专题06 向量的坐标表示及其应用（13大题型归纳）（暑假复习讲义）新高二数学沪教版

专题06 向量的坐标表示及其应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 基底的概念辨析 题型8 向量模长的坐标表示 题型2 用基底表示向量 题型9 向量夹角的坐标表示 题型3 由平面向量基本定理求参数 题型10 向量解决三点共线问题 题型4 向量线性运算的坐标表示 题型11 数量积的最值与范围问题 题型5 向量线性坐标运算中的最值与范围 题型12 线段的定比分点 题型6 数量积的坐标运算 题型13 三角形四心的向量表示 题型7 垂直平行的坐标表示 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 平面向量基本定理： 常考考点 1基底判定：不共线两向量才可作为一组基底 2向量线性分解：任意平面向量唯一表示为 3参数求解：结合共线、长度、数量积列方程 4面积比值、几何图形中向量分解转化 1选择填空：给定图形快速求分解系数 2解答前置工具：用基底统一向量后再计算数量积、夹角 3综合考：结合三角形重心、定比分点混合求参数 向量正交分解与坐标表示： 1平面直角坐标系下正交基底分解 2有向线段坐标： 3向量模长坐标公式 4点坐标与向量坐标区分辨析 1基础送分：由两点坐标求向量、求模 2综合载体：所有坐标类向量计算的前置基础 3易错题：混淆点坐标与向量坐标符号 向量线性运算的坐标表示： 常考考点 1加减坐标运算： 2数乘坐标运算： 3向量共线坐标判定： 1选择题高频：利用共线条件求参数 2解答题基础运算：线性化简、联立方程求未知数 3结合定比分点、三角形四心混合命题 向量数量积与夹角的坐标表示： 常考考点 1数量积坐标公式： 2夹角余弦坐标式： 3垂直判定： 4模长平方转化： 1高频解答考点：求夹角、垂直求参数、最值范围 2综合题型：与解三角形、函数最值结合命题 3易错点：夹角范围钝角易忽略数量积小于0且不反向共线 线段的定比分点： 常考考点 1定比分点向量公式 2坐标定比分点： 3中点公式（特例） 4分点内外区分：内分外分 1选择填空速算：已知分比求坐标/已知坐标求 2几何综合：三角形边上动点、线段比例转化向量 3与重心、中线问题结合命题 三角形四心的向量表示： 常考考点 1重心：坐标 2外心： 3垂心： 4内心：（为三边边长） 1选择判断：给出向量等式快速判断对应心 2解答几何大题：作为条件转化工具 根据向量关系判断三角形的心： 常考考点 1由线性和式判定重心 2由模长相等判定外心 3由数量积垂直等式判定垂心 4边长加权线性等式判定内心 5向量变形、配凑后还原四心标准式 条件转化类大题：先判心再结合边长、夹角计算 考情解码： 1运算体系依托坐标完成向量加减数乘模长数量积计算平行垂直依靠坐标等式快速判定 2基底工具平面内任意向量可唯一分解为一组不共线基底的线性组合是几何条件转化的通用手段 3定比分点区分内外分点符号中点公式为特殊分比模型多用于线段比例转化 4四心模型重心均等系数内心边长加权外心模长相等垂心数量积垂直填空压轴高频辨析考点 5夹角参数陷阱锐角钝角求解参数必须剔除同向反向共线情形 6命题逻辑小题侧重公式辨析与参数求值解答题以基底分解+坐标数量积为固定解题流程常联动解三角形综合考查 7易错核心共线向量不能作基底定比分点正负区分内外分四类心向量公式易混淆零向量共线特殊条件易遗漏 知识点一 向量基本定理 平面内给定两个不共线向量，平面内所有向量都能唯一分解为这两个向量的线性组合，这是平面向量坐标化的理论基础，教材配套例题以三角形、平行四边形为几何载体，考查基底分解求参数. 核心结论 1基底选取条件：平面内不共线的两个非零向量可作为一组基底 2分解唯一性：对平面内任意向量，存在唯一实数，满足 3解题用途：将几何线段比例、平行条件转化二元方程组求解参数 【易错提醒】 1.共线向量、零向量不可作为平面基底 2.分解时系数取值唯一，不可随意替换 即时即练 1.（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图所示，点分别在线段上，，，为线段中点，设，. (1)用，表示，，； (2)若，，且，求点与点的距离. 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）由于，根据题意，结合向量的数量积即可求出. 【详解】（1）已知，，则， 因为，所以， 又因为，为线段中点，所以. （2）已知，所以， 又因为，则，即，化简得，解得， 由于，则，即， 所以， 因此， 解得. 2.（25-26高一下·上海·阶段检测）已知在中，是线段上一点满足，连接，在线段上，若，则________． 【答案】 【详解】    由题意得，故，又三点共线， 所以. 知识点二 向量正交分解与坐标表示 取平面直角坐标系中与x、y轴同向的单位正交向量作基底，把任意向量拆分为的线性组合，系数即为向量坐标；由两点坐标可求对应有向线段向量，同步引入向量模长计算公式. 核心结论 1正交单位基底： 2两点向量坐标：若，则 3向量模长公式：若，则 【易错提醒】 1.向量坐标=终点坐标-起点坐标，易颠倒顺序 即时即练 1.如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则_____. 【答案】 【分析】根据题设有，，再由向量加法及数量积的运算律求向量的模. 【详解】由题设，，则， 所以 . 故答案为： 2.（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 【答案】(1)，. (2)， 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）利用中点坐标公式，然后求解M点坐标，再根据向量相等，即可利用坐标相等求解D点坐标. 【详解】（1）因为 所以， . （2）设，因为M为中点，、， 所以，所以. 设，则， 由得， 即所以即. 知识点三 向量线性运算的坐标表示 向量的加减、实数数乘运算，可直接对应横、纵坐标分别运算；由线性运算推导两向量平行的坐标等价条件，是单元基础计算题必考内容. 核心结论 1加减坐标运算： 2实数数乘： 3向量平行坐标判定： 【易错警示】 1.混淆平行、垂直坐标公式：平行是交叉乘积相减为0，垂直是横纵坐标乘积相加为0 2.数乘运算只乘对应横、纵坐标，不可交叉运算 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知向量，则________ 【答案】 【详解】向量，则. 2.（25-26高一下·上海·期中）已知向量，若，则__________. 【答案】2 【详解】因为，所以 ，解得. 知识点四 向量数量积与夹角的坐标表示 引入坐标形式数量积公式，推导出向量垂直的充要条件；结合模长公式得到两向量夹角余弦表达式，常考已知夹角（锐角/钝角）求参数范围题型. 核心结论 1数量积坐标公式： 2向量垂直判定： 3夹角余弦公式：，夹角范围 【易错警示】 1.锐角条件：且两向量不同向共线，做题易忽略排除共线 2.钝角条件：且两向量不反向共线 3.夹角公式分母必须同时乘两个向量模长 即时即练 1.（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）已知向量，．若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围______． 【答案】 【分析】根据与夹角为钝角得且不反向共线，然后求m的范围即可. 【详解】因为与夹角为钝角，所以，解得， 当与反向共线，即时，，解得， 综上所述，m的范围为. 2.已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示方法，求出的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求出结果. 【详解】由题意可得，故. 故选：A. 知识点五 线段的定比分点 定比分点定义，分内分点、外分点两类，推导向量统一公式与坐标公式，中点为的特殊情形，多用于线段动点、中线计算. 核心结论 1向量定比分点公式： 2坐标定比分点： 3分类：内分点；外分点 4特例中点公式： 【易错警示】 1.外分点为负数，代入计算时分母符号容易出错 2.混淆与，分比互为倒数 即时即练 1.（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 2.（25-26高一下·上海·期中）已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【详解】设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 知识点六 三角形四心向量表示 设，内角A、B、C对边边长依次为a、b、c，平面任意原点为 （1）重心（三条中线交点） 核心结论 1无原点限制式： 2通用原点分解： 3重心坐标： 4线段比例：（为中点） （2）外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心） 核心结论 1核心判定式： 2垂直推论： 3角度关系： （3）垂心（三条高线交点） 核心结论 1基础等式： 2垂直判定： 3欧拉定理：（外心，垂心） （4）内心（三条角平分线交点，内切圆圆心） 核心结论 1标准加权式： 2原点通用式： 3单位向量模型：与共线 4分边比例：上点， 【易错警示】 1.重心系数均等、内心系数为边长，两类公式极易混淆 2.内心边长对应顶点不可错位：对应、对角 3.外心依靠模长相等，垂心依靠数量积垂直，判定条件不能混用 即时即练 1.若为的重心，则____________． 【答案】 【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解. 【详解】如图所示，延长至交于使得，则由重心性质知为中点，又为中点，故四边形为平行四边形． 所以． 又因为，则 所以． 2.已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 题型1 基底的概念辨析 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 例2．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项． 【详解】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 【技巧总结】 1.零向量与任意向量共线，不能作基底 2.成倍数关系的两向量共线，不可作为基底 3.判定基底只需验证：不存在实数使 【变式训练1-1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 【变式训练1-2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A，，故共线，故A错误； 对于B，，故共线，故B错误； 对于C，，故共线，故C错误； 对于D，设，，则， 所以，无解，故不共线，故D正确. 故选：D. 题型2 用基底表示向量 例1．（25-26高一下·上海静安·期末）如图，在平行四边形中， ，，， 是对角线的交点，点、满足．则的值为________． 【答案】 【分析】先选取合适的基底向量和，将题目中未知的向量和用基底向量表示出来，再运用向量数量积计算公式进行计算即可. 【详解】设，，由题意得，，， 由平面向量数量积公式，则. ∵四边形是平行四边形，是对角线的交点， ∴，，. 由，则. 由，则， ∴， ∴. 例2．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 【技巧总结】 1.图形中利用中位线、相似、中点拆分向量，统一用表达 2.从目标向量起点/终点拆解，逐步向基底线段转化 3.出现多条线段时，优先用中点、等分点简化分解 【变式训练2-1】（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 【答案】1 【详解】设为边的中点，因为是三角形的重心，所以， ， ， ． 【变式训练2-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算将转化为和的线性组合，对比系数即可求得的值. 【详解】 因为点是边上靠近点的三等分点，所以. 所以 ， 又，且与不共线， 由平面向量基本定理可知，. 题型3 由平面向量基本定理求参数 例1．（25-26高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 【答案】 【详解】在平行四边形中，，对角线交点是中点， 因此， 因为是的中点，所以， ， ，得，，因此. 例2．（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）若，，则 _____________． 【答案】/ 【详解】已知，则三点共线， ，代入得， ，即． 【技巧总结】 1.等式两侧整理为相同基底线性组合，对应系数相等列方程组 2.含几何图形先完成向量分解，再对比系数解方程 3.两个方程两个未知数，直接求解 【变式训练3-1】在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算可得，可求的值. 【详解】因为D是BC的中点，所以， 所以，又， 所以， 所以， 又，所以，. 所以. 【变式训练3-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 题型4 向量线性运算的坐标表示 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知点为坐标原点，，，若，则点的坐标是__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 则, 故点的坐标是 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【答案】/ 【详解】设，因为平面上两点的坐标分别是，，且， 即，所以，解得，即的坐标为. 【技巧总结】 1.加减运算横纵坐标分开独立计算 2.数乘分配到横、纵坐标，不可只乘单一分量 3.向量坐标=终点坐标减起点坐标，顺序不可颠倒 【变式训练4-1】（25-26高一下·上海闵行·期中）与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的单位向量计算公式即可求解． 【详解】与向量平行的单位向量是， 结合选项可知，只有选项B符合题意． 【变式训练4-2】（24-25高二下·上海静安·阶段检测）已知向量，若与平行，则实数______． 【答案】 【详解】由题意得， ， 由与平行，所以，解得. 题型5 向量线性坐标运算中的最值与范围 例1．（24-25高一下·上海·阶段检测）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系后结合向量性质可表示出，再利用三角函数的有界性计算即可得. 【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，    则，，，则，， 设（），则圆方程为， 设，则， ， 可得，， 所以，其中， 当，，取得最大值， 当，，取得最小值， 所以的取值范围为． 故答案为：. 例2．中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 则△ABC为等腰直角三角形. 设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系， 则，，，设，， 则， ，， 因为，即， 所以， 所以， 所以当，即时； 故选：A 【技巧总结】 1.线性运算化简后，模长平方转化为二次函数求值域 2.带参数先分离参数，利用二次函数、配方法求最值 3.若含三角函数，借助辅助角公式求取值范围 【变式训练5-1】（25-26高一下·河北廊坊·阶段检测）如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，设为等边三角形内一点（含边界），若，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】延长交于点，则是等边三角形，． 四边形是平行四边形，，所以． 在线段上取点，使得，所以． 过点作，分别交于点,， 则,分别为的中点． 因为，所以， ．因为为内一点， 所以，即，所以，解得． 【变式训练5-2】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的坐标运算可得出、关于的表达式，利用辅助角公式可求得的最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，设点， 由于，即， 所以，为锐角，且. ，则，当时，取得最大值. 题型6 数量积的坐标运算 例1．（25-26高一下·上海静安·期末）已知向量，，设．则函数的值域为________． 【答案】 【详解】， 所以当时，取得最小值，；当时，取得最大值，； 所以函数的值域为. 例2．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值． 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 【技巧总结】 1.先坐标再相乘求和，分开计算横坐标乘积、纵坐标乘积再相加 2.求最值常用平方转化简化计算 3.图形类先写出两向量坐标，再代入公式 【变式训练6-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，则________. 【答案】1 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由， 可得. 【变式训练6-2】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解. 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 题型7 垂直平行的坐标表示 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知向量，，若，则______． 【答案】3 【详解】向量，， 因为，则， 得. 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）由题意可得，化简得 ， 解得 ，或 . （2）由题意可得 ，解得 ，故， 因此， 故. 【技巧总结】 ， 1.平行是交叉积相减为0，垂直是分量乘积相加为0，公式不要记混 2.含参数求范围：平行直接解方程；垂直构造等式求参数 3.零向量和任意向量平行，审题注意补充讨论 【变式训练7-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，向量 ，，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】求出的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解. 【详解】 已知，，可得 . 因为，所以，即， 整理得， 解得. 【变式训练7-2】（24-25高一下·上海·期末）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出； （2）利用得到，再利用线性运算得出坐标最后应用模长公式的坐标形式求解. 【详解】（1）若，则， 即 即或； （2）因为，则，则， 所以，得. 题型8 向量模长的坐标表示 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【详解】（1），； （2）， ，因为， 所以， 即. 例2．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知平面直角坐标系内，向量. (1)求满足的实数； (2)若向量满足，且，求的坐标. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用向量坐标运算列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示，模的坐标表示求解. 【详解】（1）由，得，则，解得， 即. （2）依题意，，设， 由，得，又，则，解得或， 所以或. 【技巧总结】 ， 【变式训练8-1】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量 . (1)求在上的数量投影； (2)求满足的实数的值； (3)若向量满足，且，求的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据投影的定义，结合数量积和模的公式求值即可； （2）根据平面向量数乘运算的坐标表示和向量相等的坐标表示列方程组，求解即可； （3）将垂直关系转化为数量积为0，根据模的公式列方程组，求解即可. 【详解】（1）因为，，所以，， 因此，在上的数量投影. （2）由题意，，， 又，所以，解得. （3）由题意，，设， 因为，且，所以， 解得或，所以或. 【变式训练8-2】（24-25高一下·上海崇明·期末）已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模； （2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角. 【详解】（1）由题知，，， 所以， 所以. （2）由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得，因为，所以 所以向量与向量的夹角为. 题型9 向量夹角的坐标表示 例1．（24-25高一下·上海·期末）已知向量； (1)若 ，求的值； (2)若，求向量与的夹角的大小. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算即可求解； （2）根据向量夹角公式计算余弦值，最后求出夹角的大小. 【详解】（1）由题意得，即， 解得或. （2）当时，， 设向量与的夹角为， 所以， 所以. 例2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得. （2）由条件，且与不平行. 当时，， ，解得，， 若，则，则， 所以的取值范围是. 【技巧总结】 1.锐角：且不同向共线 2.钝角：且不反向共线 【变式训练9-1】（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知向量满足. (1)求与的夹角余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到，，利用向量夹角余弦公式得到答案； （2）利用投影向量的计算公式进行求解即可. 【详解】（1），故，， 故； （2）， ，， 向量在向量上的投影向量为 【变式训练9-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 【答案】(1). (2)证明过程见解析. 【分析】（1）先根据平面向量的坐标求法得出，；再根据平面向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示和夹角的坐标计算即可求解. （2）根据平面向量垂直的坐标表示即可证明. 【详解】（1）由三点的坐标分别是可得： ，. 则；；， 所以. 又因为， 所以 （2）证明：因为，， 所以. 则， 即证得是以角A为直角的直角三角形. 题型10 向量解决三点共线问题 例1．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 【答案】 【分析】设，根据题目条件得到方程组，求出答案 【详解】设，则， 其中， 因为，所以， 所以，故 因为三点共线，所以， 故，即， 故，解得. 例2．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 【技巧总结】 A、B、C三点共线 存在实数， 存在， 【变式训练10-1】已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____． 【答案】/0.8 【分析】将三点共线，转化为，再利用向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】因为三点共线，所以，，， 所以，解得：. 故答案为： 【变式训练10-2】已知、、三点共线，则x的值为（    ） A．-7 B．-8 C．-9 D．-10 【答案】B 【分析】依题意可得，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得； 【详解】解：因为、、 所以，，因为、、三点共线，所以，即，解得 故选：B 题型11 数量积的最值与范围问题 例1．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． (1)若，求、的值； (2)若，，，且与的夹角为，求的值； (3)若，，，且与的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量加减法法则及中点性质求解； （2）利用向量线性运算表示，结合数量积定义及运算律求解； （3）建立平面直角坐标系，利用坐标运算及二次函数性质求取值范围. 【详解】（1）若，则， 整理得，即， 又， 所以； （2）若，则， 整理得，即， 所以 ， 因为，，且夹角为， 所以， 代入得； （3）因为与的夹角为， 以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，， 所以， 由，得， 所以， 则，， 所以 ， 因为为线段上一点，所以， 当时，取得最小值， 当或时，取得最大值， 所以的取值范围为. 例2．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，先求出点坐标，再利用向量的数量积的坐标运算，以及基本不等式的计算可得. 【详解】由， 则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设，，则，，，， 又， 其中是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， ，即， ， ， ， 当且仅当时取“”， 故的最大值为. 【技巧总结】 1.动点设坐标，数量积化简为单变量二次函数/三角函数 2.利用几何意义：固定一向量，另一向量投影变化求最值 3.出现参数先分离变量，配方法求值域 【变式训练11-1】（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 【变式训练11-2】（25-26高一下·上海·期中）如图，已知等边三角形的边长为4，以顶点为圆心，4为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）. (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过扇形面积减去等边三角形面积，直接计算阴影部分的面积； （2）法一，建立平面直角坐标系，用参数表示点的坐标，将向量数量积转化为三角函数，利用三角函数的单调性求取值范围；法二，利用向量中点公式和极化恒等式，将数量积转化为点到定点距离的平方形式，通过几何对称性求距离最值，进而得到取值范围. 【详解】（1）设阴影部分面积为，则. （2）法一：以为坐标原点，为轴，过与垂直的直线为轴，建立直角坐标系. 设，则， 则， 所以， ， 因为，所以， 所以的取值范围为. 法二：取中点，再取中点，则， 则， 由对称性可知，当点位于弧中点时， 当点与点或重合时， 所以的取值范围为. 题型12 线段的定比分点 例1．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 例2．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 【答案】 【分析】由题 可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ， ,,,． 所以点P的坐标为. 故答案为：. 【技巧总结】 ， 1.向量式： 2.坐标式： 内分点；外分点，符号区分内外分 【变式训练12-1】已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式及向量的坐标表示即得. 【详解】∵D为边的中点，， ∴. 故选：B. 【变式训练12-2】设是平面直角坐标系中相异的四点，若，，且，则称调和分割，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（    ） A．C可能是线段的中点 B．D可能是线段的中点 C．C、D可能同时在线段上 D．C、D不可能同时在线段的延长线上 【答案】D 【分析】由题意设，，，，结合已知条件得，根据选项考查的解，一一分析即可. 【详解】由已知不妨设，，，， 由C，D调和分割A，B 可知，，， 代入得(∗) 对于AB，若C是线段AB的中点，则，代入(∗)得，d不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理D不可能是线段的中点，故AB错误； 对于C， 若C，D同时在线段AB上，则，代入(∗)得，， 此时C和D点重合，与已知矛盾，故C错误； 对于D，若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，，则，这与矛盾，所以C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是将问题坐标化，从而简化运算，抓住的条件一一分析即可. 题型13 三角形四心的向量表示 例1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ） A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2 【答案】D 【分析】利用重心的性质和已知线性关系可得，故P为OA中点，进而可得面积比. 【详解】由O是△ABC的重心，得，而， 则，故， 所以点P为OA中点，即点P、点O为BC边中线的两个三等分点， 所以，， 所以△ACO与△CBP面积比为1:2. 故选：D 例2．已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 【技巧总结】 1.重心 ，， 2.外心 3.垂心 ， 4.内心 ， 【变式训练13-1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有__________． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 【答案】①③ 【分析】根据向量的线性关系及数量积，结合对应的几何意义判断点线的位置关系，进而确定△的心. 【详解】①若，即的中点与三点共线，故在中线上，同理在的中线上，故为△的重心，正确； ②由、分别平行于以顶角为的等腰三角形的底边，但不一定有、，故不一定为△的垂心，错误； ③由、表示与、中点的连线，且分别与、垂直，即为、的垂直平分线交点为，故为△的外心，正确． 故答案为：①③ 【变式训练13-2】下列叙述正确的是________. ① 为的重心，. ②为的垂心； ③为的外心； ④ 为的内心 【答案】①② 【分析】利用向量的线性运算以及向量数量积的运算逐项判断即可 【详解】解：①G为△ABC的重心，①正确； ②由，同理，，②正确； ③ ． ，与角C的平分线平行， P必然落在角C的角平分线上，③错误； ④ 为的外心④错 故答案为：①② 一、单选题 1．已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可. 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 2．（25-26高一下·上海·期中）在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则 设，， 则， 当时， 3．（25-26高一下·上海宝山·期中）向量，则下列能使成立的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量是否共线，即可判断是否能够作为基底求解. 【详解】对于A，共线，不可作为基底，所以A不正确 对于B，，则故两向量共线，不可以作为基底，所以B不正确 对于C，不共线，可以作为基底，且，故C正确 对于D，，故两向量共线，不可以作为基底，所以D不正确 二、填空题 4．（25-26高一下·上海·期末）若向量，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用平面向量共线的坐标充要条件列方程求解参数. 【详解】 已知，，且，则有 ， 整理得，解得. 5．已知O是平面上一个定点，A，B，C是平面上三个不共线的点，动点P满足条件，则点P的轨迹一定通过的___________心. 【答案】内 【分析】分别表示方向的单位向量，根据动点满足的条件，结合向量的线性运算、向量加法的几何意义判断出点的轨迹. 【详解】分别表示方向的单位向量， 令，， 则， 即. 又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在菱形的对角线上， 所以点P在角平分线上所以动点P的轨迹一定通过的内心. 故答案为：内 【点睛】 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知点，点，则与同向的单位向量坐标为_________ 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到，结合单位向量的计算方法，即可求解. 【详解】由点，，可得，则 则与向量同向的单位向量的坐标为. 7．（25-26高一下·上海·期末）已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】设，由题设及向量坐标运算可得答案. 【详解】设，因，则， 从而. 8．（25-26高一下·上海·期末）若向量，，则______．（结果用反三角表示） 【答案】 （或） 【详解】因为向量，，所以， 所以（或）. 9．（25-26高一下·上海·期末）若，，且，则__________． 【答案】 【分析】由向量平行坐标表示可得，然后由二倍角正切公式可得答案. 【详解】因，则，则. 10．（25-26高三下·上海宝山·期中）如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________. 【答案】 【分析】以、为基底将目标向量线性表示，通过向量数量积运算建立关于的方程，求解得到角度. 【详解】， ， 所以 ，又， 所以，解得， 所以，所以. 11．（25-26高一下·上海杨浦·期中）在 中， ． 点 为 所在平面上一动点，满足 ． 若 ，则 的最大值为______． 【答案】 【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，可得，由得，设，，代入，然后根据三角函数的辅助角公式直接得最大值. 【详解】分别以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 则， 又，所以， 设，， 则， 所以的最大值是. 12．（25-26高一下·上海·期中）已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 【答案】 【分析】先计算出与的坐标，利用两向量夹角为锐角等价于两向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式求解后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，，则 ，， 由，可得，整理得，解得， 又两向量共线满足坐标关系 解得，此时，需舍去， 综上，的取值范围是. 13．（25-26高一下·上海·期末）设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是__________________（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④； 【答案】① 【分析】对于①，由平行可得，进而得到，即；对于②，由向量模长的运算判断；对于③，由题可得，再根据数量积的运算律求解即可；对于④，直接根据向量的加法运算及新定义即可判断． 【详解】对于①，若，则存在唯一的，满足，即， 又不共线，，整理得，故①正确； 对于②，因， 由， 可得，因不能恒成立，故②错误； 对于③，若，则. 即 ，故③错误； 对于④， ，故④错误． 14．（25-26高一下·上海·期中）在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为________. 【答案】12 【详解】如图，取中点，连接，所以， 因为， 所以，为中点， 所以，即. 因为，， 所以代入可得， 因为， 所以. 因为在斜三角形中，， 所以，解得. 15．（25-26高一下·上海徐汇·期末）若点都在圆上，若圆的直径为且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算，再通过圆的横坐标的最小值即可得到点积的最小值. 【详解】 将放在轴上，以中点为原点，如图建立平面直角坐标系， 由圆直径为,则圆的半径，且， 得，,则, 设是圆上任意一点，则， 所以 ， 因为圆上点的横坐标最小值为, 代入得：的最小值为. 三、解答题 16．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知两不同点，的坐标分别是，，若点在直线上，且. (1)求证：； (2)已知，，点在直线上，且，求点的坐标.（提示：可直接使用（1）中的结论） 【答案】(1) 证明：因为两不同点，的坐标分别是，，点的坐标为， 所以，， 因为， 所以有，整理得，证毕. (2)或 【分析】（1）根据向量的坐标表示，结合共线求解即可证明； （2）结合（1）中的结论直接代入求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为点在直线上，且， 所以或， 由（1）中结果可得或， 代入得或. 17．（25-26高一下·上海·期中）如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）梯形中线段和的位置关系和长度关系得到，再利用向量的线性运算； （2）因为，，三点共线，所以，且； （3）设 ，用，和表示和，所以可转化成关于的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】（1）因为，且，所以， 则. （2）因为，所以， 又因为，，三点共线，所以，解得. （3）因为，，，所以，，， 设 ， 则， ， 所以 ， 因为，所以当时，的最小值为. 18．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）（1）在平行四边形中，，，如图，如果，分别是，的中点，试用，分别表示，，. （2）已知，，设，.若，求实数的值. 【答案】（1），， （2） 【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图形即可求解； （2）根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意得，，，， 所以， ， . （2）已知，， 则，， 由于，即，因此实数的值为. 19．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，为直线上一点，且满足. (1)求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的推论求解； （2）利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）由题意可知，所以， 因为三点共线，所以，即. （2）由（1）可知，， 所以， 因为，所以， 所以 ， 又， 当且仅当时取等号， 所以， 即，所以的最小值为 20．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知点、、． (1)求； (2)若C在以原点为圆心的单位圆上，求的取值范围； (3)若动点C满足，求的最小值及的值． 【答案】(1) (2) (3) 最小值为，此时 【分析】（1）由向量坐标运算结合题设可得答案； （2）设，然后由向量坐标运算可得的表达式，据此可得答案； （3）由题可得点在直线上，则取最小值时，表示B到直线AP距离，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得，， 则； （2）设，由， 注意到，故，又， 则 ， 因为，则； （3）设，因，则， 即，解得，则， 当取最小值时，表示B到直线AP距离，此时， 所以， 则，解得，则， 即，则. 21．（25-26高一下·上海·期末）已知向量 . (1)当时，求的值； (2)设函数，已知在中，内角的对边分别为 ，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则存在非零实数，使得， 当时，则，与时矛盾，舍去. 当时，，即， 所以. （2）而， 由正弦定理可知，即， ∵且，∴. 得到, 而，得到， ∴. 22．（25-26高一下·上海·期末）已知向量，，，且． (1)求在方向上的投影向量的坐标； (2)求向量与夹角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用投影向量的定义计算即可求解； （2）根据，结合向量数量积的坐标运算求得，进而利用向量夹角的坐标运算计算可求得向量与夹角的大小． 【详解】（1）因为，，所以， 所以在方向上的投影向量为； （2）因为，所以，解得， 所以，，所以， ，， 所以， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 向量的坐标表示及其应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 基底的概念辨析 题型8 向量模长的坐标表示 题型2 用基底表示向量 题型9 向量夹角的坐标表示 题型3 由平面向量基本定理求参数 题型10 向量解决三点共线问题 题型4 向量线性运算的坐标表示 题型11 数量积的最值与范围问题 题型5 向量线性坐标运算中的最值与范围 题型12 线段的定比分点 题型6 数量积的坐标运算 题型13 三角形四心的向量表示 题型7 垂直平行的坐标表示 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 平面向量基本定理： 常考考点 1基底判定：不共线两向量才可作为一组基底 2向量线性分解：任意平面向量唯一表示为 3参数求解：结合共线、长度、数量积列方程 4面积比值、几何图形中向量分解转化 1选择填空：给定图形快速求分解系数 2解答前置工具：用基底统一向量后再计算数量积、夹角 3综合考：结合三角形重心、定比分点混合求参数 向量正交分解与坐标表示： 1平面直角坐标系下正交基底分解 2有向线段坐标： 3向量模长坐标公式 4点坐标与向量坐标区分辨析 1基础送分：由两点坐标求向量、求模 2综合载体：所有坐标类向量计算的前置基础 3易错题：混淆点坐标与向量坐标符号 向量线性运算的坐标表示： 常考考点 1加减坐标运算： 2数乘坐标运算： 3向量共线坐标判定： 1选择题高频：利用共线条件求参数 2解答题基础运算：线性化简、联立方程求未知数 3结合定比分点、三角形四心混合命题 向量数量积与夹角的坐标表示： 常考考点 1数量积坐标公式： 2夹角余弦坐标式： 3垂直判定： 4模长平方转化： 1高频解答考点：求夹角、垂直求参数、最值范围 2综合题型：与解三角形、函数最值结合命题 3易错点：夹角范围钝角易忽略数量积小于0且不反向共线 线段的定比分点： 常考考点 1定比分点向量公式 2坐标定比分点： 3中点公式（特例） 4分点内外区分：内分外分 1选择填空速算：已知分比求坐标/已知坐标求 2几何综合：三角形边上动点、线段比例转化向量 3与重心、中线问题结合命题 三角形四心的向量表示： 常考考点 1重心：坐标 2外心： 3垂心： 4内心：（为三边边长） 1选择判断：给出向量等式快速判断对应心 2解答几何大题：作为条件转化工具 根据向量关系判断三角形的心： 常考考点 1由线性和式判定重心 2由模长相等判定外心 3由数量积垂直等式判定垂心 4边长加权线性等式判定内心 5向量变形、配凑后还原四心标准式 条件转化类大题：先判心再结合边长、夹角计算 考情解码： 1运算体系依托坐标完成向量加减数乘模长数量积计算平行垂直依靠坐标等式快速判定 2基底工具平面内任意向量可唯一分解为一组不共线基底的线性组合是几何条件转化的通用手段 3定比分点区分内外分点符号中点公式为特殊分比模型多用于线段比例转化 4四心模型重心均等系数内心边长加权外心模长相等垂心数量积垂直填空压轴高频辨析考点 5夹角参数陷阱锐角钝角求解参数必须剔除同向反向共线情形 6命题逻辑小题侧重公式辨析与参数求值解答题以基底分解+坐标数量积为固定解题流程常联动解三角形综合考查 7易错核心共线向量不能作基底定比分点正负区分内外分四类心向量公式易混淆零向量共线特殊条件易遗漏 知识点一 向量基本定理 平面内给定两个不共线向量，平面内所有向量都能唯一分解为这两个向量的线性组合，这是平面向量坐标化的理论基础，教材配套例题以三角形、平行四边形为几何载体，考查基底分解求参数. 核心结论 1基底选取条件：平面内不共线的两个非零向量可作为一组基底 2分解唯一性：对平面内任意向量，存在唯一实数，满足 3解题用途：将几何线段比例、平行条件转化二元方程组求解参数 【易错提醒】 1.共线向量、零向量不可作为平面基底 2.分解时系数取值唯一，不可随意替换 即时即练 1.（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图所示，点分别在线段上，，，为线段中点，设，. (1)用，表示，，； (2)若，，且，求点与点的距离. 2.（25-26高一下·上海·阶段检测）已知在中，是线段上一点满足，连接，在线段上，若，则________． 知识点二 向量正交分解与坐标表示 取平面直角坐标系中与x、y轴同向的单位正交向量作基底，把任意向量拆分为的线性组合，系数即为向量坐标；由两点坐标可求对应有向线段向量，同步引入向量模长计算公式. 核心结论 1正交单位基底： 2两点向量坐标：若，则 3向量模长公式：若，则 【易错提醒】 1.向量坐标=终点坐标-起点坐标，易颠倒顺序 即时即练 1.如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，记的斜坐标.则向量，的斜坐标分别为，，则_____. 2.（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 知识点三 向量线性运算的坐标表示 向量的加减、实数数乘运算，可直接对应横、纵坐标分别运算；由线性运算推导两向量平行的坐标等价条件，是单元基础计算题必考内容. 核心结论 1加减坐标运算： 2实数数乘： 3向量平行坐标判定： 【易错警示】 1.混淆平行、垂直坐标公式：平行是交叉乘积相减为0，垂直是横纵坐标乘积相加为0 2.数乘运算只乘对应横、纵坐标，不可交叉运算 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知向量，则________ 2.（25-26高一下·上海·期中）已知向量，若，则__________. 知识点四 向量数量积与夹角的坐标表示 引入坐标形式数量积公式，推导出向量垂直的充要条件；结合模长公式得到两向量夹角余弦表达式，常考已知夹角（锐角/钝角）求参数范围题型. 核心结论 1数量积坐标公式： 2向量垂直判定： 3夹角余弦公式：，夹角范围 【易错警示】 1.锐角条件：且两向量不同向共线，做题易忽略排除共线 2.钝角条件：且两向量不反向共线 3.夹角公式分母必须同时乘两个向量模长 即时即练 1.（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）已知向量，．若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围______． 2.已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 知识点五 线段的定比分点 定比分点定义，分内分点、外分点两类，推导向量统一公式与坐标公式，中点为的特殊情形，多用于线段动点、中线计算. 核心结论 1向量定比分点公式： 2坐标定比分点： 3分类：内分点；外分点 4特例中点公式： 【易错警示】 1.外分点为负数，代入计算时分母符号容易出错 2.混淆与，分比互为倒数 即时即练 1.（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为__________． 2.（25-26高一下·上海·期中）已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 知识点六 三角形四心向量表示 设，内角A、B、C对边边长依次为a、b、c，平面任意原点为 （1）重心（三条中线交点） 核心结论 1无原点限制式： 2通用原点分解： 3重心坐标： 4线段比例：（为中点） （2）外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心） 核心结论 1核心判定式： 2垂直推论： 3角度关系： （3）垂心（三条高线交点） 核心结论 1基础等式： 2垂直判定： 3欧拉定理：（外心，垂心） （4）内心（三条角平分线交点，内切圆圆心） 核心结论 1标准加权式： 2原点通用式： 3单位向量模型：与共线 4分边比例：上点， 【易错警示】 1.重心系数均等、内心系数为边长，两类公式极易混淆 2.内心边长对应顶点不可错位：对应、对角 3.外心依靠模长相等，垂心依靠数量积垂直，判定条件不能混用 即时即练 1.若为的重心，则____________． 2.已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型1 基底的概念辨析 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例2．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【技巧总结】 1.零向量与任意向量共线，不能作基底 2.成倍数关系的两向量共线，不可作为基底 3.判定基底只需验证：不存在实数使 【变式训练1-1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【变式训练1-2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 题型2 用基底表示向量 例1．（25-26高一下·上海静安·期末）如图，在平行四边形中， ，，， 是对角线的交点，点、满足．则的值为________． 例2．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【技巧总结】 1.图形中利用中位线、相似、中点拆分向量，统一用表达 2.从目标向量起点/终点拆解，逐步向基底线段转化 3.出现多条线段时，优先用中点、等分点简化分解 【变式训练2-1】（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 【变式训练2-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 题型3 由平面向量基本定理求参数 例1．（25-26高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 例2．（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）若，，则 _____________． 【技巧总结】 1.等式两侧整理为相同基底线性组合，对应系数相等列方程组 2.含几何图形先完成向量分解，再对比系数解方程 3.两个方程两个未知数，直接求解 【变式训练3-1】在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 题型4 向量线性运算的坐标表示 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知点为坐标原点，，，若，则点的坐标是__________. 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【技巧总结】 1.加减运算横纵坐标分开独立计算 2.数乘分配到横、纵坐标，不可只乘单一分量 3.向量坐标=终点坐标减起点坐标，顺序不可颠倒 【变式训练4-1】（25-26高一下·上海闵行·期中）与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（24-25高二下·上海静安·阶段检测）已知向量，若与平行，则实数______． 题型5 向量线性坐标运算中的最值与范围 例1．（24-25高一下·上海·阶段检测）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．    例2．中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.线性运算化简后，模长平方转化为二次函数求值域 2.带参数先分离参数，利用二次函数、配方法求最值 3.若含三角函数，借助辅助角公式求取值范围 【变式训练5-1】（25-26高一下·河北廊坊·阶段检测）如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，设为等边三角形内一点（含边界），若，则的取值范围为__________． 【变式训练5-2】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型6 数量积的坐标运算 例1．（25-26高一下·上海静安·期末）已知向量，，设．则函数的值域为________． 例2．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【技巧总结】 1.先坐标再相乘求和，分开计算横坐标乘积、纵坐标乘积再相加 2.求最值常用平方转化简化计算 3.图形类先写出两向量坐标，再代入公式 【变式训练6-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，则________. 【变式训练6-2】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 题型7 垂直平行的坐标表示 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知向量，，若，则______． 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【技巧总结】 ， 1.平行是交叉积相减为0，垂直是分量乘积相加为0，公式不要记混 2.含参数求范围：平行直接解方程；垂直构造等式求参数 3.零向量和任意向量平行，审题注意补充讨论 【变式训练7-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，向量 ，，若 ，则 的值为 ______. 【变式训练7-2】（24-25高一下·上海·期末）已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型8 向量模长的坐标表示 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 例2．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知平面直角坐标系内，向量. (1)求满足的实数； (2)若向量满足，且，求的坐标. 【技巧总结】 ， 【变式训练8-1】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量 . (1)求在上的数量投影； (2)求满足的实数的值； (3)若向量满足，且，求的坐标. 【变式训练8-2】（24-25高一下·上海崇明·期末）已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 题型9 向量夹角的坐标表示 例1．（24-25高一下·上海·期末）已知向量； (1)若 ，求的值； (2)若，求向量与的夹角的大小. 例2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【技巧总结】 1.锐角：且不同向共线 2.钝角：且不反向共线 【变式训练9-1】（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知向量满足. (1)求与的夹角余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【变式训练9-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 题型10 向量解决三点共线问题 例1．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 例2．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【技巧总结】 A、B、C三点共线 存在实数， 存在， 【变式训练10-1】已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____． 【变式训练10-2】已知、、三点共线，则x的值为（    ） A．-7 B．-8 C．-9 D．-10 题型11 数量积的最值与范围问题 例1．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． (1)若，求、的值； (2)若，，，且与的夹角为，求的值； (3)若，，，且与的夹角为，求的取值范围． 例2．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_________. 【技巧总结】 1.动点设坐标，数量积化简为单变量二次函数/三角函数 2.利用几何意义：固定一向量，另一向量投影变化求最值 3.出现参数先分离变量，配方法求值域 【变式训练11-1】（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【变式训练11-2】（25-26高一下·上海·期中）如图，已知等边三角形的边长为4，以顶点为圆心，4为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）. (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. 题型12 线段的定比分点 例1．已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例2．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 【技巧总结】 ， 1.向量式： 2.坐标式： 内分点；外分点，符号区分内外分 【变式训练12-1】已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】设是平面直角坐标系中相异的四点，若，，且，则称调和分割，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（    ） A．C可能是线段的中点 B．D可能是线段的中点 C．C、D可能同时在线段上 D．C、D不可能同时在线段的延长线上 题型13 三角形四心的向量表示 例1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ） A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2 例2．已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【技巧总结】 1.重心 ，， 2.外心 3.垂心 ， 4.内心 ， 【变式训练13-1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有__________． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 【变式训练13-2】下列叙述正确的是________. ① 为的重心，. ②为的垂心； ③为的外心； ④ 为的内心 一、单选题 1．已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．（25-26高一下·上海·期中）在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海宝山·期中）向量，则下列能使成立的一组向量是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26高一下·上海·期末）若向量，，且，则__________． 5．已知O是平面上一个定点，A，B，C是平面上三个不共线的点，动点P满足条件，则点P的轨迹一定通过的___________心. 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知点，点，则与同向的单位向量坐标为_________ 7．（25-26高一下·上海·期末）已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 8．（25-26高一下·上海·期末）若向量，，则______．（结果用反三角表示） 9．（25-26高一下·上海·期末）若，，且，则__________． 10．（25-26高三下·上海宝山·期中）如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________. 11．（25-26高一下·上海杨浦·期中）在 中， ． 点 为 所在平面上一动点，满足 ． 若 ，则 的最大值为______． 12．（25-26高一下·上海·期中）已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 13．（25-26高一下·上海·期末）设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是__________________（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④； 14．（25-26高一下·上海·期中）在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为________. 15．（25-26高一下·上海徐汇·期末）若点都在圆上，若圆的直径为且，则的最小值为__________. 三、解答题 16．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知两不同点，的坐标分别是，，若点在直线上，且. (1)求证：； (2)已知，，点在直线上，且，求点的坐标.（提示：可直接使用（1）中的结论） 17．（25-26高一下·上海·期中）如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 18．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）（1）在平行四边形中，，，如图，如果，分别是，的中点，试用，分别表示，，. （2）已知，，设，.若，求实数的值. 19．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，为直线上一点，且满足. (1)求的值； (2)求的最小值. 20．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知点、、． (1)求； (2)若C在以原点为圆心的单位圆上，求的取值范围； (3)若动点C满足，求的最小值及的值． 21．（25-26高一下·上海·期末）已知向量 . (1)当时，求的值； (2)设函数，已知在中，内角的对边分别为 ，若，求的取值范围. 22．（25-26高一下·上海·期末）已知向量，，，且． (1)求在方向上的投影向量的坐标； (2)求向量与夹角的大小．（结果用反三角表示） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $