1.1.3 直线的方程 第2课时 直线方程的两点式 导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第2课时　直线方程的两点式 【学习目标】 　　1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的两点式. 　　2.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的截距式. 【课前预习】 ◆ 知识点一　直线方程的两点式 已知直线l上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),点Q(x,y)为直线l上其他的任意一点.对于倾斜角不为的直线,由直线上任意两点算出的斜率是一个恒定的常数,因此=,即　　　　　　　　,这个方程称为直线方程的两点式.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线方程的两点式一定存在. (　 ) (2)能用两点式表示的直线也可用点斜式表示. (　 ) ◆ 知识点二　直线方程的截距式 若直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,则由两点式可得直线l的方程为=,整理得　　　　.通常,称方程+=1(其中ab≠0)为直线方程的截距式.其中,a为直线与x轴交点的横坐标(即直线在x轴上的截距),b为直线与y轴交点的纵坐标(即直线在y轴上的截距).  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示. (　 ) (2)能用截距式表示的直线都能用两点式表示. (　 ) 【课中探究】 ◆ 探究点一　直线方程的两点式 例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2). (1)求BC边所在直线的方程; (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 已知直线l经过(-2,-2),(2,4)两点,点(1348,m)在直线l上,则m的值为 (　 ) A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 [素养小结] 1.由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标. (2)根据题中的条件,找到有关方程,解出点的坐标. (3)由直线方程的两点式写出直线方程. 2.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴.若满足,则考虑用两点式求方程. ◆ 探究点二　直线方程的截距式 例2 求经过点A(3,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程. 变式 (1)已知过点P(3,1)的直线l在x轴上的截距是其在y轴上截距的3倍,则满足条件的直线l的方程为　　　　　　　　.  (2)(多选题)若直线ax+y+3-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值可以为 (　 ) A.-1 B.1 C.-3 D.3 [素养小结] 用直线方程的截距式解决问题的优点及注意事项 (1)优点:①由截距式可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此根据截距式画直线比较方便. ②在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,使用截距式更简便. (2)注意事项:当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式,故解决问题时要注意分类讨论. ◆ 探究点三　两点式、截距式的应用 例3 (1)某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,若超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的重量为 (　 ) A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.80 kg (2)已知直线l过点P(-2,1),直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A,B,O为原点.若△AOB的面积为,求直线l的方程. 变式 入射光线从点P(2,1)出发,经x轴反射后,通过点Q(4,3),则入射光线所在直线的方程为　　　　.  [素养小结] (1)若已知两点坐标,则一般选用直线方程的两点式,若已知两点是直线与坐标轴的交点,则用直线方程的截距式.(2)不论选用哪种形式的直线方程,都要注意所选形式的方程的限制条件,对特殊情况下的直线要单独讨论解决. 第2课时　直线方程的两点式 【课前预习】 知识点一 = 诊断分析 (1)×　(2)√ 知识点二 +=1 诊断分析 (1)×　(2)√ 【课中探究】 例1　解:(1)BC边所在直线过两点B(5,-4),C(0,-2),由直线方程的两点式,得其方程为=,即y=-x-2,故BC边所在直线的方程为y=-x-2. (2)设BC边的中点为M(a,b),则a==,b==-3,所以M.又BC边上的中线所在直线过点A(-3,2),所以由两点式得其方程为=,即y=-x-,所以BC边上的中线所在直线的方程为y=-x-. 变式　C　[解析] 因为直线l经过(-2,-2),(2,4)两点,所以直线l的方程为=,即=.因为点(1348,m)在直线l上,所以=,解得m=2023,故选C. 例2　解:①当直线经过原点时,斜率k==,所以直线方程为y=x,即4x-3y=0. ②当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距相等时,设直线方程为+=1,将(3,4)代入方程,得+=1,解得a=7,所以直线方程为+=1,即x+y-7=0. ③当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距互为相反数时,设直线方程为+=1,将(3,4)代入方程,得+=1,解得b=-1,所以直线方程为+=1,即x-y+1=0.综上所述,直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0或x-y+1=0. 变式　(1)y=x或+=1　(2)BD　[解析] (1)若过点P(3,1)的直线l在坐标轴上的截距均为0,显然满足题意,则直线l的方程为y=x.若直线l在坐标轴上的截距均不为0,则设满足题意的直线l的方程为+=1,将P(3,1)的坐标代入,得a=2,即l的方程为+=1.故直线l的方程为y=x或+=1. (2)依题意,a≠0,则直线方程ax+y+3-a=0中,令y=0,得x=,令x=0,得y=a-3,所以直线在x轴和y轴上的截距分别为和a-3,因此=a-3,解得a=1或a=3.故选BD. 例3　(1)C　[解析] 由题图知点A(60,6),B(80,10),所以由直线方程的两点式,得直线AB的方程是=,即y=x-6.依题意,令y=0,得x=30,即旅客最多可免费携带行李的重量为30 kg.故选C. (2)解:设直线l的方程为+=1(a>0,b>0), 由题意可得解得 所以直线l的方程为+2y=1,即x+4y-2=0. 变式　y=-2x+5　[解析] 利用反射定理可得入射光线所在直线经过点P(2,1),Q'(4,-3),所以所求直线的方程为=,即y=-2x+5. 学科网（北京）股份有限公司 $$