专题07 复数（11大题型归纳）（暑假复习讲义）新高二数学沪教版

专题07 复数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 复数的实部虚部与共轭复数 题型7 复数对应的象限 题型2 复数的相等 题型8 复数的向量表示 题型3 复数的加减乘除运算 题型9 求复数的模长 题型4 复数范围内方程的根 题型10 复数的模长与轨迹问题 题型5 复数的乘方 题型11 复数的三角表示 题型6 复平面与复数的坐标表示 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 复数及其四则运算 1基础填空/选择题：判断实数、虚数、纯虚数，求复数实部虚部，高次幂化简，简单四则运算求值，共轭复数计算，分值4分基础送分题 2参数求值小题：利用复数相等列方程组求字母参数，高频陷阱忽略纯虚数限制条件 3简单解答前置计算：结合模长、几何意义先做复数化简运算 4命题陷阱：纯虚数易遗漏实部为0且虚部不为0；除法忘记分母整体乘共轭；计算符号出错 复数的几何意义 1填空小题：已知复数求模，利用模长性质快速化简计算，复平面点坐标匹配 2轨迹类中档题：根据模长等式判断图形（圆、直线），求参数取值范围 3数形结合综合：结合距离最值，求型最值，转化平面解析几何求解 4易错命题点：混淆虚轴原点（原点是实数，不属于纯虚数对应点）；几何意义理解错误 实系数一元二次方程 1基础选择填空：判断方程根类型，已知一根求另一共轭虚根，利用韦达定理求和与积 2参数大题：已知方程有实根/纯虚根，求系数参数范围，分正负讨论 3综合题型：结合复数模长、共轭条件联立求解方程系数 4高频陷阱：虚根场景下忘记实系数方程根成对共轭；使用韦达定理时分母遗漏 复数的三角形式（选学拓展） 1单元拓展小题：代数、三角形式互相转化，利用三角形式快速求高次幂 2几何旋转综合：复数乘法对应复平面向量旋转，结合角度、模长求解 3校内单元测试少量考查，正式统考分值占比低，多作为拓展拔高题型 4易错点：三角形式要求模，括号内在前在后，符号不可颠倒；辐角主值范围记错 考情解码： 1.仅填空选择整体难度偏低 2难度分层基础题占七成中档含参题型两成三角形式拓展拔高仅少量出现 3板块命题重点 9.1复数四则运算（必考核心）考查实虚部识别纯虚数判定i幂次化简共轭复数复数相等求参易错点纯虚数遗漏 9.2复数几何意义依托复平面转化模长求解距离轨迹最值易混淆模长几何含义 9.3实系数一元二次方程判别式分类讨论共轭虚根定理虚根适用韦达定理 9.4复数三角形式（选学拓展）统考极少考查仅掌握互化与棣莫弗基础即可 知识点一 复数及其四则运算 知识梳理 1数系扩充背景 实数范围内负数无法开平方，为解决无实数解的问题，引入新数，规定，将实数集扩充为复数集 2复数定义 形如（）的数称为复数，记作 3复数组成部分 叫做复数的实部，叫做复数的虚部 4复数分类 ①当时，，复数为实数 ②当时，，复数为虚数 ③当且时，，复数为纯虚数 5复数相等定义 两个复数，相等的充要条件：实部、虚部分别对应相等，即 6共轭复数 对于，定义为的共轭复数 运算性质：，， 恒等式： 7虚数单位的幂次周期性 ，周期为4，高次幂计算只需用指数除以4取余数化简 8复数四则运算法则 设 （1）加法： （2）减法： （3）乘法：，多项式展开后将替换为再合并同类项 （4）除法（分母实数化）：，分子分母同乘分母的共轭复数消去分母虚部 核心结论 1，实部，虚部 2实数；虚数；纯虚数 3周期4， 4 5 6加减实虚部分别合并，乘法展开代换，除法同乘分母共轭实数化 【易错提醒】 1.判定纯虚数只写，遗漏核心条件 2.复数除法只给分子乘共轭，分母不变，未同步变形 3.高次幂直接硬算，不会利用周期简化运算 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知为虚数单位，则__________． 2.（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知复数； (1)求 (2)若复数满足，求. 知识点二 复数的几何意义 知识梳理 1复平面定义 建立平面直角坐标系，横轴为实轴，纵轴为虚轴，该平面称为复平面 2三者一一对应关系 任意复数 ①对应复平面内唯一一点 ②对应平面向量 反之，平面内点、原点出发向量都唯一对应一个复数 3复数的模 向量的模叫做复数的模，记作 计算公式：，模长恒为非负实数 4模长运算性质 ，，， 5两点距离几何含义 设复数对应点，则两点间距离 6复数模长对应平面轨迹 （1）：以复数对应点为圆心，为半径的圆 （2）：点连线的垂直平分线 7复数加减几何法则 加法遵循平行四边形法则，减法遵循三角形法则 核心结论 1，实轴，虚轴 2，模长乘积商等于商乘积的模 3表示复平面两点间距离 4为圆，为垂直平分线 【易错警示】 1.坐标原点在实轴上，原点对应的复数是实数0，不属于纯虚数 2.混淆（到原点距离）与（到定点距离）的图形含义 3.错误拆分模长，认为 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）设，复数． (1)若为纯虚数，求a的值； (2)若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 2.（25-26高一下·上海杨浦·期中）在复平面内，复数（为虚数单位) 对应的点为． (1)若为实数，求实数 的值； (2)若 ，复数 满足，且，在复平面内对应的点为 ，求． 知识点三 实系数一元二次方程 知识梳理 1复数范围内一元二次方程通用形式 ，判别式 2分三类讨论根的情况 （1）：方程有两个不相等的实数根 （2）：方程有两个相等的实数根 （3）：方程无实数根，存在一对共轭虚根 3共轭虚根定理 仅实系数一元二次方程满足：若，两根互为共轭复数，即；复系数方程无此性质 4韦达定理（根与系数关系） 无论方程根为实数还是虚数，均满足 5复数集求根公式 当时，，根写作含的复数形式 核心结论 1两不等实根；两相等实根；一对共轭虚根 2只有实系数方程无实根时，两根共轭 3虚实根通用韦达定理： 4求根公式通用，负数开平方转化为形式 【易错警示】 1.共轭虚根定理只适用于实系数方程，复系数方程不成立 2.使用韦达定理时常遗漏分母二次项系数 即时即练 1.（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知实系数一元二次方程有虚根，另一根为． (1)求实数的值； (2)求的值． 2.（24-25高一下·上海·期末）已知是关于的方程的两个虚根； (1)若（为虚数单位），求实数的值； (2)若满足，求实数的值. 知识点四 复数的三角形式（选学拓展） 知识梳理 1三角形式定义 设复数的模，辐角满足，则称为复数三角形式 2辐角与主辐角 适合等式的称为复数的辐角；满足的辐角叫做辐角主值，记作 3代数形式与三角形式互化 已知求，再由确定辐角；已知三角式直接展开得到 4三角形式四则运算 （1）乘法：模相乘，辐角相加 几何意义：对应向量旋转、模长伸缩 （2）除法：模相除，辐角相减 5棣莫弗定理（复数乘方） ，快速计算复数高次幂 核心结论 1标准三角式 2实现代数、三角互化 3三角乘法模乘辐角加，除法模除辐角减 4棣莫弗定理：幂次对应模次方，辐角乘 【易错警示】 1.非标准三角形式不能直接套用乘除、乘方公式 2.书写颠倒与顺序，格式不规范 3.记错辐角主值范围 即时即练 1.（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 2.（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 题型1 复数的实部虚部与共轭复数 例1．（2026·上海·模拟预测）若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 例2．（25-26高一下·上海·期末）已知 与 互为”共轭复数”，其中 为虚数单位，则 的值为 ______. 【技巧总结】 核心结论 ，实部，虚部，共轭复数 方法技巧 1.先把复数整理成标准形式，再区分实虚部，虚部只看数字不含 2.求共轭仅改变虚部符号，实部保持不变 3.出现分式复数先分母实数化，再提取实、虚部 4.纯虚数判定：实部且虚部，缺一不可 【变式训练1-1】（25-26高一下·上海宝山·期末）已知为虚数单位，则复数的虚部是____________． 【变式训练1-2】（25-26高一下·上海·期末）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 题型2 复数的相等 例1．（25-26高三上·上海·阶段检测）i为虚数单位，（），则_________. 例2．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【技巧总结】 【变式训练2-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，其中、，则_________． 【变式训练2-2】（2025·上海徐汇·三模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部为______. 题型3 复数的加减乘除运算 例1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）若复数满足（为虚数单位），则_____. 例2．（25-26高一上·上海·期中）若复数满足（为虚数单位），则________. 【技巧总结】 加减：实虚部分别合并；乘法展开代换，除法分子分母同乘分母共轭实数化 【变式训练3-1】（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【变式训练3-2】（2025·上海静安·一模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________． 题型4 复数范围内方程的根 例1．（2026·上海·三模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 例2．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【技巧总结】 实系数一元二次方程时根为一对共轭虚根，虚实根均满足韦达定理 虚根求和、积无需展开，直接套用 【变式训练4-1】（24-25高一下·上海·期末）已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 【变式训练4-2】（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 题型5 复数的乘方 例1．（25-26高一下·上海·期中）计算：__________. 例2．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）复数  _____. 【技巧总结】 1.纯高次幂：指数除以4取余数，余数对应简化结果 2.代数形式高次幂：低次直接乘法展开，高次优先转化三角形式 3.三角形式乘方：模取次方，辐角乘 4.先化简复数基础形式，再进行乘方运算 【变式训练5-1】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练5-2】（24-25高一·上海·随堂练习）且，________． 题型6 复平面与复数的坐标表示 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 ______. 例2．（25-26高三上·上海松江·期末）复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 【技巧总结】 对应点，横坐标实部，纵坐标虚部 【变式训练6-1】（24-25高一下·上海·期中）在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（24-25高三上·上海·期中）复数（是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为__________. 题型7 复数对应的象限 例1．（24-25高三上·上海·期中）在复平面内，复数对应的点位于第______象限. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于 (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)第四象限． 【技巧总结】 点：一象限，二象限，；三象限，四象限；坐标轴不属于任何象限 【变式训练7-1】（25-26高一下·上海青浦·期中）已知复数 (1)如果复数是纯虚数，求的值 (2)如果复数在复平面上所对应的点在第四象限，求的取值范围 【变式训练7-2】（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为___________； 题型8 复数的向量表示 例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·上海静安·期末）设复数与(其中i为虚数单位)在复平面上所对应的向量分别为与（O为坐标原点），则与的数量积为___________. 【技巧总结】 对应向量.复数加减对应向量三角形、平行四边形法则 【变式训练8-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知复数，（，为虚数单位）. (1)若，且，求与的值； (2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 【变式训练8-2】（24-25高三上·上海·期中）已知复数，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影． 题型9 求复数的模长 例1．（25-26高一下·上海·期末）复数，则__________． 例2．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知，，且，则________． 【技巧总结】 ，模长性质： 【变式训练9-1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 【变式训练9-2】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____． 题型10 复数的模长与轨迹问题 例1．（25-26高二下·上海·期末）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________． 例2．（25-26高一下·上海徐汇·期末）设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为_________． 【技巧总结】 圆，垂直平分线，椭圆 【变式训练10-1】（25-26高一下·上海·期末）设全集，，，若 ，则复数 在复平面内对应的点形成图形的面积为 ______. 【变式训练10-2】（25-26高二下·上海·期中）已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 题型11 复数的三角表示 例1．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 例2．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【技巧总结】 ，，主辐角；乘法模乘辐角加，除法模除辐角减 【变式训练11-1】（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）已知复数满足，且存在非零实数，使得 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围: (3)设，且 ，求的取值范围. 【变式训练11-2】（23-24高一·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 2．（2026·上海黄浦·三模）已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（     ）． A．3 B． C． D． 3．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知复数（为虚数单位）为纯虚数则实数（    ） A．0 B． C．或0 D．1 4．（25-26高一下·上海宝山·期末）已知复数和所对应的向量分别是、，则下列结论错误的是（     ） A．对应的复数是 B．对应的复数是 C．的充要条件是存在唯一实数，使得 D．的充要条件是 5．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26高一下·上海徐汇·期末）设 是虚数单位，则复数 的虚部为_________． 7．（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 8．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知复数的虚部为4，则___________ 9．（25-26高一下·上海·期中）已知，若为复数，且，，则______． 10．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 11．（25-26高一下·上海·期末）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为__________． 12．（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 13．（2026·上海·模拟预测）已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 14．（25-26高一下·上海·期中）在复平面内，把复数对应的向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是___． 三、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，求． 17．（24-25高二上·上海·期中）已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 18．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，i为虚数单位，复数 (1)当复数 为纯虚数时，求 的值； (2)已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，若、在复平面上分别对应点A、B，且，求的立方根． 20．（25-26高一下·上海·期末）已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． (1)求的取值范围； (2)当A、B、C三点共线时，求实数a的值． 21．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知虚数和虚数是关于的方程（ ，且）的两个根. (1)若，且满足 ，求虚数的虚部； (2)若 且，求实数的值. 22．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足． (1)求的取值范围； (2)若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值； (3)在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 复数 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 复数的实部虚部与共轭复数 题型7 复数对应的象限 题型2 复数的相等 题型8 复数的向量表示 题型3 复数的加减乘除运算 题型9 求复数的模长 题型4 复数范围内方程的根 题型10 复数的模长与轨迹问题 题型5 复数的乘方 题型11 复数的三角表示 题型6 复平面与复数的坐标表示 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 复数及其四则运算 1基础填空/选择题：判断实数、虚数、纯虚数，求复数实部虚部，高次幂化简，简单四则运算求值，共轭复数计算，分值4分基础送分题 2参数求值小题：利用复数相等列方程组求字母参数，高频陷阱忽略纯虚数限制条件 3简单解答前置计算：结合模长、几何意义先做复数化简运算 4命题陷阱：纯虚数易遗漏实部为0且虚部不为0；除法忘记分母整体乘共轭；计算符号出错 复数的几何意义 1填空小题：已知复数求模，利用模长性质快速化简计算，复平面点坐标匹配 2轨迹类中档题：根据模长等式判断图形（圆、直线），求参数取值范围 3数形结合综合：结合距离最值，求型最值，转化平面解析几何求解 4易错命题点：混淆虚轴原点（原点是实数，不属于纯虚数对应点）；几何意义理解错误 实系数一元二次方程 1基础选择填空：判断方程根类型，已知一根求另一共轭虚根，利用韦达定理求和与积 2参数大题：已知方程有实根/纯虚根，求系数参数范围，分正负讨论 3综合题型：结合复数模长、共轭条件联立求解方程系数 4高频陷阱：虚根场景下忘记实系数方程根成对共轭；使用韦达定理时分母遗漏 复数的三角形式（选学拓展） 1单元拓展小题：代数、三角形式互相转化，利用三角形式快速求高次幂 2几何旋转综合：复数乘法对应复平面向量旋转，结合角度、模长求解 3校内单元测试少量考查，正式统考分值占比低，多作为拓展拔高题型 4易错点：三角形式要求模，括号内在前在后，符号不可颠倒；辐角主值范围记错 考情解码： 1.仅填空选择整体难度偏低 2难度分层基础题占七成中档含参题型两成三角形式拓展拔高仅少量出现 3板块命题重点 9.1复数四则运算（必考核心）考查实虚部识别纯虚数判定i幂次化简共轭复数复数相等求参易错点纯虚数遗漏 9.2复数几何意义依托复平面转化模长求解距离轨迹最值易混淆模长几何含义 9.3实系数一元二次方程判别式分类讨论共轭虚根定理虚根适用韦达定理 9.4复数三角形式（选学拓展）统考极少考查仅掌握互化与棣莫弗基础即可 知识点一 复数及其四则运算 知识梳理 1数系扩充背景 实数范围内负数无法开平方，为解决无实数解的问题，引入新数，规定，将实数集扩充为复数集 2复数定义 形如（）的数称为复数，记作 3复数组成部分 叫做复数的实部，叫做复数的虚部 4复数分类 ①当时，，复数为实数 ②当时，，复数为虚数 ③当且时，，复数为纯虚数 5复数相等定义 两个复数，相等的充要条件：实部、虚部分别对应相等，即 6共轭复数 对于，定义为的共轭复数 运算性质：，， 恒等式： 7虚数单位的幂次周期性 ，周期为4，高次幂计算只需用指数除以4取余数化简 8复数四则运算法则 设 （1）加法： （2）减法： （3）乘法：，多项式展开后将替换为再合并同类项 （4）除法（分母实数化）：，分子分母同乘分母的共轭复数消去分母虚部 核心结论 1，实部，虚部 2实数；虚数；纯虚数 3周期4， 4 5 6加减实虚部分别合并，乘法展开代换，除法同乘分母共轭实数化 【易错提醒】 1.判定纯虚数只写，遗漏核心条件 2.复数除法只给分子乘共轭，分母不变，未同步变形 3.高次幂直接硬算，不会利用周期简化运算 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知为虚数单位，则__________． 【答案】 【详解】 2.（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知复数； (1)求 (2)若复数满足，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用复数乘法运算求解； （2）由复数的除法运算化简求解. 【详解】（1）由题设； （2）由题设 . 知识点二 复数的几何意义 知识梳理 1复平面定义 建立平面直角坐标系，横轴为实轴，纵轴为虚轴，该平面称为复平面 2三者一一对应关系 任意复数 ①对应复平面内唯一一点 ②对应平面向量 反之，平面内点、原点出发向量都唯一对应一个复数 3复数的模 向量的模叫做复数的模，记作 计算公式：，模长恒为非负实数 4模长运算性质 ，，， 5两点距离几何含义 设复数对应点，则两点间距离 6复数模长对应平面轨迹 （1）：以复数对应点为圆心，为半径的圆 （2）：点连线的垂直平分线 7复数加减几何法则 加法遵循平行四边形法则，减法遵循三角形法则 核心结论 1，实轴，虚轴 2，模长乘积商等于商乘积的模 3表示复平面两点间距离 4为圆，为垂直平分线 【易错警示】 1.坐标原点在实轴上，原点对应的复数是实数0，不属于纯虚数 2.混淆（到原点距离）与（到定点距离）的图形含义 3.错误拆分模长，认为 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）设，复数． (1)若为纯虚数，求a的值； (2)若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)若复数为纯虚数，则实部为0且虚部不为0，结合条件求解即可； (2)若复数在第四象限，则实部大于0，虚部小于0，求解即可. 【详解】（1），若为纯虚数，则，解得. （2）若在复平面内表示的点位于第四象限，则，解得，则的取值范围为. 2.（25-26高一下·上海杨浦·期中）在复平面内，复数（为虚数单位) 对应的点为． (1)若为实数，求实数 的值； (2)若 ，复数 满足，且，在复平面内对应的点为 ，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法运算结合复数的概念即可求解； （2）设，由得，再由，即可解出，进而求解. 【详解】（1）由， 又因为为实数，所以，解得； （2）设，所以 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点为 由， 又，所以， 所以， 又，所以，即， 解得，又，所以， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以. 知识点三 实系数一元二次方程 知识梳理 1复数范围内一元二次方程通用形式 ，判别式 2分三类讨论根的情况 （1）：方程有两个不相等的实数根 （2）：方程有两个相等的实数根 （3）：方程无实数根，存在一对共轭虚根 3共轭虚根定理 仅实系数一元二次方程满足：若，两根互为共轭复数，即；复系数方程无此性质 4韦达定理（根与系数关系） 无论方程根为实数还是虚数，均满足 5复数集求根公式 当时，，根写作含的复数形式 核心结论 1两不等实根；两相等实根；一对共轭虚根 2只有实系数方程无实根时，两根共轭 3虚实根通用韦达定理： 4求根公式通用，负数开平方转化为形式 【易错警示】 1.共轭虚根定理只适用于实系数方程，复系数方程不成立 2.使用韦达定理时常遗漏分母二次项系数 即时即练 1.（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知实系数一元二次方程有虚根，另一根为． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将根代入方程，根据复数相等的条件求出的值；（2）由根与系数的关系得到，代入求解. 【详解】（1）实系数一元二次方程有虚根， 代入可得， 化简得， ，解得. （2），， . 2.（24-25高一下·上海·期末）已知是关于的方程的两个虚根； (1)若（为虚数单位），求实数的值； (2)若满足，求实数的值. 【答案】(1)4 (2)5 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. （2）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. 【详解】（1）因为是关于的方程的两个虚根， 当时，. 所以 . （2）设，则， 由 . 又因为，所以， 所以 . 所以分别对应复数和. 所以. 知识点四 复数的三角形式（选学拓展） 知识梳理 1三角形式定义 设复数的模，辐角满足，则称为复数三角形式 2辐角与主辐角 适合等式的称为复数的辐角；满足的辐角叫做辐角主值，记作 3代数形式与三角形式互化 已知求，再由确定辐角；已知三角式直接展开得到 4三角形式四则运算 （1）乘法：模相乘，辐角相加 几何意义：对应向量旋转、模长伸缩 （2）除法：模相除，辐角相减 5棣莫弗定理（复数乘方） ，快速计算复数高次幂 核心结论 1标准三角式 2实现代数、三角互化 3三角乘法模乘辐角加，除法模除辐角减 4棣莫弗定理：幂次对应模次方，辐角乘 【易错警示】 1.非标准三角形式不能直接套用乘除、乘方公式 2.书写颠倒与顺序，格式不规范 3.记错辐角主值范围 即时即练 1.（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 2.（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解方程结合辐角范围得到复数，再表示为三角形式即可. （2）利用旋转的性质求出z、，最后利用辐角的性质求解即可. 【详解】（1）由，解得. ∵，∴应舍去， ∴. （2）由题意得，：，：. ∵，位置成逆时针顺序，又， ∴把按逆时针方向旋转即得， ∴， 将代入上式，解得， 由点在第三象限知. 题型1 复数的实部虚部与共轭复数 例1．（2026·上海·模拟预测）若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【答案】2 【详解】因为复数，则.所以复数的虚部是. 例2．（25-26高一下·上海·期末）已知 与 互为”共轭复数”，其中 为虚数单位，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】先化简复数，再应用共轭复数定义列式计算求解. 【详解】因为 与 互为共轭复数，其中 ， 为虚数单位， 则 故得 . 【技巧总结】 核心结论 ，实部，虚部，共轭复数 方法技巧 1.先把复数整理成标准形式，再区分实虚部，虚部只看数字不含 2.求共轭仅改变虚部符号，实部保持不变 3.出现分式复数先分母实数化，再提取实、虚部 4.纯虚数判定：实部且虚部，缺一不可 【变式训练1-1】（25-26高一下·上海宝山·期末）已知为虚数单位，则复数的虚部是____________． 【答案】2 【详解】因为 ，所以的虚部为2. 【变式训练1-2】（25-26高一下·上海·期末）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简得，代入，利用复数的乘除运算性质化简，结合共轭复数的定义，即可求出其共轭复数. 【详解】由题可得，，则， 所以的共轭复数为. 题型2 复数的相等 例1．（25-26高三上·上海·阶段检测）i为虚数单位，（），则_________. 【答案】 【分析】由周期性知化简左侧，即可求解. 【详解】由， 所以， 所以，即， 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 【技巧总结】 【变式训练2-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，其中、，则_________． 【答案】 【分析】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，其中、， 由复数相等可得，解得，因此，. 故答案为：. 【变式训练2-2】（2025·上海徐汇·三模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部为______. 【答案】 【分析】设，利用复数相等可得答案. 【详解】设，， 则， 所以，解得， 则z的虚部为. 故答案为：. 题型3 复数的加减乘除运算 例1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）若复数满足（为虚数单位），则_____. 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算化简求值． 【详解】因为，所以， 所以； 故答案为： 例2．（25-26高一上·上海·期中）若复数满足（为虚数单位），则________. 【答案】 【详解】因为，故，. 【技巧总结】 加减：实虚部分别合并；乘法展开代换，除法分子分母同乘分母共轭实数化 【变式训练3-1】（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设，则， 由可得， 则，故. 【变式训练3-2】（2025·上海静安·一模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________． 【答案】 【分析】由已知得出，结合复数的除法化简可得复数. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 题型4 复数范围内方程的根 例1．（2026·上海·三模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 【答案】 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，其中， 则. 所以. 例2．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【详解】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 【技巧总结】 实系数一元二次方程时根为一对共轭虚根，虚实根均满足韦达定理 虚根求和、积无需展开，直接套用 【变式训练4-1】（24-25高一下·上海·期末）已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 【答案】17 【分析】由方程在复数域中根的问题，再利用韦达定理可解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 则，解得， . 故答案为：17. 【变式训练4-2】（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【答案】 【分析】设，，代入，根据复数相等计算得，再利用韦达定理计算即可. 【详解】因为，是实系数一元二次方程的两个虚根， 故设，， 因为，满足：， 所以， 化简得， 所以 所以，， 所以，. 题型5 复数的乘方 例1．（25-26高一下·上海·期中）计算：__________. 【答案】 【分析】根据虚数单位的周期性质化简计算即得. 【详解】由虚数单位的幂次周期性，得，，，， 因此. 则 代入化简得，， 故原式. 例2．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）复数  _____. 【答案】 【分析】利用复数的乘法结合复数乘方的周期性可求得结果. 【详解】因为，故. 故答案为：. 【技巧总结】 1.纯高次幂：指数除以4取余数，余数对应简化结果 2.代数形式高次幂：低次直接乘法展开，高次优先转化三角形式 3.三角形式乘方：模取次方，辐角乘 4.先化简复数基础形式，再进行乘方运算 【变式训练5-1】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据复数的乘除法、乘方运算即可得到答案. 【详解】（1）， ； （2） . （3） . 【变式训练5-2】（24-25高一·上海·随堂练习）且，________． 【答案】 【分析】首先得到，然后对分类讨论即可求解. 【详解】因为， 所以． 故答案为：. 题型6 复平面与复数的坐标表示 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 ______. 【答案】 【分析】先根据复平面内点与复数的对应关系求出复数z，再结合共轭复数的定义计算. 【详解】由复数对应的点的坐标为，可得, 根据共轭复数的定义可知. 例2．（25-26高三上·上海松江·期末）复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用复数的除法法则将化简，再利用复数的几何意义即可得解. 【详解】， 复数在复平面内对应点的坐标为. 故答案为：. 【技巧总结】 对应点，横坐标实部，纵坐标虚部 【变式训练6-1】（24-25高一下·上海·期中）在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再判断三角形形状并求出面积. 【详解】依题意，，，而， 则，是等腰直角三角形，面积为. 故选：C 【变式训练6-2】（24-25高三上·上海·期中）复数（是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据复数的除法运算和几何意义即可得到答案. 【详解】， 则其在复平面内对应的点的坐标为. 故答案为：. 题型7 复数对应的象限 例1．（24-25高三上·上海·期中）在复平面内，复数对应的点位于第______象限. 【答案】三 【分析】经计算结合复数的坐标形式可得所在象限. 【详解】，其在复平面对应坐标为，故该点在第三象限. 故答案为：三 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于 (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)第四象限． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意可得，运算求解即可； （2）由求m，代入验证，即可得结果； （3）由求出m的范围即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得或. （2）由题设，，可得或， 当时，对应点在虚轴上； 当时，对应点在虚轴上； 综上，或. （3）由题设，可得. 【技巧总结】 点：一象限，二象限，；三象限，四象限；坐标轴不属于任何象限 【变式训练7-1】（25-26高一下·上海青浦·期中）已知复数 (1)如果复数是纯虚数，求的值 (2)如果复数在复平面上所对应的点在第四象限，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数为纯虚数，根据复数的定义，列出关系式，即可求解； （2）先求得复数在复平面内对应的点为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. （2）解：由复数在复平面内对应的点为， 因为复数在复平面上所对应的点在第四象限， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 【变式训练7-2】（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为___________； 【答案】. 【分析】应用复数的几何意义得出不等关系，再应用对数运算计算求解. 【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限， 则，所以 则x的取值集合为； 故答案为：. 题型8 复数的向量表示 例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的相反向量的性质得出求出结果. 【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 例2．（24-25高一下·上海静安·期末）设复数与(其中i为虚数单位)在复平面上所对应的向量分别为与（O为坐标原点），则与的数量积为___________. 【答案】39 【分析】根据复数的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，，， 所以. 故答案为：. 【技巧总结】 对应向量.复数加减对应向量三角形、平行四边形法则 【变式训练8-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知复数，（，为虚数单位）. (1)若，且，求与的值； (2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 【答案】(1)或，； (2)，严格减区间为. 【分析】（1）根据复数运算法则和复数相等概念结合特殊角的三角函数值即可计算求解； （2）先根据复数的向量表示结合向量垂直的坐标表示求出函数，再结合三角恒等变换公式化简函数解析式，并结合三角函数性质即可计算求解. 【详解】（1）若，且， 则， ，解得或. （2）由题得， 若，且，则， 即， 所以函数的最小正周期为； 令， 所以函数的严格减区间为. 【变式训练8-2】（24-25高三上·上海·期中）已知复数，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可； （2）利用复数的几何意义和向量在向量上的数量投影公式计算即可. 【详解】（1）， 因为是纯虚数， 所以且， 解得. 所以. （2）由（1）可得，即， 所以， 所以向量在向量上的数量投影为. 题型9 求复数的模长 例1．（25-26高一下·上海·期末）复数，则__________． 【答案】 【详解】，. 例2．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知，，且，则________． 【答案】 【详解】由题意得， 结合，得，解得. 【技巧总结】 ，模长性质： 【变式训练9-1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 【答案】 【分析】利用复数的运算法则，模长公式计算即可. 【详解】由，得， 由，得， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式训练9-2】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____． 【答案】或 【分析】首先设复数，再代入复数模的运算公式，即可求解. 【详解】设，，则，， 即，则，得， 即，解得：或， 所以或. 故答案为：0或 题型10 复数的模长与轨迹问题 例1．（25-26高二下·上海·期末）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________． 【答案】1或3 【详解】由复数可知，复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 的几何意义是圆上的点到点的距离，点到圆心的距离，因此的最小值为. 的几何意义是圆上的点到点的距离，点到圆心的距离，因此的最小值为. ∴，即或. 例2．（25-26高一下·上海徐汇·期末）设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为_________． 【答案】3 【分析】根据复数模长的几何意义进行求解 【详解】，故复数的几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆， 其中， 几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离， 显然最大值为圆心到点的距离加上半径， 即. 【技巧总结】 圆，垂直平分线，椭圆 【变式训练10-1】（25-26高一下·上海·期末）设全集，，，若 ，则复数 在复平面内对应的点形成图形的面积为 ______. 【答案】 【分析】 根据题意可得，集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 【详解】设 . 由，可知，即，即. 因为，所以， 由可得，解得. 即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部， 集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧（不含直线）， 集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示. 所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 弓形的面积为扇形的面积减去的面积， 易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为. 【变式训练10-2】（25-26高二下·上海·期中）已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 【答案】/ 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求最大值． 【详解】， 设，则，整理得， 所以复数对应的点在复平面上是以为圆心，半径的圆及内部， 的最大值为， 所以的最大值为． 题型11 复数的三角表示 例1．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 例2．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 【技巧总结】 ，，主辐角；乘法模乘辐角加，除法模除辐角减 【变式训练11-1】（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）已知复数满足，且存在非零实数，使得 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围: (3)设，且 ，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据给定条件，可得和是方程的根，再利用判别式及复数模列出不等式求解. （2）将问题转化为方程在上有两个实根，利用一元二次方程实根分布求解. （3）确定的关系及的范围，再借助复数的三角形式、二倍角的正弦列式求解. 【详解】（1）依题意，和是方程的根，即方程的根， 由，，得和互为共轭虚数，则，解得， ，，解得， （2）由，得，则方程有两个实根， 由，得方程在上有两个实根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）及，得互为共轭虚数，令， 由，得，， ，则，解得， 因此 ，由，得，， 则，， 所以的取值范围是. 【变式训练11-2】（23-24高一·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3） （4） . （5） . 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 2．（2026·上海黄浦·三模）已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，故，其虚部为. 3．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知复数（为虚数单位）为纯虚数则实数（    ） A．0 B． C．或0 D．1 【答案】A 【详解】因为复数为纯虚数， 所以有. 4．（25-26高一下·上海宝山·期末）已知复数和所对应的向量分别是、，则下列结论错误的是（     ） A．对应的复数是 B．对应的复数是 C．的充要条件是存在唯一实数，使得 D．的充要条件是 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义、复数运算与平面向量运算的对应关系，通过逐一验证各选项的等价性即可判断错误结论. 【详解】选项A：复数的加法与向量的加法是对应的，对应的复数就是，A正确； 选项B：复数的减法与向量的减法是对应的，对应的复数就是，B正确； 选项C：的充要条件是存在唯一实数，使得， 这符合复数与向量平行的关系，C正确； 选项D：的充要条件不是，例：设， 它们对应的向量分别是和，互相垂直，但，D错误. 5．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论. 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 二、填空题 6．（25-26高一下·上海徐汇·期末）设 是虚数单位，则复数 的虚部为_________． 【答案】3 【详解】根据复数的概念，的虚部为，所以的虚部为3. 7．（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 8．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知复数的虚部为4，则___________ 【答案】14 【分析】先求得，再结合题意解方程即可 【详解】由题意得， 因为复数的虚部为4， 所以，解得，所以. 9．（25-26高一下·上海·期中）已知，若为复数，且，，则______． 【答案】 【分析】对于复数，有，，则可求出复数的实部与虚部，进而求出. 【详解】设，由，则，， 所以，因此. 10．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【答案】 16π 【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环， 所以其面积为. 11．（25-26高一下·上海·期末）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为__________． 【答案】（或） 【分析】设复数u在复平面内对应的点为A，可得，结合模长关系可得，进而可得向量与夹角. 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得， 可得， 所以向量与的夹角为（或）. 12．（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 【答案】 8 【分析】利用实系数一元二次方程虚根共轭成对的性质，结合韦达定理与复数模的运算性质求解的值. 【详解】因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以，解得， 根据实系数一元二次方程虚根的共轭性质，方程的另一个根为的共轭复数， 由韦达定理，又，且，所以. 13．（2026·上海·模拟预测）已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由复数小于零可知复数的虚部为零，实部小于零，结合基本不等式从而得到答案. 【详解】，， 则，， 因为， 所以，即，， 由，根据基本不等式，当同号时，， 即或， 所以的取值范围为. 14．（25-26高一下·上海·期中）在复平面内，把复数对应的向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是___． 【答案】 【分析】先根据旋转角确定旋转因子，利用复数乘法几何意义，将复数乘旋转因子得. 【详解】由题意可得：，旋转角， 旋转因子为：， 所以. 三、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复数三角形式的知识求得正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，求． 【答案】 【分析】先化简，然后根据复数模的求法求得正确答案. 【详解】 . 所以. 17．（24-25高二上·上海·期中）已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由实部与虚部相等建立等量关系，结合角的范围计算可得结果； （2）代入可得复数，将复数代入方程，根据方程建立新的复数的实部与虚部求解可得结果. 【详解】（1）若的实部与虚部相等，则 ，化简可得：，即，， . （2），， 代入方程可得：，即， 则，解得：. 18．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，i为虚数单位，复数 (1)当复数 为纯虚数时，求 的值； (2)已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 【答案】(1) (2) ， 【详解】（1）因为为纯虚数，所以且， 解得. （2）时，. 因为是方程的一个根，所以代入得： ， ， 解得，. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，若、在复平面上分别对应点A、B，且，求的立方根． 【答案】，， 【分析】根据题意，由条件可得，，然后结合复数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由题设知．因为，即， 所以 ．又， 所以， ， 所以的立方根为，，1，2， 即，，． 20．（25-26高一下·上海·期末）已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． (1)求的取值范围； (2)当A、B、C三点共线时，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数相加求出，利用复数模长公式转化为代数式，结合基本不等式求最小值，进而求出模长范围； （2）求出复数对应复平面内点坐标，利用三点共线得出斜率相等构造方程，解方程求实数a的值． 【详解】（1）， ，当且仅当时取等号， 故的取值范围为． （2）由题意知，， 当A、B、C三点共线时，直线斜率相等， ，， 则，，则，解得． 21．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知虚数和虚数是关于的方程（ ，且）的两个根. (1)若，且满足 ，求虚数的虚部； (2)若 且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由实系数方程的根的特征得到，利用求出的值，即得的虚部； （2）由及根与韦达定理得到， 由，代入得到的方程，求解并回代检验即得的值. 【详解】（1）因为，且是实系数方程的两根， 所以是的共轭复数，即， 由可得， 解得， 因为，所以，故的虚部为. （2）因为， 由韦达定理，（*）， 因， 将（*）代入，得， 整理得， 解得或. 当时，，， 此时方程有实根，不符合题意，舍去； 当时，，， 符合题意，故. 22．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足． (1)求的取值范围； (2)若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值； (3)在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合一次函数的单调性，即可求解； （2）根据实系数的一元二次方程的虚根化为共轭复数对，得到，将其代入，结合，求得或，利用韦达定理，即可求解； （3）由向量在方向上的投影数量的公式，根据题意，得到的轨迹，得到投影取值范围为，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由的取值范围为，， 因为，可得该函数为单调递增的一次函数， 当时，可得；当时，可得； 所以的取值范围为. （2）解：由实系数的一元二次方程的虚根成共轭复数对， 可得，将其代入，可得， 因为，可得， 整理得，解得或， 当时，，此时，可得， 由韦达定理得，所以； 当时，，此时，可得， 由韦达定理得，所以， 综上可得，的值为或. （3）解：因为向量在方向上的数量投影的公式为：投影， 由，可得的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 所以对于固定的，向量在向量方向上的投影取值范围为， 将代入，可得 令，可得， 则， 所以在上单调递增，且，即， 所以向量在方向上的数量投影的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $