)， (2)，，线段的长度恰好是方程的一个正根 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． （1）直接用求根公式解答即可； （2）设，则，由折叠的性质可知≌，是的中点，则，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：在方程 中，，，． ． 将其代入求根公式，得． 所以方程的解为，． （2）解：设，则， 由折叠的性质可知：，是的中点， ，， 根据勾股定理得：， ， ， 解得：，即， 的解为：， 取正值为， ∴线段的长度恰好是方程的一个正根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $