专题03 正弦函数，余弦函数的图像与性质（20大题型归纳）（暑假复习讲义）新高二数学沪教版

专题03 正弦函数，余弦函数的图像与性质 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 五点法作正余弦（型）函数图像 题型11 求余弦（型）函数的的单调性 题型2 求正弦（型）函数的的单调性 题型12 求余弦（型）函数的最值 题型3 求正弦（型）函数的最值 题型13 求余弦（型）函数的奇偶性 题型4 求正弦（型）函数的奇偶性 题型14 求余弦（型）函数的周期性 题型5 求正弦（型）函数的周期性 题型15 求余弦（型）函数的对称性 题型6 求正弦（型）函数的对称性 题型16 由余弦（型）函数的单调性求参数 题型7 由正弦（型）函数的单调性求参数 题型17 由余弦（型）函数的最值求参数 题型8 由正弦（型）函数的最值求参数 题型18 由余弦（型）函数的奇偶性求参数 题型9 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 题型19 由余弦（型）函数的对称性求参数 题型10 由正弦（型）函数的对称性求参数 题型20 正余弦函数的图像性质综合 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 考点1五点作图法 以选择、填空基础题为主，多与余弦函数五点法对比考查，是图像类题型的入门考点 考点2由图像分析基础性质 图像与性质综合考查的常规题型，多为客观题，间接考查函数单调性、最值等核心内容 考点3图像交点与对称性识别 常结合参数求值命题，以客观题为主，侧重利用对称特征分析函数规律 考点4由图像求解参数 综合类高频考点，选择、填空、解答题均有出现，融合图像特征与函数公式，考查综合分析能力 考点5定义域与值域 基础必考考点，常结合三角恒等变换、区间限制考查值域与最值问题 考点6周期性 基础题型，直接计算周期、由周期反求参数为主要考法，遍布各类题型 考点7奇偶性 常与对称性、单调性结合命题，以客观题为主，考查奇偶性定义与图像特征的关联 考点8单调性 核心高频考点，选择、填空、解答题均重点考查，常结合自变量区间限定求解单调区间与比较函数值大小 考点9对称性 中档常考题型，多结合参数设置考题，客观题为主，侧重对称性质的灵活应用 考点10最值 解答题热门考点，常搭配三角变换、辅助角公式综合命题，区分基础最值与区间最值 考情解码： 1图像相关考点（五点作图识图判性质交点与对称性识别）难度偏低属于基础送分题型主要易错点为混淆正弦余弦函数的五点坐标无法精准从图像提取单调区间最值对称特征复习需强化关键点记忆建立图像形态与函数性质的对应关系养成看图分析的解题习惯 2由图像求解参数属于中档偏上综合考点区分度较强高频失误集中在利用周期求计算出错结合定点求相位时忽略角度范围限制复习要固化解题步骤遵循最值定周期定定点/对称特征定的顺序规范角度取值分析 3定义域值域周期性为必考基础考点出题形式固定难度小常见错误为计算周期时遗漏公式中的绝对值求解限定区间内函数值域时直接套用未分析整体相位角范围复习牢记核心公式与基本范围重点区分全体实数域和自变量受限两种题型的解法 4奇偶性多结合对称性单调性联合命题极少单独考查难度中等易错点是判断复合型三角函数奇偶性时忽略定义域优先原则复习紧扣奇偶函数定义与图像特征掌握基础判断方法即可 5单调性整体对称性是本模块重难点考查形式灵活全题型覆盖易出现区间书写错误遗漏混淆对称轴与对称中心表达式等问题复习需熟背标准区间与对称结论针对正弦余弦两类函数做对比记忆强化限定区间内单调区间函数值大小比较的专项训练 6最值问题常结合三角恒等变换辅助角公式综合命题是解答题热门考点核心误区是不区分全域最值与区间最值忽略自变量范围直接套用函数固有最值复习侧重训练化简—定角范围—结合函数有界性求最值的完整解题流程 7命题规律上正弦与余弦函数知识点常对比考查侧重辨析二者图像性质的异同综合题多将图像特征各类性质三角变换融合考查侧重考查知识迁移与综合应用能力复习时注重模块内知识点串联强化题型归纳与错题整理 知识点一 三角函数的周期性 周期性 ①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期． ③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T． 【易错提醒】 1.运用周期公式时容易遗漏绝对值误将的周期算为 2.混淆最小正周期与周期的概念周期可以是最小正周期的整数倍答题默认求最小正周期 3.判断周期函数时忽略定义域限制部分分段或限定区间的三角函数不具备周期性 4.利用周期性化简求值时角度换算出错无法准确将大角度转化到基础区间内 即时即练 1.（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. 2.（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期为___________. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的周期公式求解即得. 【详解】依题意，，所以最小正周期为2. 知识点二 正弦函数图像的画法 ①几何法： （ⅰ）利用正弦线画出的图象； （ⅱ）将图象向左、向右平行移动（每次个单位长度）． ②“五点法”： （ⅰ）画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，______，，______，，用光滑的曲线连接； （ⅱ）将所得图象向左、向右平行移动（每次个单位长度）． 【易错警示】 1.五点作图法记错关键点坐标混淆与位置 2.作图时遗漏坐标轴标注区间范围划分不清晰关键点标注不全 即时即练 1.（23-24高一·上海·课堂例题）作出函数，的大致图象. 【答案】作图见解析 【分析】利用“五点法”即可作出函数图象. 【详解】因为，， 列表： x 0 0 0 0 描点，作图如图所示. 2.（23-24高二下·上海静安·期中）用“五点法”作出函数在一个周期内的图像. 【答案】答案见解析 【分析】令,取，列表描点，即得图象. 【详解】令,则，列表并描点作图，得 0 0 1 0 -1 0 0 2 0 -2 0 知识点三 余弦函数的图象的画法 （1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移____单位. （2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是_______，_______，_______，_______，_______. 【易错警示】 1.五点作图法与正弦函数混淆记错这一起始关键点 2.对图像升降趋势判断错误余弦函数在单调递减在单调递增 3.借助周期性延展图像时平移距离把控不准图像重复部分形态不一致 4.区分不清正弦与余弦基础图像无法通过初始点快速辨别两类函数图像 即时即练 1.（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图. （2）根据翻折变换画出函数简图. 【详解】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 2.（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）先用列表，然后五点法画出函数的图，然后再利用偶函数的对称性，画出的完整的图即可. 【详解】（1）列表如下： 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -2 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： （2）列表如下： 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： 知识点四 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 函数 图象 定义域 _____________ _____________ 值域 _____________ _____________ 奇偶性 ____奇函数_________ ___偶函数__________ 周期性 最小正周期：_____________ 最小正周期：_____________ 最值 当_____________时，；当_____________时， 当_____________时，；当_____________时， 单调性 在_________________________上单调递增；在_____________上单调递减 在_______________________上单调递增；在___ ______________上单调递减 零点 ， ， 对称轴 ， ， 对称中心 【易错警示】 1.单调性区间记混正弦递增区间与余弦递增区间相互混淆书写时遗漏 2.对称性概念混淆搞反两类函数的对称轴与对称中心表达式 3.奇偶性判断失误忽略正弦为奇函数余弦为偶函数的核心特征 4.最值对应自变量记错混淆两类函数取最大最小值时的取值 5.数形结合应用出错无法根据图像特征对应函数性质识图判型出现偏差 6.求解限定区间值域时直接套用全域范围未结合区间与单调性分析 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）某美妙音乐的模型函数为有如下四个结论： ①是偶函数； ②在区间单调递增 ③在上有个实数解； ④最小正周期是 其中所有正确的结论的编号是（        ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质与正弦函数的单调性、周期性，结合选项逐一分析. 【详解】结论①：根据偶函数定义，对任意，，因此是偶函数，①正确； 结论②：当时，，此时，故； 而在上单调递减，因此在该区间单调递减，②错误； 结论③：方程等价于，得，即， ，即，化简得， 整数可取，对应个不同解，③正确； 结论④：带绝对值的正弦函数的最小正周期为，， 因此最小正周期为，不是，④错误； 综上，正确结论为①③. 2.（25-26高一下·上海·期中）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．的最小正周期为2π C．的图象关于点对称 D．的最大值为 【答案】D 【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A；举反例可判断B；利用反证法判断C；根据周期性将问题转化为一个周期内的最值问题，通过换元法求解即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以的定义域为，，恒成立， 所以是偶函数， 因为，， 故，所以不是奇函数，（也可以通过判断），故A错误； 对于B，因为， 所以π是的一个周期，所以的最小正周期不为2π，故B错误； 对于C，若的图象关于点对称， 则，故， 但，，矛盾， 所以的图象不关于点对称，故C错误； 对于D，因为π是的一个周期，所以只考虑上的最大值即可， 当时，， 令，则， 所以函数可转化为， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，取得最大值，为， 所以的最大值为，故D正确. 题型1 五点法作正余弦（型）函数图像 例1．（23-24高一下·上海·单元复习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，． (3)， 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】根据“五点法”方法作图即可. 【详解】（1）由题知，， 列表如下: 2 1 2 3 2 根据表格画出图象如下: ； （2）由题知，， 列表如下: 1 0 0 1 根据表格画出图象如下: ； （3）， 根据五点法作图列表得： 画图像得： . 例2．（23-24高一下·上海·单元复习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】根据五点画图法的原则：描点、连线、绘图，找到函数中对应的五个点，操作画图即可. 【详解】（1）解：由，列表： 描点、连线、绘图，可得函数的图象，如图所示.    （2）解：由，可得，列表如下： 1 －1 描点、连线，可得函数的图象，如图所述，    （3）解：列表: 0 0 1 0 -1 0 描点、连线，可得函数的图象，如图所示：      【技巧总结】 1.确定函数定义域与一个完整周期区间一般选取长度为的连续区间 2.令结合反解出的取值得到五个关键点对应的横坐标 3.依次计算每组坐标精准标注五个关键点 4.用平滑曲线连接五点再利用周期性向左右延伸得到完整图像 5.作图规范标注坐标轴关键点坐标函数解析式与周期范围 【变式训练1-1】函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 【变式训练1-2】定义在区间的函数与的图像交点个数为______． 【答案】4 【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解. 【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示， 根据图像，可得函数与的图像交点个数为4. 故答案为：4. 题型2 求正弦（型）函数的单调性 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】利用三角函数的性质，结合整体代入法即可得解. 【详解】（1）函数的递增区间为，， 递减区间为，， 则函数的递增区间为，， 递减区间为，， （2）因为求的单调增区间即求的单调减区间， 因为求的单调减区间即求的单调增区间， 所以的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. （3）令，，得，， 即，， 所以的单调递减区间为，； 令，，得，， 即，， 所以的单调递增区间为，. 例2．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得， 则函数在上单调递增， 当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是； 不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是. 【技巧总结】 1.基础函数直接套用标准单调区间 2.对于先判断正负若先用诱导公式转化为形式 3.整体换元令结合的单调区间列不等式求解范围 4.区间结果必须带上多个区间分开书写不取并集 【变式训练2-1】（25-26高二下·上海松江·阶段检测）函数的单调递增区间是____________. 【答案】 【详解】令，解得， 故单调递增区间为. 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海黄浦·期末）已知. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式化简，合并成的形式，再利用正弦型函数周期的求法可得答案； （2）利用正弦型函数单调性的求法可得答案. 【详解】（1）. 故该函数的最小正周期为. （2）. 由， 解得. 又因为， 考虑区间与的交集. 只有当时，上述两个集合的交集才非空， 且其交集为. 因此，函数的单调递减区间为. 题型3 求正弦（型）函数的最值 例1．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，所以，其中， 因此的值域为. 例2．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域为______； 【答案】 【分析】利用辅助角公式将原函数转化为正弦函数型，结合正弦函数的有界性求值域. 【详解】因为，由辅助角公式得 ， 因为，，所以，， 所以的值域为. 【技巧总结】 1.基础函数直接利用值域求最值 2.换元处理令先确定的取值范围 3.结合整体推导函数最大值与最小值 4.限定区间题型必须分析的范围不能直接套用全域最值 【变式训练3-1】（25-26高一下·上海·期中）函数的最大值与最小值之和为___________． 【答案】 【分析】通过换元将三角函数转化为二次函数，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，判断函数在闭区间上的单调性，从而由端点取得最值. 【详解】令，已知，由正弦函数的性质可得： 在该区间的最小值为，最大值为，因此， 故原式化为：，开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增， 时，，时， 最大值与最小值之和为：. 【变式训练3-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看作一个整体，结合正弦函数的图象性质，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，结合正弦函数的图象性质，先判断出函数在上的单调性，即可求得值域. 【详解】（1）由正弦函数的性质可知，当时，函数单调递增， 解不等式得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由题意，因为，所以， 结合正弦函数的性质可知，当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 即， 又， ， 所以当时，函数取得最小值， 所以函数在区间上的值域为. 题型4 求正弦（型）函数的奇偶性 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)奇函数；理由见解析 (2)偶函数；理由见解析 (3)偶函数；理由见解析 (4)非奇非偶函数；理由见解析 【分析】先求出函数的定义域，求出，然后利用函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 则为奇函数. （2）函数的定义域为， ， 则为偶函数. （3）函数的定义域为， ， 则为偶函数 （4）函数的定义域为， ，所以不是奇函数 ，，则，则不是偶函数， 所以非奇非偶函数. 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)奇函数 ，理由见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 【分析】（1）（2）首先判断函数的定义域，再判断与的关系，即可判断奇偶性； （3）根据特殊值判断非奇非偶. 【详解】（1）偶函数  因为函数定义域为，任取，，所以函数是偶函数； （2）奇函数  因为函数定义域为，任取，，所以函数是奇函数； （3）非奇非偶函数  因为，，故且，所以函数是非奇非偶函数. 【技巧总结】 1.优先判断函数定义域定义域不关于原点对称直接判定为非奇非偶函数 2.定义域对称时利用奇偶性定义与对比判断 3.对于结合图像对称特征快速判定 【变式训练4-1】是_________函数（填奇偶性）； 【答案】奇 【分析】根据奇函数的判定方法即可得到答案. 【详解】由解析式得的定义域为，关于原点对称， 且， 故为奇函数， 故答案为：奇. 【变式训练4-2】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 【分析】（1）根据奇函数的定义分析判断； （2）根据偶函数的定义分析判断； （3）先求出函数的定义域，再根据奇偶函数的定义域关于原点对称分析判断即可. 【详解】（1）令， 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. （2）令， 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为偶函数. （3）因为的定义域为，即， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数. 题型5 求正弦（型）函数的周期性 例1．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期为________． 【答案】 【详解】函数的最小正周期为. 例2．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期是___________. 【答案】 【分析】根据恒等变换得，再求最小正周期即可. 【详解】由题意知， 所以函数的最小正周期是 【技巧总结】 1.基础函数最小正周期 2.对直接套用周期公式计算 3.区分周期与最小正周期考题若无特殊说明默认求最小正周期 【变式训练5-1】（25-26高一下·上海普陀·阶段检测）已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 【变式训练5-2】（25-26高一下·上海普陀·阶段检测）函数的最小正周期为________. 【答案】 【详解】由于，所以该函数的最小正周期为. 题型6 求正弦（型）函数的对称性 例1．已知函数，则下列说法错误的是（ ） A．为奇函数 B．曲线的对称中心为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有一条对称轴 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简函数解析式可得，进而利用正弦函数的奇偶性、对称性、单调性即可逐项判断求解. 【详解】 ， 可得，可得为奇函数，A选项正确； 令，解得，即，， 所以曲线的对称中心为，，B选项正确； 当时，可得，所以在区间上先增后减，C选项错误； 令，，当时在区间上有且仅有一条对称轴，D选项正确. 故选：C. 例2．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，得到，再根据正弦函数的性质对个命题逐一判断，即可求解. 【详解】因为 ， 对于命题①，因为， 所以函数的图象不关于点对称，故命题①错误； 对于命题②，令，解得， 所以函数的对称轴是，，故命题②正确； 对于命题③，令，解得， 所以函数的零点为，故命题③正确， 对于命题④，因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故命题④正确； 故选：D. 【技巧总结】 1.对称轴：函数在对称轴处取得最值令解出即为对称轴 2.对称中心：函数在对称中心处函数值为0令解出对应点为对称中心 【变式训练6-1】（24-25高一下·上海·阶段检测）函数的图象的对称中心的坐标是___________. 【答案】， 【分析】方法一：根据正弦函数的性质，利用图象变换方法；方法二：根据正弦函数的性质，利用整体代入方法求解. 【详解】方法一：图象变换法： 函数的对称中心是形如的点，其中为整数. 变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、 向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的. 对称中心的变换： 横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为 向左平移个单位后，横坐标变为 . 向上平移1个单位后，纵坐标变为1. 函数 的图像的对称中心的坐标为：,. 方法二：利用正弦函数的性质直接求解法: 求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，解得 ,纵坐标恒为1. 最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,. 故答案为：,. 【变式训练6-2】函数的图象在区间上的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体思想，结合正弦函数的对称轴，建立方程，可得答案. 【详解】令，解得，当时，， 故函数在区间上的对称轴方程为． 故选：D. 题型7 由正弦（型）函数的单调性求参数 例1．已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用辅助角公式将函数化为正弦函数，进而利用正弦函数的单调区间和正负区间分别建立关于ω的不等式组，通过整数参数描述区间位置并与定义域取交集，最终综合确定ω的取值范围. 【详解】利用辅助角公式化简： 的单调递增区间为， 当时，，整个区间需落在某个增区间内， 因此：, 化简得： 结合： 若，则，若，则，若，不等式无解， 因此 当时，， 要使恒成立，整个区间需落在， 因此：， 化简得：， 结合，分情况讨论： 当时：取，得，交集为， 当时：取，得，交集为（因为）， 综上，的取值范围是. 例2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角和辅助角公式可化简得到，利用整体代换的方式可确定的取值范围及所处的单调递增区间，由此可构造不等式求得结果. 【详解】 ； 当时，， ，，， 在上单调递增，，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 【技巧总结】 1.先将函数整理为的标准形式再整体换元 2.根据已知单调区间结合的单调区间建立不等式组 3.利用区间包含关系列出关于参数的不等关系求解参数范围 4.验证边界取值排除不符合条件的解 【变式训练7-1】（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整体代入法表示出函数的单调区间，结合已知列不等式组求解可得. 【详解】由，， 得， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，结合得. 故选：A 【变式训练7-2】定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是___ 【答案】 【分析】根据题意得出即可求出范围，再求出，进而根据范围求出的范围，最后结合正弦函数的性质即可求出. 【详解】由题意可知，，则， 因，则， 又，所以，， 因函数在区间上单调递增， 则结合正弦函数的性质可知， ，得， 故ω的取值范围是. 故答案为： 题型8 由正弦（型）函数的最值求参数 例1．（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求出命题的否定对应的参数，其补集即所求. 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得， 则， 所以且， 所以，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是. 例2．已知函数在上的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】整体法求得的取值范围，根据值域可得到右侧端点的范围，解不等式即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 又函数在上的值域为，， 结合正弦曲线可知，解得. 【技巧总结】 1.全域最值：结合最值公式列等式求A、k 2.区间最值：先求的范围结合最值取得条件反推参数值或范围 3.已知最值点坐标将点代入函数解析式联立方程求解参数 【变式训练8-1】若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】利用换元法转化为在上有且仅有一个最大值，结合正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】令，当时，， 由函数在上有且仅有一个最大值，可转化为在上有且仅有一个最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为： . 【变式训练8-2】（25-26高三·上海·二轮复习）已知，若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足，则的取值范围______. 【答案】 【分析】利用三角函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足，且； 所以函数在区间上至少存在两个最大值点. 所以，解得. 故答案为：. 题型9 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数，为偶函数，则__________. 【答案】，. 【详解】因为为偶函数，故. 例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则_________． 【答案】， 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再求，结合偶函数的定义和正弦函数的性质列关系式求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为是偶函数，所以对任意的恒成立， 所以， 所以或，， 所以（舍去）或，， 所以，， 故答案为：，. 【技巧总结】 1.第一步验证定义域保证定义域关于原点对称 2.奇函数：满足或图像过原点结合结论列方程求 3.偶函数：满足结合对称结论求解参数 常考结论 1.为奇函数 2.为偶函数 【变式训练9-1】（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数（其中）为偶函数，则__________. 【答案】/ 【分析】由诱导公式结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 又，所以. 故答案为：. 【变式训练9-2】（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则________. 【答案】 【分析】根据题意，转化为，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为函数为偶函数，可得， 即，解得. 故答案为：. 题型10 由正弦（型）函数的对称性求参数 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知函数，在区间上单调递减，直线和为的图象的两条相邻对称轴，则_____． 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期的性质，结合正弦型函数的对称性和单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】设该函数的最小正周期为， 因为直线和为的图象的两条相邻对称轴， 所以， 所以，又因为，解得 ， 令，代入,得： ，， 当时， ， ， ， 由，及， 不在区间上单调递减，故不符合题意，舍去； 当时， ， 令， 解得：， 当时，的单调递减区间为， 又，故满足题意； 故， . 例2．（25-26高三上·上海·期末）若直线是函数的一条对称轴，则__________． 【答案】 【分析】根据正余弦型函数图象在对称轴上取得最值可得结果. 【详解】因为， 所以的最大值为，最小值为. 又直线是函数的一条对称轴， 所以在时取得最值，即. 故答案为：. 【技巧总结】 1.已知对称轴：将对称轴横坐标代入令函数值等于解参数方程 2.已知对称中心：将对称中心横坐标代入令函数值等于解参数方程 3.多个对称条件联立方程组求解多参数 4.结果结合写出通解或限定范围内的特解 【变式训练10-1】已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，确定对称轴处三角函数取最值的条件，进而求解的取值. 【详解】由，知是的对称轴， 故. 解得,结合，得. 故选：A 【变式训练10-2】已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为________． 【答案】 【分析】由正弦函数的最小正周期公式确定，再代入点，结合正弦函数的性质可得答案. 【详解】根据题意，，因为，所以， 所以． 又函数的图象关于点中心对称， 所以，所以，， 所以，． 因为，所以，解得， 又，所以，故． 故答案为：. 题型11 求余弦（型）函数的单调性 例1．（24-25高一下·上海·阶段检测）函数的单调增区间为______． 【答案】 【分析】根据余弦函数图像性质即可求解. 【详解】由余弦函数图像性质，可得的单调递减区间为， 故的单调递增区间为. 故答案为：. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的单调区间和值域． 【答案】答案见解析 【分析】由复合函数单调性、余弦函数单调性求单调区间，进一步得值域. 【详解】当时，， 而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性可知， 函数，的单调递增区间为，单调递减区间为， 注意到， 所以函数，的值域为. 【技巧总结】 1.基础函数直接套用标准单调区间 2.对于时先用诱导公式转化为 3.整体换元结合单调区间列不等式求范围 4.书写区间必须标注 【变式训练11-1】（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 【答案】 和 【详解】（1）因为， 令，解得， 则的单调递减区间为， 令，，则， 所以在上的单调递减区间为和. （2）令，解得， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增， 在内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 【变式训练11-2】（25-26高一下·上海·期中）函数的单调减区间是____________． 【答案】 【分析】先确定对数真数大于的定义域，再根据复合函数同增异减，结合外层对数函数为减函数，将原函数的减区间转化为内层余弦函数在真数大于条件下的单调增区间，解不等式得到结果. 【详解】由 解得， 外层函数是减函数（底数），要求的单调减区间，根据同增异减，等价于求内层函数的单调增区间（同时满足）。 的单调增区间为， 由，可得 解得， 即函数的单调递减区间是. 题型12 求余弦（型）函数的最值 例1．（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为______． 【答案】 【分析】先计算出时的范围，即可得该函数值域. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 例2．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为______ 【答案】 【详解】，由， 得，令，则， ，函数在上单调递减， 当时，； 当时，，故函数的值域为. 【技巧总结】 1.基础函数值域直接求全域最值 2.换元根据范围确定范围再结合取值求最值 3.利用伸缩平移规律推导最值 4.区间题型优先分析整体角范围禁止直接套用全域结论 【变式训练12-1】（24-25高一下·上海青浦·阶段检测）函数的最大值为__________. 【答案】2 【分析】根据二次函数、余弦函数的性质求函数的最大值. 【详解】令，则， 显然，，而时，， 所以时，函数最大值为2. 故答案为：2 【变式训练12-2】（24-25高一下·上海青浦·期中）下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用辅助角公式及二倍角正余弦公式，结合正余弦型函数的性质判断各函数的最大值，即可得. 【详解】A：，不符； B：，符合； C：，不符； D：，不符. 故选：B 题型13 求余弦（型）函数的奇偶性 例1．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是________函数（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解. 【详解】显然的定义域关于原点对称， 且，故函数是偶函数. 故答案为：偶. 例2．（24-25高一下·上海·阶段检测）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简函数，再根据函数奇偶性定义判断. 【详解】令，， 又， 所以函数是偶函数. 故选：A. 【技巧总结】 1.先判断定义域是否关于原点对称不对称则非奇非偶 2.利用与的关系判断奇偶性 3.结合图像轴对称中心对称特征辅助判断 常考结论 1.是偶函数满足图像关于轴对称 2.为偶函数 3.为奇函数 【变式训练13-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数为奇函数，判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】偶函数，理由见解析 【分析】求出，分k为偶数、k为奇数讨论可得答案. 【详解】偶函数，理由如下， 由题意知中，， ，， ①当k为偶数时，，，故为偶函数； ②当k为奇数时，，，故为偶函数. 综上，为偶函数. 【变式训练13-2】（23-24高一下·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据奇偶函数的定义判断； （2）根据奇偶函数的定义判断. 【详解】（1）定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数. 题型14 求余弦（型）函数的周期性 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期为_________ 【答案】 【详解】函数的最小正周期为. 例2．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 【答案】 【详解】由题设，已知函数的最小正周期是. 【技巧总结】 1.基础函数最小正周期 2.余弦型函数统一使用公式计算 【变式训练14-1】（24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用图象变换作出的图象求解即可. 【详解】的图象如图所示，    由图象可知最小正周期为. 故选：B. 【变式训练14-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小正周期； （2）函数（）的最小正周期为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解； （2）先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性即可得解. 【详解】（1）由题意知， 作出函数图象如图所示： 由图知周期为； （2） （其中，）， 由，知，即. 题型15 求余弦（型）函数的对称性 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而可得的解析式，从而可求对称中心. 【详解】因为为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 由，解得， 所以的对称中心为. 故选：B. 例2．函数，且为偶函数，则___，图象的对称中心为________， 【答案】 / 【分析】根据条件，利用的性质，得到，结合，即可得到；从而得到，再利用的性质，即可求出结果. 【详解】因为为偶函数， 则，得到， 又，所以， 得到， 由，得， 所以图象的对称中心为， 故答案为：， 【技巧总结】 1.对称轴：令求解即为对称轴方程 2.对称中心：令求解对应为对称中心 3.利用最值点判断对称轴利用零点判断对称中心 4.多个对称条件结合周期综合分析 【变式训练15-1】函数的图象（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质可得. 【详解】可得是由向上平移1个单位得到， 根据余弦函数的性质可得的图象关于轴对称. 故选：B. 【变式训练15-2】函数（）的对称轴方程为___________. 【答案】 【分析】根据余弦函数的对称性进行求解即可. 【详解】函数（）的对称轴方程为: ， 故答案为： 题型16 由余弦（型）函数的单调性求参数 例1．（25-26高一下·上海青浦·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为________. 【答案】 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格减函数， 所以，因此的最大值为. 例2．已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先利用余弦函数的递减区间求得，依题需使，求得，再由确定，通过对进行赋值检验，即可求得的取值范围. 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【技巧总结】 1.统一将函数化为的标准形式整体换元 2.结合已知单调区间对照的单调区间建立不等式组 3.根据区间包含关系确定参数取值范围 4.检验端点取值是否符合题意 常考结论 1.单个单调区间长度小于等于半个最小正周期 【变式训练16-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由可求出的取值范围，根据余弦函数的单调性得出，即可求出的取值范围，进而可得出的最大值. 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式训练16-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 题型17 由余弦（型）函数的最值求参数 例1．已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】通过最大值点得到，通过最小值点得到，再结合函数的周期和区间长度，逐项判断即可. 【详解】由题意可知函数的周期，最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对A，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对B，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对C，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对D，若，当时，最大值点为2026，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误． 故选：D 例2．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，同时由，得到，代入各个选项判断是否存在，即可得到结论. 【详解】因为函数，且， 所以，则， 因为，所以， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，， ∵，∴，，∴， 即存在，使得，不符合题意； 当时，， ∵， ，∴且， 即，符合题意； 所以的取值不可能是， 故选：C 【技巧总结】 1.全域最值：结合最值公式列等式求A、k 2.区间最值：先求的范围结合最值取得条件反推参数值或范围 3.已知最值点坐标将点代入函数解析式联立方程求解参数 【变式训练17-1】若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先求的取值范围，进而结合的图象列不等式组求解. 【详解】由，得. 因为，所以, 作出在上的图象，如图所示，    因为函数在上有最小值而没有最大值， 所以，解得. 故答案为： 【变式训练17-2】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 题型18 由余弦（型）函数的奇偶性求参数 例1．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若函数为奇函数，则__________． 【答案】 【详解】由于奇函数满足，所以. 展开得， 于是对，有成立，故. 因此. 例2．若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而 、、均不可能. 故选：C 【技巧总结】 1.为偶函数 2.为奇函数 【变式训练18-1】（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 【变式训练18-2】（24-25高三下·上海静安·期中）已知向量、，记． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标公式结合二倍角的余弦公式求出函数解析式，再根据余弦函数的周期性即可得解； （2）根据三角函数的奇偶性求解即可. 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期； （2）， 因为函数为奇函数， 所以，解得， 又因为，所以. 题型19 由余弦（型）函数的对称性求参数 例1．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将利用辅助角公式化为，利用函数的图像关于y轴对称，得到，计算求解. 【详解】，， 的图像关于y轴对称， ，， 当时，. 故选：B. 例2．（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______． 【答案】1 【分析】根据余弦函数的周期结合题意，列式求解，即得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 则由相邻两条对称轴之间的距离为，可得. 故答案为：1 【技巧总结】 1.相邻对称轴相邻对称中心间距均为 2.对称轴方程满足 3.对称中心满足 【变式训练19-1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 【答案】2或 【分析】根据题意，令，分和讨论，求得的范围，利用余弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 【变式训练19-2】（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则__________． 【答案】/ 【分析】借助余弦型函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，即， 又因为，所以. 故答案为：. 题型20 正余弦函数的图像性质综合 例1．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 【答案】B 【分析】根据在区间上的单调性以及，求得图象的对称中心、对称轴、函数的最小正周期，即可判断各选项. 【详解】对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为一个周期内单调区间长度不超过半个周期， 而，且， 所以是图象的一条对称轴. 因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心， 则函数的一个零点是，故D正确. 故选：B 例2．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【答案】(1)，. (2) (3)68 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算，求对勾函数最值即可求解； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【详解】（1） . 令，，解得，， 故的单调递增区间为，. （2）由（1）知， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则，且， 因为，则函数在上单调递减， 由，解得， 则的最大值为，故. （3）令 ， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， 则， 因， 所以. 【技巧总结】 1.正余弦型函数解析式通用形式 2.所有性质均围绕整体分析整体换元是核心解题思想 3.图像五点周期最值对称点四类条件可互相推导解析式 4.正余弦函数可通过诱导公式互相转化 【变式训练20-1】（2023·上海普陀·一模）设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______. 【答案】/0.5 【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可. 【详解】作出函数，的大致图象，如图，令，， 解得，， 则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度） 即，关于直线，对称，， 由于，故， 而，关于直线，对称， 故点横坐标为， 将点横坐标代入，得． 故答案为：. 【变式训练20-2】（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）下列命题： ①终边在坐标轴上的角的集合是； ②若，则； ③当时，函数取得最大值，则； ④函数在区间上的值域为； ⑤方程在区间上有两个不同的实数解，则． 其中正确命题的序号为__． 【答案】①③⑤ 【分析】取特殊值排除②④，终边在坐标轴上的角的集合是，①对，，，③对，画出图像，根据图像得到⑤正确，得到答案. 【详解】对①：终边在坐标轴上的角的集合是，故①对； 对②：由于当时，仍成立，但没意义，故②错； 对③：当时，函数，，取，取得最大值，则，则，故③对； 对④：当时，，故④错； 对⑤：令，则，在同一直角坐标系中作出，的图象和，使得两图象有两个交点，则得，即，所以，故⑤对； 故正确命题的序号为①③⑤． 故答案为：①③⑤ 一、单选题 1．（24-25高二下·上海静安·阶段检测）若函数是偶函数，则的一个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是偶函数，可得到，由此写出一个答案即可. 【详解】函数为偶函数，则 ， 结合选项可知，当时，，B正确， 无论，取何值，ACD都无解，故错误. 2．（22-23高一下·上海普陀·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间 的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】①当时，，由偶函数的定义判断①正确；②当时，，由复合函数的单调性判断②错误；③当时，，求得函数的零点判断③错误；④当时，，令，求其最大值判断④正确. 【详解】①当时，，其定义域为， 且，函数为偶函数，故①正确； ②当时，，由，得， 则在上不单调，故②错误； ③当时， 由，得，即 则，共4个零点，故③错误； ④当时， 周期，区间的长度为，即为周期， 所以当区间为函数的单调递增区间或单调递减区间时，最大， 令 ，其中， 即设在区间上的最大值为，最小值为，则， 故④正确.   故选：B. 3．（23-24高二上·上海普陀·阶段检测）已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的单调性，取特殊值排除选项. 【详解】取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，最大值为，故A正确； 取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，故B正确； 取时，则，，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，函数在上单调递增，，最大值为，故C正确； 所以不可能发生的是D. 故选：D. 4．（23-24高三上·上海浦东新·期中）奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性求出，从而，根据得到的范围，结合正弦函数的性质列出不等式组，求出的取值范围. 【详解】因为为奇函数， 所以，即，所以， 当时，则， 所以，解得， 故选：C. 5．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可. 【详解】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 结合余弦函数的图象，可得，解得. 二、填空题 7．（24-25高一下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数单调性列式求出递增区间. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 8．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）函数的最大值是__________. 【答案】 【详解】， 故当，即，时， 取得最大值，最大值为. 9．（24-25高一下·上海杨浦·阶段检测）满足为奇函数的所有组成的集合有______个子集. 【答案】1 【分析】由奇函数的性质有求得，再验证是否满足题设得到对应空集，即可得. 【详解】由题设，则，故， 当，则，不符合； 当，则，不符合； 综上，不存在这样的值，即对应空集，故子集个数为1. 故答案为：1 10．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期是______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式将函数化简为，利用三角函数的周期性可得答案. 【详解】函数， 所以最小正周期为. 11．（25-26高三上·上海·期末）已知的最小正周期为，则__________． 【答案】 【分析】先利用二倍角正弦公式化简函数表达式，再根据正弦函数的周期公式求解的值. 【详解】依题意得， 已知最小正周期， 代入周期公式得：，解得. 故答案为：. 12．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域是______. 【答案】 【分析】根据题意，利用三角函数辅助角公式化简得，再利用正弦函数的性质求解即可. 【详解】由已知， 因为， 所以 的值域为. 13．（24-25高一下·上海·期中）函数的零点为______． 【答案】或 【详解】令，解得， 故或． 14．（25-26高一下·上海·期中）已知，当时，函数的零点个数为______. 【答案】6 【分析】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数. 【详解】令，即，移项可得， 对于，其周期；对于，其周期； 当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 15．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数，若存在，，使得，则正数的最小值为________． 【答案】/ 【详解】由题设及正弦函数的性质知，必是的一个最大值和一个最小值， 所以上存在最大值和最小值，此时， 所以，只需，故其最小值为. 16．（25-26高一下·上海宝山·期中）函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 【答案】 【详解】函数向左平移后的新函数为： ， 若正弦型函数为偶函数，则需满足， 则，解得， ， 当时，． 17．（25-26高一下·上海·阶段检测）方程的解集为________________（用列举法表示） 【答案】 【分析】通过移项、化简得到正弦函数的表达式，再结合给定区间求解的值． 【详解】由，化简得． 则或， 即或， 因为，所以当时，或. 所以方程的解集为. 18．（25-26高一下·上海·阶段检测）若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】利用换元法结合三角函数图象来列出限制条件可得答案. 【详解】令， ∵函数在区间恰有2个零点， ∴有两个根， 即与有2个公共点，如图， 则且，所以. 所以的取值范围是. 19．（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则_________． 【答案】 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的斜边长即可，再根据可知等腰直角三角形的斜边上的高，由此求得斜边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与的交点中， ， 令，即， 不妨取， 即， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 当正弦值等于余弦值时，函数值为， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，所以． 20．（25-26高一下·上海·期中）已知函数（）在内恰有2025个零点，则正整数____. 【答案】1350 【分析】先将函数 进行化简，然后通过换元法将其转化为关于 的二次函数，再根据二次函数的性质以及三角函数的周期性来分析函数 在区间 上的零点情况，进而求出正整数 的值. 【详解】已知 ，根据二倍角公式 ， 可得 ， 令 ，因为 ，所以 ， 此时函数可转化为， 令 ，由得一定有两个不等实根，且， 若且，则在的每一个区间上都有偶数个解， 因此在区间上解的个数为偶数，不合题意， 所以中有一个为1或， 若，则，另一解为，所以在每个形如的区间上有3个解， 又，所以时，在上有2025个解； 若，则，另一解为，所以在每个形如的区间上有3个解， 又，所以时，在上有2025个解； 综上，正整数的值为1350. 21．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知，若对任意的，都存在，使得成立，则正实数的取值范围是_____． 【答案】或或 【分析】就、、、结合正弦型函数的值域的包含关系分类讨论后可得取值范围. 【详解】当时，函数的最小正周期小于等于，的值域为，的值域也为，符合题意； 当时，，且，故的值域为， 故的值域为，而， 则或， 所以或,结合可得或； 故此时对任意的，都存在，使得成立， 当时，此时且，故， 此时的值域为， 同理的值域为，其中， 由题设有或， 故或，故或. 故（舍）或（舍）或. 当时，且，故， 此时的值域为， 同理的值域为，其中， 故，故当时，不存在，使得成立， 故不合题意； 综上，或或. 三、解答题 22．（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）已知，． (1)是否存在常数，使得函数是奇函数； (2)若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在，当时，函数是奇函数 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性及两角和差的余弦公式求解即可. （2）利用两角和的余弦公式化简不等式，分离参数得到，结合单调性求出在上的最小值即可. 【详解】（1）若是奇函数，则对任意恒成立 即 所以，因为，所以． 故当时，函数是奇函数. （2）若，则， 则不等式对任意恒成立可化为对任意恒成立， 因为在上单调递减，所以， 所以的取值范围是． 23．（25-26高一下·上海·期中）已知函数． (1)将函数化为的形式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可化简函数的解析式； （2）由可得，令，其中，则实数的取值范围即为函数在区间上的值域，利用正弦型函数的基本性质求解即可； （3）求出函数，由可求得，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1） . （2）由可得，可得， 令，其中， 由题意可知，实数的取值范围即为函数在区间上的值域， 由可得，所以， 故，故实数的取值范围是. （3）， 当时，，且， 因为正弦函数在上从小到大的第一个最小值点为，第二个最小值点为， 因为有且只有一个，使得函数取得最小值， 则，解得， 故实数的取值范围是. 24．（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 【答案】(1) (2)的最小值为，单调递增区间为 【分析】(1)利用余弦函数的对称中心性质即可求出的值.(2)先利用二倍角公式和辅助角公式化简,即可求解最值和单调性. 【详解】（1）已知点是对称中心，则有， 解得，又因为，所以当时，. （2）由(1)知， 则 即 因为，所以的最大值为 由题意可知. 所以，所以的最小值是. 解得， 所以单调递增区间为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正弦函数，余弦函数的图像与性质 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 五点法作正余弦（型）函数图像 题型11 求余弦（型）函数的的单调性 题型2 求正弦（型）函数的的单调性 题型12 求余弦（型）函数的最值 题型3 求正弦（型）函数的最值 题型13 求余弦（型）函数的奇偶性 题型4 求正弦（型）函数的奇偶性 题型14 求余弦（型）函数的周期性 题型5 求正弦（型）函数的周期性 题型15 求余弦（型）函数的对称性 题型6 求正弦（型）函数的对称性 题型16 由余弦（型）函数的单调性求参数 题型7 由正弦（型）函数的单调性求参数 题型17 由余弦（型）函数的最值求参数 题型8 由正弦（型）函数的最值求参数 题型18 由余弦（型）函数的奇偶性求参数 题型9 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 题型19 由余弦（型）函数的对称性求参数 题型10 由正弦（型）函数的对称性求参数 题型20 正余弦函数的图像性质综合 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 考点1五点作图法 以选择、填空基础题为主，多与余弦函数五点法对比考查，是图像类题型的入门考点 考点2由图像分析基础性质 图像与性质综合考查的常规题型，多为客观题，间接考查函数单调性、最值等核心内容 考点3图像交点与对称性识别 常结合参数求值命题，以客观题为主，侧重利用对称特征分析函数规律 考点4由图像求解参数 综合类高频考点，选择、填空、解答题均有出现，融合图像特征与函数公式，考查综合分析能力 考点5定义域与值域 基础必考考点，常结合三角恒等变换、区间限制考查值域与最值问题 考点6周期性 基础题型，直接计算周期、由周期反求参数为主要考法，遍布各类题型 考点7奇偶性 常与对称性、单调性结合命题，以客观题为主，考查奇偶性定义与图像特征的关联 考点8单调性 核心高频考点，选择、填空、解答题均重点考查，常结合自变量区间限定求解单调区间与比较函数值大小 考点9对称性 中档常考题型，多结合参数设置考题，客观题为主，侧重对称性质的灵活应用 考点10最值 解答题热门考点，常搭配三角变换、辅助角公式综合命题，区分基础最值与区间最值 考情解码： 1图像相关考点（五点作图识图判性质交点与对称性识别）难度偏低属于基础送分题型主要易错点为混淆正弦余弦函数的五点坐标无法精准从图像提取单调区间最值对称特征复习需强化关键点记忆建立图像形态与函数性质的对应关系养成看图分析的解题习惯 2由图像求解参数属于中档偏上综合考点区分度较强高频失误集中在利用周期求计算出错结合定点求相位时忽略角度范围限制复习要固化解题步骤遵循最值定周期定定点/对称特征定的顺序规范角度取值分析 3定义域值域周期性为必考基础考点出题形式固定难度小常见错误为计算周期时遗漏公式中的绝对值求解限定区间内函数值域时直接套用未分析整体相位角范围复习牢记核心公式与基本范围重点区分全体实数域和自变量受限两种题型的解法 4奇偶性多结合对称性单调性联合命题极少单独考查难度中等易错点是判断复合型三角函数奇偶性时忽略定义域优先原则复习紧扣奇偶函数定义与图像特征掌握基础判断方法即可 5单调性整体对称性是本模块重难点考查形式灵活全题型覆盖易出现区间书写错误遗漏混淆对称轴与对称中心表达式等问题复习需熟背标准区间与对称结论针对正弦余弦两类函数做对比记忆强化限定区间内单调区间函数值大小比较的专项训练 6最值问题常结合三角恒等变换辅助角公式综合命题是解答题热门考点核心误区是不区分全域最值与区间最值忽略自变量范围直接套用函数固有最值复习侧重训练化简—定角范围—结合函数有界性求最值的完整解题流程 7命题规律上正弦与余弦函数知识点常对比考查侧重辨析二者图像性质的异同综合题多将图像特征各类性质三角变换融合考查侧重考查知识迁移与综合应用能力复习时注重模块内知识点串联强化题型归纳与错题整理 知识点一 三角函数的周期性 周期性 ①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期． ③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T． 【易错提醒】 1.运用周期公式时容易遗漏绝对值误将的周期算为 2.混淆最小正周期与周期的概念周期可以是最小正周期的整数倍答题默认求最小正周期 3.判断周期函数时忽略定义域限制部分分段或限定区间的三角函数不具备周期性 4.利用周期性化简求值时角度换算出错无法准确将大角度转化到基础区间内 即时即练 1.（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 2.（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期为___________. 知识点二 正弦函数图像的画法 ①几何法： （ⅰ）利用正弦线画出的图象； （ⅱ）将图象向左、向右平行移动（每次个单位长度）． ②“五点法”： （ⅰ）画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，______，，______，，用光滑的曲线连接； （ⅱ）将所得图象向左、向右平行移动（每次个单位长度）． 【易错警示】 1.五点作图法记错关键点坐标混淆与位置 2.作图时遗漏坐标轴标注区间范围划分不清晰关键点标注不全 即时即练 1.（23-24高一·上海·课堂例题）作出函数，的大致图象. 2.（23-24高二下·上海静安·期中）用“五点法”作出函数在一个周期内的图像. 知识点三 余弦函数的图象的画法 （1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移____单位. （2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是_______，_______，_______，_______，_______. 【易错警示】 1.五点作图法与正弦函数混淆记错这一起始关键点 2.对图像升降趋势判断错误余弦函数在单调递减在单调递增 3.借助周期性延展图像时平移距离把控不准图像重复部分形态不一致 4.区分不清正弦与余弦基础图像无法通过初始点快速辨别两类函数图像 即时即练 1.（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 2.（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 知识点四 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 函数 图象 定义域 _____________ _____________ 值域 _____________ _____________ 奇偶性 ____奇函数_________ ___偶函数__________ 周期性 最小正周期：_____________ 最小正周期：_____________ 最值 当_____________时，；当_____________时， 当_____________时，；当_____________时， 单调性 在_________________________上单调递增；在_____________上单调递减 在_______________________上单调递增；在___ ______________上单调递减 零点 ， ， 对称轴 ， ， 对称中心 【易错警示】 1.单调性区间记混正弦递增区间与余弦递增区间相互混淆书写时遗漏 2.对称性概念混淆搞反两类函数的对称轴与对称中心表达式 3.奇偶性判断失误忽略正弦为奇函数余弦为偶函数的核心特征 4.最值对应自变量记错混淆两类函数取最大最小值时的取值 5.数形结合应用出错无法根据图像特征对应函数性质识图判型出现偏差 6.求解限定区间值域时直接套用全域范围未结合区间与单调性分析 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）某美妙音乐的模型函数为有如下四个结论： ①是偶函数； ②在区间单调递增 ③在上有个实数解； ④最小正周期是 其中所有正确的结论的编号是（        ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 2.（25-26高一下·上海·期中）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．的最小正周期为2π C．的图象关于点对称 D．的最大值为 题型1 五点法作正余弦（型）函数图像 例1．（23-24高一下·上海·单元复习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，． (3)， 例2．（23-24高一下·上海·单元复习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 【技巧总结】 1.确定函数定义域与一个完整周期区间一般选取长度为的连续区间 2.令结合反解出的取值得到五个关键点对应的横坐标 3.依次计算每组坐标精准标注五个关键点 4.用平滑曲线连接五点再利用周期性向左右延伸得到完整图像 5.作图规范标注坐标轴关键点坐标函数解析式与周期范围 【变式训练1-1】函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练1-2】定义在区间的函数与的图像交点个数为______． 题型2 求正弦（型）函数的单调性 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 例2．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.基础函数直接套用标准单调区间 2.对于先判断正负若先用诱导公式转化为形式 3.整体换元令结合的单调区间列不等式求解范围 4.区间结果必须带上多个区间分开书写不取并集 【变式训练2-1】（25-26高二下·上海松江·阶段检测）函数的单调递增区间是____________. 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海黄浦·期末）已知. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调减区间. 题型3 求正弦（型）函数的最值 例1．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域是______________． 例2．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域为______； 【技巧总结】 1.基础函数直接利用值域求最值 2.换元处理令先确定的取值范围 3.结合整体推导函数最大值与最小值 4.限定区间题型必须分析的范围不能直接套用全域最值 【变式训练3-1】（25-26高一下·上海·期中）函数的最大值与最小值之和为___________． 【变式训练3-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 题型4 求正弦（型）函数的奇偶性 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 【技巧总结】 1.优先判断函数定义域定义域不关于原点对称直接判定为非奇非偶函数 2.定义域对称时利用奇偶性定义与对比判断 3.对于结合图像对称特征快速判定 【变式训练4-1】是_________函数（填奇偶性）； 【变式训练4-2】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 题型5 求正弦（型）函数的周期性 例1．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期为________． 例2．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期是___________. 【技巧总结】 1.基础函数最小正周期 2.对直接套用周期公式计算 3.区分周期与最小正周期考题若无特殊说明默认求最小正周期 【变式训练5-1】（25-26高一下·上海普陀·阶段检测）已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 【变式训练5-2】（25-26高一下·上海普陀·阶段检测）函数的最小正周期为________. 题型6 求正弦（型）函数的对称性 例1．已知函数，则下列说法错误的是（ ） A．为奇函数 B．曲线的对称中心为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有一条对称轴 例2．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.对称轴：函数在对称轴处取得最值令解出即为对称轴 2.对称中心：函数在对称中心处函数值为0令解出对应点为对称中心 【变式训练6-1】（24-25高一下·上海·阶段检测）函数的图象的对称中心的坐标是___________. 【变式训练6-2】函数的图象在区间上的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 题型7 由正弦（型）函数的单调性求参数 例1．已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A． B． C． D． 例2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.先将函数整理为的标准形式再整体换元 2.根据已知单调区间结合的单调区间建立不等式组 3.利用区间包含关系列出关于参数的不等关系求解参数范围 4.验证边界取值排除不符合条件的解 【变式训练7-1】（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是___ 题型8 由正弦（型）函数的最值求参数 例1．（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 例2．已知函数在上的值域为，则的取值范围是________． 【技巧总结】 1.全域最值：结合最值公式列等式求A、k 2.区间最值：先求的范围结合最值取得条件反推参数值或范围 3.已知最值点坐标将点代入函数解析式联立方程求解参数 【变式训练8-1】若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为_______． 【变式训练8-2】（25-26高三·上海·二轮复习）已知，若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足，则的取值范围______. 题型9 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数，为偶函数，则__________. 例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则_________． 【技巧总结】 1.第一步验证定义域保证定义域关于原点对称 2.奇函数：满足或图像过原点结合结论列方程求 3.偶函数：满足结合对称结论求解参数 常考结论 1.为奇函数 2.为偶函数 【变式训练9-1】（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数（其中）为偶函数，则__________. 【变式训练9-2】（24-25高一下·上海·期中）已知函数为偶函数，则________. 题型10 由正弦（型）函数的对称性求参数 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知函数，在区间上单调递减，直线和为的图象的两条相邻对称轴，则_____． 例2．（25-26高三上·上海·期末）若直线是函数的一条对称轴，则__________． 【技巧总结】 1.已知对称轴：将对称轴横坐标代入令函数值等于解参数方程 2.已知对称中心：将对称中心横坐标代入令函数值等于解参数方程 3.多个对称条件联立方程组求解多参数 4.结果结合写出通解或限定范围内的特解 【变式训练10-1】已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为________． 题型11 求余弦（型）函数的单调性 例1．（24-25高一下·上海·阶段检测）函数的单调增区间为______． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的单调区间和值域． 【技巧总结】 1.基础函数直接套用标准单调区间 2.对于时先用诱导公式转化为 3.整体换元结合单调区间列不等式求范围 4.书写区间必须标注 【变式训练11-1】（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 【变式训练11-2】（25-26高一下·上海·期中）函数的单调减区间是____________． 题型12 求余弦（型）函数的最值 例1．（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为______． 例2．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为______ 【技巧总结】 1.基础函数值域直接求全域最值 2.换元根据范围确定范围再结合取值求最值 3.利用伸缩平移规律推导最值 4.区间题型优先分析整体角范围禁止直接套用全域结论 【变式训练12-1】（24-25高一下·上海青浦·阶段检测）函数的最大值为__________. 【变式训练12-2】（24-25高一下·上海青浦·期中）下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 题型13 求余弦（型）函数的奇偶性 例1．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是________函数（填“奇”或“偶”） 例2．（24-25高一下·上海·阶段检测）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【技巧总结】 1.先判断定义域是否关于原点对称不对称则非奇非偶 2.利用与的关系判断奇偶性 3.结合图像轴对称中心对称特征辅助判断 常考结论 1.是偶函数满足图像关于轴对称 2.为偶函数 3.为奇函数 【变式训练13-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数为奇函数，判断函数的奇偶性，并说明理由. 【变式训练13-2】（23-24高一下·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 题型14 求余弦（型）函数的周期性 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期为_________ 例2．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 【技巧总结】 1.基础函数最小正周期 2.余弦型函数统一使用公式计算 【变式训练14-1】（24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【变式训练14-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小正周期； （2）函数（）的最小正周期为，求的值. 题型15 求余弦（型）函数的对称性 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 例2．函数，且为偶函数，则___，图象的对称中心为________， 【技巧总结】 1.对称轴：令求解即为对称轴方程 2.对称中心：令求解对应为对称中心 3.利用最值点判断对称轴利用零点判断对称中心 4.多个对称条件结合周期综合分析 【变式训练15-1】函数的图象（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【变式训练15-2】函数（）的对称轴方程为___________. 题型16 由余弦（型）函数的单调性求参数 例1．（25-26高一下·上海青浦·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为________. 例2．已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【技巧总结】 1.统一将函数化为的标准形式整体换元 2.结合已知单调区间对照的单调区间建立不等式组 3.根据区间包含关系确定参数取值范围 4.检验端点取值是否符合题意 常考结论 1.单个单调区间长度小于等于半个最小正周期 【变式训练16-1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 【变式训练16-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（    ）． A． B． C． D． 题型17 由余弦（型）函数的最值求参数 例1．已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 例2．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【技巧总结】 1.全域最值：结合最值公式列等式求A、k 2.区间最值：先求的范围结合最值取得条件反推参数值或范围 3.已知最值点坐标将点代入函数解析式联立方程求解参数 【变式训练17-1】若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是__________. 【变式训练17-2】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 题型18 由余弦（型）函数的奇偶性求参数 例1．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若函数为奇函数，则__________． 例2．若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.为偶函数 2.为奇函数 【变式训练18-1】（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则______. 【变式训练18-2】（24-25高三下·上海静安·期中）已知向量、，记． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 题型19 由余弦（型）函数的对称性求参数 例1．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______． 【技巧总结】 1.相邻对称轴相邻对称中心间距均为 2.对称轴方程满足 3.对称中心满足 【变式训练19-1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 【变式训练19-2】（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则__________． 题型20 正余弦函数的图像性质综合 例1．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 例2．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【技巧总结】 1.正余弦型函数解析式通用形式 2.所有性质均围绕整体分析整体换元是核心解题思想 3.图像五点周期最值对称点四类条件可互相推导解析式 4.正余弦函数可通过诱导公式互相转化 【变式训练20-1】（2023·上海普陀·一模）设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______. 【变式训练20-2】（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）下列命题： ①终边在坐标轴上的角的集合是； ②若，则； ③当时，函数取得最大值，则； ④函数在区间上的值域为； ⑤方程在区间上有两个不同的实数解，则． 其中正确命题的序号为__． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海静安·阶段检测）若函数是偶函数，则的一个值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海普陀·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间 的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 3．（23-24高二上·上海普陀·阶段检测）已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（　　　　） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·上海浦东新·期中）奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高一下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为_________． 8．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）函数的最大值是__________. 9．（24-25高一下·上海杨浦·阶段检测）满足为奇函数的所有组成的集合有______个子集. 10．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期是______． 11．（25-26高三上·上海·期末）已知的最小正周期为，则__________． 12．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域是______. 13．（24-25高一下·上海·期中）函数的零点为______． 14．（25-26高一下·上海·期中）已知，当时，函数的零点个数为______. 15．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数，若存在，，使得，则正数的最小值为________． 16．（25-26高一下·上海宝山·期中）函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 17．（25-26高一下·上海·阶段检测）方程的解集为________________（用列举法表示） 18．（25-26高一下·上海·阶段检测）若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是____________. 19．（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则_________． 20．（25-26高一下·上海·期中）已知函数（）在内恰有2025个零点，则正整数____. 21．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知，若对任意的，都存在，使得成立，则正实数的取值范围是_____． 三、解答题 22．（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）已知，． (1)是否存在常数，使得函数是奇函数； (2)若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 23．（25-26高一下·上海·期中）已知函数． (1)将函数化为的形式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围． 24．（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $