第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（北师大版2019）

第2课时　直线方程的两点式 情境导入 课程标准 　　某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、 北大街东面P处,如图所示。公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km。现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处。那么如何确定直线大道的位置? 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程。 自主预习明新知 直线的两点式、截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2) 两点A(a,0), B(0,b),ab≠0 方程 = +=1 微思考 1.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)中x1=x2,则直线方程怎样表示,若y1=y2呢? 提示:若x1=x2,则直线方程为x=x1;若y1=y2,则直线方程为y=y1。 2.-=1是直线的截距式方程吗? 提示:不是。化为+=1才是直线的截距式方程。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线的两点式方程 　　【例1】　(1)若直线l经过点A(2,-1),B(2,7),则直线l的方程为 x=2 。  解析　由于点A与点B的横坐标相等,所以直线l没有两点式方程,所求的直线方程为x=2。 (2)若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m= -2 。  解析　由直线方程的两点式得=,即=。所以直线AB的方程为y+1=-x+2,因为点P(3,m)在直线AB上,所以m+1=-3+2,得m=-2。 　　由两点式求直线方程的步骤:(1)确定直线所经过两点的坐标;(2)由直线的两点式方程写出直线的方程。 【变式训练】　已知△ABC三个顶点坐标A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在的直线方程。 解　因为A(2,-1),B(2,2),A,B两点横坐标相同,直线AB与x轴垂直,故其方程为x=2。因为A(2,-1),C(4,1),由直线方程的两点式可得AC的方程为=,即x-y-3=0。同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为=,即x+2y-6=0。所以三边AB,AC,BC所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0。 类型二　直线的截距式方程 　　【例2】　直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程。 解　设直线l的方程为+=1(ab≠0),由已知得a+b=12　①。又直线l过点(-3,4),所以+=1　②。由①②解得或故所求的直线方程为+=1或+=1,即x+3y-9=0或4x-y+16=0。 　　【互动探究】　将例2中“截距之和为12”改为“截距之积为6”,求直线l的方程。 解　设直线l的方程为+=1,由题意知ab=6　①。又直线l过点(-3,4),所以+=1　②。由①②解得或故所求的直线方程为+=1或+=1,即2x+3y-6=0或8x+3y+12=0。 　　用截距式方程解决问题的优点及注意事项:(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此用截距式画直线比较方便。(2)在解决与截距有关的直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,经常使用截距式。(3)当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零。在这两种情况下都不能用截距式,故解决问题过程中要注意分类讨论。 【变式训练】　已知直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程。 解　由题意可设A(x,0),B(0,y),由中点坐标公式可得解得所以A(8,0),B(0,2)。由直线的截距式方程得l的方程为+=1,即x+4y-8=0。 类型三　直线方程的实际应用 　　【例3】　 如图,某小区内有一块荒地ABCDE,已知BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m,AE∥CD,BC∥DE,∠C=90°,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发。问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少? 解　设计需要开发的长方形地面分三种情况。①当一顶点在边BC上时,只有在B点时长方形BCDB1面积最大,所以S1=210×240=50 400(m2)。②当一顶点在边EA上时,只有在A点时长方形AA1DE的面积最大,所以S2=180×300=54 000(m2)。③当一顶点在边AB上时,设此点为P。 以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0),所以AB所在直线的方程为+=1,即y=601-。所以y=60-x,从而可设Px,60-x,其中0≤x≤90,所以所开发部分的面积为S3=(300-x)240-60+x=-x2+20x+