28.2 中心对称 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦中心对称及其性质、中心对称图形、关于原点对称的点的坐标等核心知识，通过复习旋转作图、轴对称图形等旧知导入，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生逐步深入。 资料特色在于类比迁移与探究式教学，如类比轴对称学习中心对称图形，通过旋转线段、平行四边形等探究性质，培养几何直观与推理意识。实例中利用坐标系探究坐标关系，发展模型意识，助力学生提升空间观念，为教师提供清晰教学流程与分层练习。

28.2 中心对称 28.2.1 中心对称及其性质 课题 中心对称及其性质 课型 新授课 教学内容 教材第99-101页的内容 教学目标 1.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题． 2.复习运用旋转知识作图，�旋转角度变化，�设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题． 3.理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用． 4.复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质． 教学重难点 教学重点：中心对称的概念与性质。 教学难点：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质。 教 学 过 程 备 注 1.复习引入 请同学们独立完成下题． 如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，�并写出简要作法． 老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，�一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；�已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连接OA，OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可． 作法：（1）连接OA，OB，OC，OD； （2）分别以OB，OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD； （3）分别截取OE=OB，OF=OC； （4）依次连接DE，EF，FD； 即△DEF就是所求作的三角形，如图所示． 2.类比旧知，探索新知 【思考】（1）如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ 图1 （2）如图，线段 AC，BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD．把 △OCD 绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？ 图2 【师生活动】学生回答，老师点评.可以发现，在图1中，一个图案旋转后与另一个图案重合；在图2中，旋转后的△OCD与△OAB重合． 像这样，一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图案能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点． 作为特殊的旋转，中心对称具有旋转的性质，除此之外，中心对称还有什么特殊的性质呢？ 【探究】如图，△ABC 和△A′B′C′关于点O对称， 我们仍考虑它们的对称点之间的关系. （1）△ABC与△A′B′C′全等吗？ （2）对称中心O与对称点的连线AA′、BB′、CC′有什么关系？ 【师生活动】学生回答以上问题，教师点评. 证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中， OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′ ∴△AOB≌△A′OB′ ∴AB=A′B′ 同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′ （2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O�旋转180�°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点． 同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点． 因此，我们就得到中心对称的性质： （1）成中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分. （2）中心对称的两个图形是全等图形. 给定一个点和一个图形，可以画出与这个图形关于这个点中心对称的图形，与其他图形的变化类似，对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出它们关于对称中心的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形中心对称的图形. 3.学以致用，应用新知 【例】如图，选择一点O为对称中心，作出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′. 分析：关键是利用中心对称的性质确定△ABC三个顶点的对称点. 解：如图，连接AO，在AO的延长线上截取OA′=OA，即可以得到点A关于点O的对称点A'，以同样的方法分别作出点B，C关于点O的对称点B',C'，依次连接A′B′，B′C′，C′A′.就得到与△ABC关于点O对称的△A′B′C′ . 4.随堂训练，巩固新知 （1）如下图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有(　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 答案：C （2）如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是(　　) A．3 B．6 C．8 D．12 答案：C （3）如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，�点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（ ） A．55° B．125° C．70° D．110° 答案：D （4）如图中，已知△ABC和△A′B′C′成中心对称，画出它们的对称中心． 分析：由于△ABC和△A′B′C′成中心对称，即从整体上看，此图是一幅中心对称图案，所以本题有两种解法． 解法一：根据观察，B、B′及C、C′应是两组对应点，连接BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则O为对称中心．如图． 解法二：B、B′是一对对应点，连接BB′，找出BB′的中点O，则点O即为对称中心．如图． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.怎样画一个图形关于一个点的对称图形？ 6.布置作业 教材P101练习第1-2题，P104习题28.2第1-2题. 学生独立完成，老师适时总结、点评。 由于本节所学的中心对称是旋转的一种特殊情况，所以先复习旋转作图。 从旋转的角度观察图，引出中心对称的概念。如果有条件们可以用多媒体技术加以演示，加深印象和对概念的理解。 重点是中心对称的概念和性质，掌握中心对称的概念是关键。 中心对称的两个图形一定是全等的，而全等的图形不一定中心对称。 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，利用中心对称的特征，找正确对应点．当两个图形成中心对称时，通过直接观察的方法找对应点；如果直观体现不明显，可采用测量方法找对应点． 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 成中心对称的两个图形全等，全等三角形的对应高相等。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 中心对称及其性质 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 28.2.2 中心对称图形 课题 中心对称图形 课型 新授课 教学内容 教材第101-102页的内容 教学目标 1.了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用． 2.复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用． 教学重难点 教学重点：中心对称图形的有关概念及其运用. 教学难点：区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形. 教 学 过 程 备 注 1.复习引入 在轴对称的学习中，我们既学习了两个图形成轴对称，也学习了轴对称图形.类似地，有两个图形关于某个点中心对称，是不是也有中心对称图形呢？ 【教师活动】关于中心对称的两个图形具有什么性质？ 【学生活动】关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形． 【追问】轴对称的中心对称的区别与联系： 轴对称：有一条对称轴是直线，图形沿轴对折（翻转180°)，翻转后和另一个图形重合。 中心对称：有一个对称中心是一点，图形绕中心旋转180°，旋转后和另一个图形重合。 2.类比旧知，探索新知 【思考】（1）如图，将线段AB绕它的中点旋转180°你有什么发现？ 【师生活动】学生回答：线段绕它的中点旋转180°后重合.教师点评. （2）如图,将ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？ 【师生活动】学生回答：旋转后和原四边形重合.教师点评. 师生总结归纳： 中心对称图形是指在同一平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原图形重合，那么这个图形就叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【追问1】中心对称图形需要具备什么条件？它与轴对称图形有什么区别联系？ 两个图形成中心对称须具备三个条件：①能找到一个对称中心；②旋转角为180°；③旋转后的图形与原来图形能重合. 轴对称图形：①有一条对称轴是直线，②图形沿轴对折（翻转180°)，③翻转后和图形另一部分重合. 【追问2】由上可得，线段、平行四边形都是中心对称图形. 利用中心对称的性质，如何确定一个中心对称图形的对称中心？线段、平行四边形的对称中心分别是什么？ 矩形、菱形、正方形不仅是轴对称图形，也是中心对称图形，它们的对称轴的交点就是其对称中心. 【追问3】中心对称图形的特征？ 中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都仍在这个图形上。 【追问4】中心对称和中心对称图形的区别与联系？ 中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念，它们的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，成中心对称的两个图形，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点关于对称中心的对称点又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都仍在这个图形上，中心对称和中心对称图形的联系是：如果将中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成两个图形，那么它们又关于中心对称。 3.学以致用，应用新知 【例1】下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) 解析：根据轴对称和中心对称的概念和性质逐一进行判断，选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是中心对称图形，又是轴对称图形；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故选B. 答案：B 【例2】如图，网格中有一个四边形和两个三角形． (1)请你画出三个图形关于点O的中心对称图形； (2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形至少旋转多少度能与自身重合？ 解：(1)如图所示； (2)这个整体图形的对称轴有4条；此图形最少旋转90°能与自身重合． 【例3】如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，试求图中阴影部分的面积． 分析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中，于是此面积即可求得． 解：因为矩形ABCD是中心对称图形，所以△BOF与△DOE关于点O成中心对称，所以图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中．又因为AB＝2，BC＝3，所以Rt△ADC的面积为×3×2＝3，即图中阴影部分的面积为3. 【例4】有一块长方形土地ABCD，其中有一口如图①所示的圆形井．现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜，若使两家得到的面积一样大，你想怎么帮他们分呢？简要说明你的分法(假设土地都一样好)． 分析：已知整个图形是由一个长方形和一个圆组成，而这两个图形又都是中心对称图形，所以只要设法分别找出这两个图形的对称中心，并经过两个中心作一条直线，这条直线即将面积一分为二，问题随之解决． 作法：(1)任意作出已知圆的两条直径，交点为O； (2)连接AC、BD，交点为O′； (3)过点O、O′作一条直线l.如图②中所示直线l即为所分的痕迹． 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．正六边形 答案：D （2）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 答案：D （3）如图，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085�”在镜子中的像是（ ） A．21085 B．28015 C．58012 D．51082 答案：D （4）如图，将矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点． ①求证：四边形BEFG是平行四边形； ②连接BB，判断△B1BG的形状，并写出判断过程． 解：（1）证明：∵A1D1∥B1C1，∴∠A1BD=∠C1FB 又∵四边形ABEF是由四边形A1B1EF翻折的， ∴∠B1FE=∠EFB，同理可得：∠FBG=∠D1BG， ∴∠EFB=90°-∠C1FB，∠FBG=90°-∠A1BD， ∴∠EFB=∠FBG ∴EF∥BG，∵EB∥FG ∴四边形BEFG是平行四边形． （2）直角三角形，理由：连结BB， ∵BD1∥FC1，∴∠BGF=∠D1BG，∴∠FGB=∠FBG 同理可得：∠B1BF=∠FB1B． ∴∠B1BG=90°，∴△B1BG是直角三角形 （5）如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△AOB绕点O�顺时针旋转90°得到△A1OB1． ①在图中画出△A1OB1； ②设过A、A1、B三点的函数解析式为y=ax2+bx+c，求这个解析式． 解：（1）如右图所示 （2）由题意知A、A1、B1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0） ∴ 解这个方程组得 ∴所求函数解析式为y=-x2+x+1． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）中心对称图形需要具备什么条件？它与轴对称图形有什么区别联系？ （3）中心对称图形的特征？ （4）中心对称和中心对称图形的区别与联系？ 6.布置作业 教材P102练习第1-2题，P104习题28.2第2，5题. 观察线段和平行四边形（三角形）。可以结合探究作图做成教具或用多媒体技术加以演示，加深对中心对称图形的理解和印象。 教学时可以和轴对称对比。轴对称图形是对称轴两旁的部分互相重合，图形的一半折叠在另一半上。中心对称图形旋转180°后，仍然是原来图形。 线段的对称中心是它的中点，平行四边形的对称中心是它的对角线的交点。 在日常生活和生产中，经常遇到中心对称图形，如风车的车轮、飞机的螺旋桨等。可以让学生自己举出类似的实例。 中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念。 识别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形． 利用中心对称的性质将阴影部分转化到一个直角三角形中来解决更简单。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 中心对称图形 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 28.2.3 关于原点对称的点的坐标 课题 关于原点对称的点的坐标 课型 新授课 教学内容 教材第103-104页的内容 教学目标 1.理解点P与点P′关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用． 2.复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用． 教学重难点 教学重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）�关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用。 教学难点：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题。 教 学 过 程 备 注 1.复习引入 （学生活动）请同学们完成下面三题． （1）已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′． （2）如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． （3）如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形． 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 2. 类比旧知，探索新知 我们已经学习了关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系，类似地，下面来研究关于原点对称的点的坐标之间的关系.让我们通过坐标系来探究关于原点对称的点的坐标特征。 【探究】如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标. ，，，，. 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 通过作图可以发现： 点的对称点是 点的对称点是 点的对称点是 点的对称点是 点的对称点是 【归纳】仔细观察这些对称点的坐标，我们发现一个规律：任意一点关于原点的对称点的坐标都是。也就是说，关于原点对称的两个点，它们的横坐标和纵坐标都互为相反数。 【师生互动】教师提问：同学们，如果已知点关于原点的对称点是，那么的坐标是什么？ 学生回答：根据刚才的规律，的坐标应该是。 教师追问：很好！那如果有一个点，它关于原点的对称点的坐标是什么呢？ 学生思考后回答：因为的相反数还是，所以的坐标仍然是。 教师继续提问：这说明什么特殊性质呢？ 学生回答：这说明原点关于它自身的对称点就是它自己. 利用上述规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形，对于一些规则几何图形，与在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形类似，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）关于原点对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于原点对称的图形. 3. 学以致用，应用新知 【例1】如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与关于原点对称的图形. 解：点P(x，y）关于原点的对称点为P'(-x，-y)，因此△ABC的三个顶点A(-4,1)，B(-1,-1)，C(-3,2)， 关于原点的对称点分别为A′(4,-1)，B′(1,1)，C′(3,-2)， 依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′，如图所示. 【例2】若点A的坐标是(a，b)且a，b满足＋b2＋4b＋4＝0，求点A关于原点O的对称点A′的坐标． 解：∵＋b2＋4b＋4＝0，∴＋(b＋2)2＝0.∵≥0，(b＋2)2≥0，∴a－3＝0，b＋2＝0.即a＝3，b＝－2.∴点A的坐标是(3，－2)．又因为点A和点A′关于点O对称，所以A′(－3，2)． 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ） A．y= B．y=2x+1 C．y=-2x+1 D．以上三种都不可能 答案：A （2）如图，已知矩形ABCD周长为56cm，O是对称线交点，点O到矩形两条邻边的距离之差等于8cm，则矩形边长中较长的一边等于（ ） A．8cm B．22cm C．24cm D．11cm 答案：B （3） 如果点P（-3，1），那么点P（-3，1）关于原点的对称点P′的坐标是P′_______． 答案：（3，-1） （4）如图，在平面直角坐标系中，A（-3，1），B（-2，3），C（0，2），画出△ABC�关于x轴对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于y轴对称的△A″B″C″，那么△A″B″C″与△ABC有什么关系，请说明理由． 解：画图略，△A″B″C″与△ABC的关系是关于原点对称． （5）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－2，3)、B(－3，2)、C(－1，1)． ①若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1； ②画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2； ③△A′B′C′与△ABC关于原点成中心对称，请写出对称中心的坐标：________； ④顺次连接C、C1、C′、C2，所得到的四边形CC1C′C2是轴对称图形吗？ 解：①②如图所示； ③(0，0)； ④是轴对称图形． （6）如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且A（0，3），B（3，0），现将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1． ①在图中画出直线A1B1； ②求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式； ③是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜率k相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由． 解：①如图，连接A1B1； ②A1B1中点P（1.5，-1.5），设反比例函数解析式为y=，则y=-． ③A1B1：设y=k1x+b1 ∴y=x+3 ∵与A1B1直线平行且与y=相切的直线是A1B1�旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3， 下面证明y=x+3与y=-相切， x2+3x+2.25=0，b2-4ac=9-4×1×2.25=0， ∴y=x+3与y=-相切． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号有什么变化？ （3）你能画出一个图形关于原点对称的图形吗？ 6.布置作业 教材P104练习第1-3题，P104习题28.2第3-4题. 复习轴对称、旋转和中心对称图形的作图，为本小节关于原点对称的点的特征的探索奠基。 关于原点对称就是以原点为对称中心的中心对称。 画和已知图形关于原点对称的图形，根据坐标关系，直接描出已知三角形三个顶点的对称点，然后依次连接即可。 在平面直角坐标系中，任意点A(x，y)关于坐标轴、原点都存在对称点．关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数．如：点A(x，y)关于x轴的对称点为A1(x，－y)；关于y轴的对称点为A2(－x，y)，关于原点对称的点为A3(－x，－y). 熟练掌握图形变换的几种形式是解决问题的关键。 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 透过问题的表象找到隐含条件，再根据点的对称性质作出解答。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 关于原点对称的点的坐标 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $