复习专题07 向量的坐标表示与应用（11重点+9题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

复习专题07 向量的坐标表示与应用 知识点1 向量关于向量与的线性组合 设 与 分别是 轴与 轴正方向上的单位向量，把向量 在 与 的方向上作投影 与 ．其中， 与 分别是点 在 轴与 轴上的投影．显然 ，而且O P A Q是一个矩形，O A是对角线，如图． 知识点2 向量基本定理 条件 是平面上两个不平行的向量 结论 对于该平面上的任意向量 ，都可唯一地表示为 与 的线性组合，即存在唯一的一对实数 ，使得 基 不共线，我们把这组向量称为平面向量的一个基 平面向量基本定理阐述两方面的含义: 一是存在性，即存在实数 、 ，使得 ；二是唯一性，即对于任意一个向量 ，存在唯一的一对实数 、 ，使得 . 知识点3 向量的正交分解与坐标表示 分解与正交分解 把向量 写成所在平面上两个不平行向量 与 的线性组合的过程称为 关于 与 的分解．在 情况下进行向量的分解，这种分解称为向量的正交分解. 向量的坐标 在平面直角坐标系中任意一个向量 关于 轴与 轴正方向上的单位向量 与 的分解 就是一个正交分解．这个正交分解称为向量 在这个平面直角坐标系中的坐标分解，而有序实数对（ ， 则称为向量 的坐标，并直接表示成 ．向量的这种表示法称为它的坐标表示，并可以直接用向量的坐标 代表一个向量 位置向量 在向量 的坐标表示中，先要作出从坐标原点 出发的向量 ，才能用点 的坐标 表示向量 的坐标．为此，把向量 称为 的位置向量．位置向量终点的坐标才是所给向量的坐标 知识点4 向量线性运算的坐标表示 运算 文字描述 数字表示 加法 两个向量的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量的差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 模 的模就是的位置向量所对应有向线段的长度 （1）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变. （2）求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标 知识点5 向量数量积与夹角的坐标表示 1.向量数量积的坐标表示 给定两个坐标表示的向量 与 ，它们的数量积是 ． 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 2.向量夹角的坐标表示 给定两个非零向量 与 ，则 设向量 与 的夹角为 ． （1） ． （2）当 时， ; 当 时，（此时 ）； 当 时， ． 知识点6 向量平行与垂直的充要条件 给定向量 与 ，则 （1） 的充要条件是 ； （2） 的充要条件是 ． 描述两个向量平行的三种方法 （1）几何表示法：若非零向量 与 共线，则存在唯一实数 ，使得 ．它体现了向量 与 的长度及方向之间的关系． （2）代数表示法：设 ， ，则当 与 共线时， ．用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数 ，从而减少了末知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征． （3）比例形式表示法：设 ， ，则当 与 共线时， ．比例形式的表示可借助直线的斜率相等来理解记忆．这种形式不易出现搭配错误，但有 的限制． 知识点7 定比分点公式 如图，已知 是直线 上一点，且 为实数，且 ，那么我们就说 分有向线段 的比为 ，其中 叫做定比,点P叫做分点. 定比分点公式：已知两点 ，点 是直线 上的一点，且 ，设点 坐标为 ，)则 这个公式称为线段的定比分点公式。 特别地，当 时， 为线段 的中点，其坐标为 这个公式称为线段中点公式． 知识点8 三角形面积公式的向量表示 在 中，设 ，记 的面积为 ． （1） ； （2）若 ，则 ． 知识点9 向量在平面几何中常用应用 问题类型 解题方法 几何法 坐标法 平行或共线 问题,全等、相似问题 垂直问题 夹角问题 长度问题 或 知识点10 相关定理的证明 证明时所用到的向量有关运算律与公式: （1）向量加法： ． （2）设 、 和 是向量， 是实数，则向量数量积的交换律：－ ； 向量数量积对数乘的结合律： ；向量数量积对加法的分配律：． （3）． 知识点11 向量在物理中的应用 类型 向量方法 说明 力的合成与分解 向量的线性运算 力的合成与分解就是向量的加减法 加速度、速度、位移问题 向量的线性运算 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减法运算 动量问题 向量的数乘运算 动量涉及物体的质量,物体运动 的速度 功的问题 向量的数量积 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它可正、可负、也可为零 用向量法解决物理问题时，正确作出相应的几何图形有助于我们建立数学模型.向量在物理中的应用，如求力的合力与力的分解，力做的功等,实际上是把物理问题转化为向量问题，然后用向量运算解决向量问题，最后用得到的结果解释物理现象. 题型一．平面向量的基底 例1（2023春•普陀区校级期中）若，是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 1-1（2022春•青浦区校级期末）下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是　　 A．， B．， C．， D．， 1-2（2024春•浦东新区校级期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 1-3（2024春•宝山区期末）若向量能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 　 　． 题型二．用平面向量的基底表示平面向量 例2（2024春•嘉定区校级期中）已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是　　 A． B． C． D． 2-1（2025春•宝山区期末）平行四边形中，，是的中点，记，则 　 　 ．（用表示） 2-2（2025春•长宁区校级期中）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，设，则用表示为 　 　 ． 2-3（2024春•嘉定区校级期中）在△中，．记，用表示 　 　． 题型三．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 例3（2025春•浦东新区校级期中）若向量，，则　 　 ． 3-1（2024春•浦东新区校级期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为 　 　． 3-2（2024春•嘉定区校级期中）已知向量，则　 　． 3-3（2023春•闵行区校级期中）已知向量，，则的坐标为 　 　． 题型四．平面向量数量积的坐标运算 例4（2025•广东校级模拟）设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则　　 A．2 B． C． D．0 4-1（2025春•徐汇区校级月考）若向量，，则在方向上的投影的坐标为　 　 ． 4-2（2025春•浦东新区校级期中）已知，，则在方向上的投影为 　 　． 4-3（2025春•杨浦区校级期末）若，则　 　． 题型五．平面向量共线（平行）的坐标表示 例5（2025春•浦东新区校级期中）已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为　　 A．3 B．1 C． D．或3 5-1（2025春•浦东新区期末）已知向量，，且，则实数 　 　 ． 5-2（2025春•浙江期中）设向量，，若与共线，则实数的值为 　 　 ． 5-3（2025春•上海校级期中）已知，，若，则 　 　 ． 题型六．数量积表示两个平面向量的夹角 例6（2024春•闵行区校级期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 6-1（2025春•浦东新区期末）设向量，满足，，且，则， 　 　 ． 6-2（2025春•闵行区期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 　 　 ． 6-3（2025春•松江区校级月考）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 　 　 ． 6-4（2025春•长宁区校级期中）已知两个向量和满足． （1）求的模； （2）求和的夹角． 6-5（2025春•徐汇区校级期中）已知，的夹角为，且，设． （1）若，求实数； （2）若，求实数； （3）时，求与的夹角的余弦值． 题型七．数量积判断两个平面向量的垂直关系 例7（2024春•闵行区校级期末）已知向量，，若，则实数 　 　 ． 7-1（2025春•浦东新区期末）已知向量． （1）求； （2）若，求实数的值． 7-2（2025春•浦东新区期末）已知△中、、三点的坐标分别是、、， （1）求，； （2）求证：△为直角三角形． 7-3（2025春•浦东新区校级月考）已知，，且和的夹角为，设，． （1） 求：的值； （2） 若，求：实数的值． 题型八．平面向量在物理中的应用 例8（2024春•浦东新区校级期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，，与之间的夹角是，则的大小是 　　． 8-1（2022春•虹口区校级期末）高一学生将质量为的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为和，则拉力与大小的比值为 　　． 题型九．平面向量的综合题 例9（2025春•闵行区期末）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对，，看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，，，，，规定如下运算法则： ①； ②； ③； ④． 则下列结论错误的是　　 A．若，，则 B．若，则 C． D． 9-1（2025春•宝山区校级期中）已知集合，，若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为 　 　 ． 9-2（2024春•虹口区校级期末）如图，已知点为所在平面内一点，，，定义点集，，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当的面积取得最大值12时，　 　． 9-3（2025春•浦东新区校级期末）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为． （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数” 满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系． 9-4（2025春•上海校级期中）如图，点是△重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． （1）设，将用、、表示； （2）设，，问：是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，记△与△的面积分别为、，求的取值范围． 9-5（2024春•普陀区校级期末）已知集合，，，为坐标原点，若，，，，、，定义点、之间的距离为． （1）若，，，求的值； （2）记，若，，为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，，试判断“存在，使”是，，，”的什么条件？并证明． 1.（2022春•长宁区校级期末）已知向量，，若，则的单位向量的坐标为 　 　． 2.（2025春•黄浦区校级期中）已知，，，若，，三点共线，则 　 　 ． 3.（2025春•宝山区校级期中）已知，若与夹角为锐角，则的取值范围为 　 　 ． 4．（2025春•黄浦区校级期中）已知向量，，，且，． （1）求与； （2）求向量与的夹角．（结果用反三角表示） 1.（2024春•青浦区校级期末）如图所示，为线段外一点，若，，，，，中任意相邻两点间的距离相等，，则用，表示，其结果为　　 A． B． C． D． 2．（2025春•西城区校级期中）已知平面向量，，，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围． 3． （2025春•姑苏区校级月考）若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 　 　． 4．（2025春•宝山区校级期中）对于一组向量，记，令，如果存在，使得，那么称是的“向量”． （1）设，且，若是的“向量”，求实数的取值范围； （2）若，且，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知，，均是的“向量”，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，，，，满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题07 向量的坐标表示与应用 知识点1 向量关于向量与的线性组合 设 与 分别是 轴与 轴正方向上的单位向量，把向量 在 与 的方向上作投影 与 ．其中， 与 分别是点 在 轴与 轴上的投影．显然 ，而且O P A Q是一个矩形，O A是对角线，如图． 知识点2 向量基本定理 条件 是平面上两个不平行的向量 结论 对于该平面上的任意向量 ，都可唯一地表示为 与 的线性组合，即存在唯一的一对实数 ，使得 基 不共线，我们把这组向量称为平面向量的一个基 平面向量基本定理阐述两方面的含义: 一是存在性，即存在实数 、 ，使得 ；二是唯一性，即对于任意一个向量 ，存在唯一的一对实数 、 ，使得 . 知识点3 向量的正交分解与坐标表示 分解与正交分解 把向量 写成所在平面上两个不平行向量 与 的线性组合的过程称为 关于 与 的分解．在 情况下进行向量的分解，这种分解称为向量的正交分解. 向量的坐标 在平面直角坐标系中任意一个向量 关于 轴与 轴正方向上的单位向量 与 的分解 就是一个正交分解．这个正交分解称为向量 在这个平面直角坐标系中的坐标分解，而有序实数对（ ， 则称为向量 的坐标，并直接表示成 ．向量的这种表示法称为它的坐标表示，并可以直接用向量的坐标 代表一个向量 位置向量 在向量 的坐标表示中，先要作出从坐标原点 出发的向量 ，才能用点 的坐标 表示向量 的坐标．为此，把向量 称为 的位置向量．位置向量终点的坐标才是所给向量的坐标 知识点4 向量线性运算的坐标表示 运算 文字描述 数字表示 加法 两个向量的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量的差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 模 的模就是的位置向量所对应有向线段的长度 （1）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变. （2）求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标 知识点5 向量数量积与夹角的坐标表示 1.向量数量积的坐标表示 给定两个坐标表示的向量 与 ，它们的数量积是 ． 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 2.向量夹角的坐标表示 给定两个非零向量 与 ，则 设向量 与 的夹角为 ． （1） ． （2）当 时， ; 当 时，（此时 ）； 当 时， ． 知识点6 向量平行与垂直的充要条件 给定向量 与 ，则 （1） 的充要条件是 ； （2） 的充要条件是 ． 描述两个向量平行的三种方法 （1）几何表示法：若非零向量 与 共线，则存在唯一实数 ，使得 ．它体现了向量 与 的长度及方向之间的关系． （2）代数表示法：设 ， ，则当 与 共线时， ．用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数 ，从而减少了末知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征． （3）比例形式表示法：设 ， ，则当 与 共线时， ．比例形式的表示可借助直线的斜率相等来理解记忆．这种形式不易出现搭配错误，但有 的限制． 知识点7 定比分点公式 如图，已知 是直线 上一点，且 为实数，且 ，那么我们就说 分有向线段 的比为 ，其中 叫做定比,点P叫做分点. 定比分点公式：已知两点 ，点 是直线 上的一点，且 ，设点 坐标为 ，)则 这个公式称为线段的定比分点公式。 特别地，当 时， 为线段 的中点，其坐标为 这个公式称为线段中点公式． 知识点8 三角形面积公式的向量表示 在 中，设 ，记 的面积为 ． （1） ； （2）若 ，则 ． 知识点9 向量在平面几何中常用应用 问题类型 解题方法 几何法 坐标法 平行或共线 问题,全等、相似问题 垂直问题 夹角问题 长度问题 或 知识点10 相关定理的证明 证明时所用到的向量有关运算律与公式: （1）向量加法： ． （2）设 、 和 是向量， 是实数，则向量数量积的交换律：－ ； 向量数量积对数乘的结合律： ；向量数量积对加法的分配律：． （3）． 知识点11 向量在物理中的应用 类型 向量方法 说明 力的合成与分解 向量的线性运算 力的合成与分解就是向量的加减法 加速度、速度、位移问题 向量的线性运算 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减法运算 动量问题 向量的数乘运算 动量涉及物体的质量,物体运动 的速度 功的问题 向量的数量积 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它可正、可负、也可为零 用向量法解决物理问题时，正确作出相应的几何图形有助于我们建立数学模型.向量在物理中的应用，如求力的合力与力的分解，力做的功等,实际上是把物理问题转化为向量问题，然后用向量运算解决向量问题，最后用得到的结果解释物理现象. 题型一．平面向量的基底 例1（2023春•普陀区校级期中）若，是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 【分析】，是平面内的一组基底，和不共线，和共线，和不共线，和不共线，再由共线的向量不能作为平面向量的一组基底，能求出结果． 【解答】解：在中，，是两不共线的向量， 和不共线， 和能作为平面向量的一组基底； 在中，，是两不共线的向量， 和共线， 和不能作为平面向量的一组基底； 在中，，是两不共线的向量， 和不共线， 和为平面向量的一组基底； 在中，，是两不共线的向量， 和不共线， 和能作为平面向量的一组基底． 故选：． 【点评】本题考查平行向量的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，正确解题的关键是知道共线的向量不能作为平面向量的一组基底． 1-1（2022春•青浦区校级期末）下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可． 【解答】解：只要两个向量不共线，即可作为基底，所以判断哪两个向量不共线即可： ，共线，不可作为基底，所以该选项错误； ，共线，不可作为基底，所以该选项错误； ，共线，不可作为基底，所以该选项错误； ．可以判断向量不共线，所以可作为基底，所以该选项正确． 故选：． 【点评】考查基底的概念，共线向量基本定理，向量的坐标． 1-2（2024春•浦东新区校级期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】 【分析】判断两个向量不共线，即可能作为平面的一个基，两个向量共线，即不能作为平面的一个基． 【解答】解：对于，假设与共线，则存在，使，即，所以，所以不存在， 即与不共线，能作为平面的一个基； 对于，假设与共线，则存在，使，即，所以，所以不存在，即与不共线，能作为平面的一个基； 对于，因为，所以与共线，不能作为平面的一个基； 对于，假设与共线，则存在，使，即，所以，所以不存在，即与不共线，能作为平面的一个基． 故选：． 【点评】本题考查了判断两个向量共线与不共线的应用问题，是基础题． 1-3（2024春•宝山区期末）若向量能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 　，，　． 【答案】，，． 【分析】根据，为平面内所有向量的一组基底，所以，不共线，通过求，共线时的值即可得到，不共线时的范围． 【解答】解：由题意得， 当时，，解得， 所以． 即的取值范围为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的共线的充要条件，属基础题． 题型二．用平面向量的基底表示平面向量 例2（2024春•嘉定区校级期中）已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可． 【解答】解：项，，故共线，故项错误； 项，，故共线，故项错误； 项，，故共线，故项错误； 项，设，，则， 所以，无解，故不共线，故项正确． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题． 2-1（2025春•宝山区期末）平行四边形中，，是的中点，记，则 　　 ．（用表示） 【答案】． 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果． 【解答】解：平行四边形中，，是的中点，记，所以， ， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 2-2（2025春•长宁区校级期中）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，设，则用表示为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据平面向量的线性运算法则，求解即可． 【解答】解：平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，，， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与应用问题，是基础题． 2-3（2024春•嘉定区校级期中）在△中，．记，用表示 　　． 【答案】． 【分析】由平面向量基本定理，结合向量的线性运算，即可得到结果． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量基本定理，属于基础题． 题型三．平面向量数乘和线性运算的坐标运算 例3（2025春•浦东新区校级期中）若向量，，则　　 ． 【答案】． 【分析】应用向量线性关系的坐标运算求即可． 【解答】解：，，，． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，是基础题． 3-1（2024春•浦东新区校级期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】设点的坐标是，利用共线向量的坐标运算可得，，，求解可得点的坐标． 【解答】解：设点的坐标是，由，， 可得，， 又，则有，，， 即，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题． 3-2（2024春•嘉定区校级期中）已知向量，则　　． 【答案】． 【分析】由向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：向量， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题． 3-3（2023春•闵行区校级期中）已知向量，，则的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据向量的坐标运算计算即可． 【解答】解：，， ，，，， 故答案为：． 【点评】本题考查了向量的坐标运算，掌握公式是解题的关键，是基础题． 题型四．平面向量数量积的坐标运算 例4（2025•广东校级模拟）设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则　　 A．2 B． C． D．0 【答案】 【分析】根据题意可得出与共线，然后可求出的值，然后进行向量坐标的数量积运算即可． 【解答】解：与不能作为平面向量的一组基底， 与共线， ，解得， ，且， ． 故选：． 【点评】本题考查了基底的定义，共线向量的坐标关系，向量坐标的数量积运算，是基础题． 4-1（2025春•徐汇区校级月考）若向量，，则在方向上的投影的坐标为　　 ． 【答案】． 【分析】结合投影向量的公式，即可求解． 【解答】解：向量，， 则， ， 故在方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查投影的求解，属于基础题． 4-2（2025春•浦东新区校级期中）已知，，则在方向上的投影为 　　． 【答案】． 【分析】根据向量投影的定义可知在方向上的投影为，用数量积运算即可． 【解答】解：因为，， 所以，，， 所以， 所以在方向上的投影为， 故答案为：． 【点评】本题考查向量的投影，关键是牢记定义和公式，属于基础题． 4-3（2025春•杨浦区校级期末）若，则　　． 【分析】根据题意中的坐标代入向量的模公式进行求解． 【解答】解：由题意知，，则， 故答案为：． 【点评】本题考查了向量模的坐标表示，即代入公式进行求解． 题型五．平面向量共线（平行）的坐标表示 例5（2025春•浦东新区校级期中）已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为　　 A．3 B．1 C． D．或3 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标表示求出，再结合反向共线即可得解． 【解答】解：由向量，共线，得，解得或， 当时，，，与同向，不符合题意， 当时，，，与反向，符合题意， 所以实数的值为3． 故选：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，是基础题． 5-1（2025春•浦东新区期末）已知向量，，且，则实数 　 　 ． 【答案】． 【分析】首先求出与的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可． 【解答】解：因为，， 所以，， 又与平行， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题． 5-2（2025春•浙江期中）设向量，，若与共线，则实数的值为 　 　 ． 【分析】由向量共线的坐标表示即可求解． 【解答】解：因为与共线，向量，， 所以，得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 5-3（2025春•上海校级期中）已知，，若，则 　 　 ． 【答案】1． 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案． 【解答】解：因为，所以，解得． 故答案为：1． 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题． 题型六．数量积表示两个平面向量的夹角 例6（2024春•闵行区校级期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由向量夹角的坐标表示求解即可． 【解答】解：已知向量，，若与的夹角是锐角， 则，则，． 当与同向时，， 所以且． 故选：． 【点评】本题主要考查向量夹角的坐标表示，考查运算求解能力，属于中档题． 6-1（2025春•浦东新区期末）设向量，满足，，且，则， 　　 ． 【答案】． 【分析】由已知利用向量垂直的数量积为0求解，再由数量积求夹角得答案． 【解答】解：，向量与垂直，，即， 又，，， 又，，，，． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，训练了利用平面向量的数量积求夹角，是基础题． 6-2（2025春•闵行区期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 　且　 ． 【答案】且． 【分析】结合向量的夹角公式即可求解． 【解答】解：因为向量，， 若与的夹角是锐角，则，即， 若，则，即， 实数的取值范围为且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查了向量数量积性质的应用，属于基础题． 6-3（2025春•松江区校级月考）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 　且　 ． 【答案】且． 【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示即可求解． 【解答】解向量，，且与的夹角为锐角， 所以，即， 当时，，即， 故的范围为且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题． 6-4（2025春•长宁区校级期中）已知两个向量和满足． （1）求的模； （2）求和的夹角． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算求出向量的模； （2）利用向量的夹角公式求出结果． 【解答】解：（1）两个向量和满足． 故，， 故． （2）由（1）得：，， ， 故． 【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 6-5（2025春•徐汇区校级期中）已知，的夹角为，且，设． （1）若，求实数； （2）若，求实数； （3）时，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2）； （3）． 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，列式计算得解． （2）利用共线向量定理列式求解． （3）利用数量积的运算律及向量夹角公式求解． 【解答】解：（1）由的夹角为，且，得， 由，得， 所以． （2）由，得， 而不共线，则，解得，， 所以． （3）当时，，，， 且， 则， 所以与的夹角的余弦值为． 【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的性质的应用，属于中档题． 题型七．数量积判断两个平面向量的垂直关系 例7（2024春•闵行区校级期末）已知向量，，若，则实数 　1　 ． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：向量，，， 则，解得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 7-1（2025春•浦东新区期末）已知向量． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）6． 【分析】（1）结合向量模长的坐标表示即可求解； （2）结合向量数量积性质的坐标表示即可求解． 【解答】解：（1）因为， 所以， 故； （2），， 若，则，即． 【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题． 7-2（2025春•浦东新区期末）已知△中、、三点的坐标分别是、、， （1）求，； （2）求证：△为直角三角形． 【答案】（1）； （2）详见解答过程． 【分析】（1）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解； （2）结合向量数量积性质的坐标表示即可求解． 【解答】解：（1）因为、、三点的坐标分别是、、， 所以，，，，， 故，， 故，； （2）证明：，， 则，即， △为直角三角形． 【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题． 7-3（2025春•浦东新区校级月考）已知，，且和的夹角为，设，． （1）求：的值； （2）若，求：实数的值． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）由数量积求夹角列式求解值； （2）求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算列式求解． 【解答】解：（1），，且和的夹角为， ，解得； （2），，，， ，，，， 由，得， 则，解得或． 【点评】本题考查平面向量垂直的坐标运算，训练了利用数量积求夹角，是基础题． 题型八．平面向量在物理中的应用 例8（2024春•浦东新区校级期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，，与之间的夹角是，则的大小是 　70　． 【答案】70． 【分析】由题意可知，所以，两边同时平方，结合向量的数量积运算求解即可． 【解答】解：由题意可知，， 所以， 两边同时平方得，， 所以， 即的大小是． 故答案为：70． 【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题． 8-1（2022春•虹口区校级期末）高一学生将质量为的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为和，则拉力与大小的比值为 　　． 【答案】． 【分析】根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0可求出答案． 【解答】解：设，， 则， 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量在物理中的应用，属于基础题． 题型九．平面向量的综合题 例9（2025春•闵行区期末）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对，，看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，，，，，规定如下运算法则： ①； ②； ③； ④． 则下列结论错误的是　　 A．若，，则 B．若，则 C． D． 【答案】 【分析】根据题设定义的运算法则，结合复数运算法则一一计算各选项即可判断． 【解答】解：对于，；故正确； 对于，若，则， 所以， 所以，故正确； 对于，， 而， 设，，，，，，，，，，，， 则，，，， 则 ， ， 所以与互为共轭复数，不一定相等，故错误； 对于，设， 则，， 则将，代入可得： ，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了复向量及复数的基本运算，属于基础题． 9-1（2025春•宝山区校级期中）已知集合，，若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，作出集合、对应的图形，可知对任意向量，存在向量、，使得、、三点共线，且，然后根据圆与正方形的性质求出长的最大值，即可得到本题的答案． 【解答】解：设，，，， 则集合对应的图形是正方形， 集合对应的图形是以为圆心半径的圆． 设向量，，，则点在正方形的边上运动，点、是圆上的两个动点． 对任意向量，均存在、满足，使得，满足． 即对任意向量，存在向量、，使得、、三点共线，且， 当到圆心的距离最小时，线段的长有最大值，且大于等于这个最大值． 观察图形，可知经过正方形的某条边时，到圆心的距离最小，最小值为， 所以长的最大值为，可得，可得的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题． 9-2（2024春•虹口区校级期末）如图，已知点为所在平面内一点，，，定义点集，，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当的面积取得最大值12时，　3　． 【答案】3． 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量线性运算，可得，从而得，，三点共线，由恒成立，可得为的边上的高，设，利用正弦定理，得出三角形的表达式，利用函数单调性求得三角形面积的最大值，从而得出的值． 【解答】解：延长到满足，取的靠近的三等分点，则， 连接，如图， ， 则， 由平面向量基本定理可知，，，三点共线， 若存在点，使得对任意，满足恒成立， 则表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，又，因此， 所以，中，设， 由正弦定理得，记为角， 所以，，， 所以 ， 若不是钝角， 则， 又，所以，即， 所以， 设，则，，显然它是减函数， 所以时，，不满足题意，舍去； 若是钝角， 则， 设，则，即， 令，则， 令，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，， 故，满足题意，此时． 故答案为：3． 【点评】本题考查平面向量基本定理应用，考查向量与函数的综合应用，属难题． 9-3（2025春•浦东新区校级期末）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为． （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数” 满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系． 【答案】（1）最大值为2，的取值集合为； （2）； （3）最小值为，此时． 【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可； （2）令，有已知根据三角恒等变换求解即可； （3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，将代入根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）若，，则由题意， 可得， 当，，即，时， 函数有最大值2， 此时对应的取值集合为； （2）由“积函数” 满足， 可得， 令，则有， 所以，，即，， 所以； （3）因为，， 所以 ， 所以 ， 此时存在满足，，， 当且仅当时等号成立， 所以，即，， 所以 成立， 且，则， 所以， 当时，取得最小值为． 【点评】本题考查平面向量与三角恒等变换的综合应用，属中档题． 9-4（2025春•上海校级期中）如图，点是△重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． （1）设，将用、、表示； （2）设，，问：是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，记△与△的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）是定值，； （3）． 【分析】（1）在△中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可； （2）根据（1）结合，，得到以，再根据点是△重心，，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过，的取值范围和函数的单调性即可求解． 【解答】解：（1）； （2），理由如下： 因为点是△重心， 所以， 又由（1）可知，又，， 所以， 而，不共线，所以，解得， 所以； （3）， 由（2）知， 所以， 由题意易知，，则， 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，， 所以的最大值为， 所以． 【点评】本题考查平面向量的综合应用，属于中档题． 9-5（2024春•普陀区校级期末）已知集合，，，为坐标原点，若，，，，、，定义点、之间的距离为． （1）若，，，求的值； （2）记，若，，为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，，试判断“存在，使”是，，，”的什么条件？并证明． 【分析】（1）根据的定义可得关于的不等式，求解的取值范围，即可得到答案； （2）设，，，，，，，，利用绝对值三角不等式可求出的最大值，结合已知条件可取符合条件的一组向量的坐标即可； （3）判断出“存在，使”是，，，”的充分不必要条件，利用题中的定义、绝对值的运算性质以及特殊值法、充分条件和必要条件的定义证明即可． 【解答】解：（1）若，，， 则，即，解得， 又，所以的值为1，2，3． （2）设，，，，，，，， ，， 所以，，，， 可取； （3）“存在，使”是，，，”的充分不必要条件，证明如下： 取， 充分性：若存在，使，即，，， 则，， 故，，， 故充分性成立； 必要性：因为，，，，可取， 则，，， ， 则，，，， 但是，， 所以， 则不共线， 所以必要性不成立． 综上所述，“存在，使”是，，，”的充分不必要条件， 【点评】本题考查了平面向量的综合应用，绝对值三角不等式的应用，新定义问题的理解与应用，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题． 1.（2022春•长宁区校级期末）已知向量，，若，则的单位向量的坐标为 　 　． 【答案】． 【分析】直接根据向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：向量，， ， 的单位向量的坐标为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题． 2.（2025春•黄浦区校级期中）已知，，，若，，三点共线，则 　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：已知， 则． 因为，，三点共线， 所以与共线，可得． 即．等式两边同时除以（因为，若，则，此时，得到． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 3.（2025春•宝山区校级期中）已知，若与夹角为锐角，则的取值范围为 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据条件可得出且不共线，然后即可得解． 【解答】解：因为与的夹角为锐角，所以且与不共线， 所以，解得且， 所以的取值范围为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，共线向量的坐标关系，是基础题． 4．（2025春•黄浦区校级期中）已知向量，，，且，． （1）求与； （2）求向量与的夹角．（结果用反三角表示） 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）由，，结合向量的坐标运算，即可求得与； （2）根据向量的夹角公式，即可求得向量与的夹角． 【解答】解：（1）由，可得，得，故， 由，可得，得，故； （2）由（1）可得，， 设向量与的夹角为， 则， 所以向量与的夹角为． 【点评】本题考查平面向量数据的性质及运算，属中档题． 1.（2024春•青浦区校级期末）如图所示，为线段外一点，若，，，，，中任意相邻两点间的距离相等，，则用，表示，其结果为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设的中点为，利用三角形中线向量的表示法，化简求和即得． 【解答】解：因，，，，，中任意相邻两点间的距离相等， 不妨设的中点为， 则点也是，，，的中点， 则，同理可得： ， 则． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的线性运算，属中档题． 2．（2025春•西城区校级期中）已知平面向量，，，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围． 【答案】（1）或3． （2）． 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算即可求解； （2）结合平面向量数量积的运算及向量共线的坐标运算求解即可． 【解答】解：（1）若， 则，，， 整理得， 解得或， 故的值为或3． （2）因为与的夹角是钝角， 则， 即， 得， 又当与共线时，有， 得，不合题意， 则， 综上，的取值范围为． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属于中档题． 3．（2025春•姑苏区校级月考）若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向与的夹角为的的取值． 【解答】解：与的夹角为锐角，，即，解得， 当与共线时，可得，解得， 所以当时，与同向， 实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 4．（2025春•宝山区校级期中）对于一组向量，记，令，如果存在，使得，那么称是的“向量”． （1）设，且，若是的“向量”，求实数的取值范围； （2）若，且，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知，，均是的“向量”，其中，，设在平面直角坐标系中有一点列，，，，满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值． 【答案】（1），，； （2）存在，且“向量”为，，理由见解析； （3）4048． 【分析】（1）得到，从而得到不等式，求出答案； （2），若存在“向量” ，只需使，结合题意分析可得，当或6时，符合要求，得到结论； （3）由题意整理可得，设，由，得，设，，由对称得到方程组，求出，其中即可得结果． 【解答】解：（1）由题意可得：，即， 因为，则，，， 可得，则， 解得或，所以实数的取值范围，，． （2）存在“向量”，且“向量”为，，理由如下： 由题意得．若存在“向量” ，则， ，，， 可得 ， 则，即， 所以当或时，符合要求．存在“向量”，且“向量”为． （3）由题意，得，， 即，即， 同理，， 三式相加并化简，得， 即，，所以， 设．由，得 设，，则依题意得 ，，，，， 从而，，，，，． ，，，，， 以上个式子相加化简得，，，，，， ，，，，，，， ，，，， 所以，，，，， 其中，，， ， 当且仅当时等号成立，故． 【点评】本题考查平面向量的综合题，属于难题． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$