27.3 实际问题与反比例函数 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与反比例函数”应用，通过拉面制作、起重机卸货等生活实例导入，衔接反比例函数概念，搭建从数学模型到实际问题解决的学习支架。 资料特色在于融合生活与跨学科案例，如杠杆原理、电学功率等，通过数据表格与散点图引导建模，培养数学眼光、思维与语言。例如探究起重机卸货问题，综合方程与不等式知识，提升学生应用能力，为教师提供丰富分层训练案例，助力高效教学。

27.3 实际问题与反比例函数 第1课时 实际问题与反比例函数（1） 课题 实际问题与反比例函数（1） 课型 新授课 教学内容 教材第74-76页的内容 教学目标 1.能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。 2.能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题。 3.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。 教学重难点 教学重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。 教学难点：在实际问题中寻找变量之间的关系，建立函数模型。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 拉面师傅手艺精湛，如果他要把体积为20 cm2的面团做成拉面，你能写出面条的总长度y（单位：cm）与面条粗细（横截面积）S（单位：cm2）的函数解析式吗？若拉面师傅拉的面条粗2 mm2，面条总长是多少？ 【师生活动】教师引导学生建立反比例函数模型解决。 2.实践探究，学习新知 【探究1】港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的总时间水(单位:h)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 【师生活动】教师提示学生从函数角度出发，应如何理解“不超过6 h卸载完毕”，并进行讨论，学生展示结果，教师规范解题书写过程。 在此活动中，教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系。重点关注：①学生能否自己建构函数模型；②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来。 【探究2】某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200 N和0.5 m. (1)动力F和动力臂有怎样的函数关系？当动力 臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【师生活动】先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题． 教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系。在大部分学生自主完成后，可提出以下问题让学生思考，巩固提高：（1 )用反比例函数知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？（2)你能再举一些应用杠杆原理做实际例子吗？ 师生共同总结： 解决有关物理类实际问题的方法：利用各物理量之间的关系，建立数学模型，列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据物理知识、函数性质、方程（组）、不等式及函数图象信息求解。 在此活动中，教师要重点关注学生能否从实际问题中抽象出函数模型；能否利用函数模型解释实际问题中的现象。 3.学以致用，应用新知 【例1】在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 解：(1)设y＝.∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝； (2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)； (3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m. 【例2】如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1L(1L＝1 dm3)的圆锥形漏斗． （1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系? （2）如果漏斗口的面积为100 cm2，则漏斗的深为多少? 解：(1)根据圆锥体的体积公式，设漏斗口的面积为S cm，漏斗的深为d cm，则容积为1L＝l dm3＝1000 cm3． 所以，S·d＝1000，S＝． （2）根据题意把S＝100 cm2代入S＝,中，得100＝，解得d＝30． 所以如果漏斗口的面积为100 cm2，则漏斗的深为30 cm． 4.随堂训练，巩固新知 （1）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量y(张)之间有如下关系： x(元) 3 4 5 6 y(张) 20 15 12 10 ①猜测并确定y与x的函数关系式； ②当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？ 答案：①从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝(k为常数，k≠0)，把点(3，20)代入得k＝60，∴y＝； ②当x＝10时，y＝＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张。 （2）王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟． ①速度v与时间t之间有怎样的函数关系？ ②若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ ③如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？ 答案：①速度v与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得v＝； ②把t＝15代入函数解析式，得v＝＝240.故他骑车的平均速度是240米/分； ③把v＝300代入函数解析式得＝300，解得t＝12.故他至少需要12分钟到达单位． （3）已知某矩形的面积为20cm2， ①写出其长y与宽x之间的函数表达式． ②当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少? ③如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少? 答案：①根据矩形的面积公式，我们可以得到20＝xy． 所以y＝，即长y与宽x之间的函数表达式为y＝． ②把y＝12代入y＝中，得12＝，解得x＝ ． 把x＝4代入y＝中，有y＝＝5． 所以当矩形的长为12cm时，宽为 cm； 当矩形的宽为4 cm时，其长为5cm． ③y＝，此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不小于8cm，即y≥8cm，所以≥8cm， 因为x＞0，所以20≥8x．x≤ ．即宽至多是 m． 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生一起回顾： （1）我们建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的？ （2）在这个过程中要注意什么问题？ 6.布置作业 课本P76练习. 展示反比例函数在实际生活中的应用情况，让学生初步体会利用反比例函数模型解决实际问题，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣。 学生通过对v与t之间的函数关系的研究，认识到体积一定，当t改变时，v随之改变。首先建立解决问题的反比例函数模型，然后应用反比例函数的概念、性质进行解决，初步培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力。 在了解杠杆原理的基础上，让学生探究杠杆问题中存在的反比例函数关系，初步感知反比例函数在其他学科中的应用，体会跨学科综合应用。 当条件改变时，函数关系也发生改变，发展学生分析、解决问题的能力。 本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解． 进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力。在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。 让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步提高解决问题的能力。 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 实际问题与反比例函数（1） 教后反思 本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系． 学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为基础，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识 来解决实际问题. 第2课时 实际问题与反比例函数（2） 课题 实际问题与反比例函数（2） 课型 新授课 教学内容 教材第76-78页的内容 教学目标 1.能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型。 2.从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问题，建立函数模型解决实际问题。 教学重难点 教学重点：从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型。 教学难点：建立函数模型解决实际问题。 教 学 过 程 备 注 1.实践探究，学习新知 【探究】—个用电器的电阻是可调节的，其范围是110〜220，已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1)输出功率犘与电阻只有怎样的函数关系？ (2)这个用电器功率的范围是多少？ 【师生活动】教学时，教师应先让学生熟悉与本例相关的电学知识，即PR = U2，然后让学生独立完成，对个别有困难的同学，可予以指导，也可让他们与同伴交流，从而能解决问题，在大多数同学完成以后，教师可设置以下两个问题，让学生进一步加深对知识的理解： ①想一想，为什么收音机的音量，某些台灯的亮度以及电风扇的转速都可以调节？②你还能列举一些生活中用电器应用反比例函数性质的例子吗？ 2.学以致用，应用新知 【例1】在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 解：(1)由图可知，当力F为10 N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50 m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). (2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.由(1)可知其解析式为s=. (3)将s=100代入s=，可得F=5(N). 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100 m， 力F要大于5 N. 【例2】一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h）与行驶全程所用时间t（单位:h）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1) 写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2) (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天 10 时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 解：(1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系.由图可知，当t=2时，v=120，于是有v=①; 当v=60 时，由①得t=4. 因为 60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4. (2)客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=2 h，代入①，可得v=90(km/h);若当天 11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3 h，代入①，可得v=80(km/h). 因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度v的范围是80≤v≤90. 3.随堂训练，巩固新知 （1）一村民在清理鱼塘时不慎被困在淤泥中，消防员以门板作船进行救援，设人和门板对淤泥的压力合计900N，门板面积为S（m2），则人和门板对淤泥的压强P（pa）和门板面积S（m2）之间的函数关系式为（ ） A. P=900+S B. P= C. P= D. P=900S 答案：B （2）一只额定功率为800W的家用电饭锅，工作时测得电路两端的电压U为200V，此时的工作电阻R不小于62.5Ω，则通过电路的电流强度I（ ） A.等于4A B.不大于3.2A C.不小于3.2A D.不大于3.57A 答案：B （3）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化。已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示。 ①求密度ρ关于体积V的函数解析式； ②当V=8 m3时，求该气体的密度ρ。 解：①设ρ=，将（4，2.5）代入，得2.5=，解得k=10.∴ρ=。 ②将V=8代入ρ=，得ρ=。 ∴该气体的密度为 kg/m3。 （4）某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示． ①求出这个函数的解析式； ②当容器内的气体体积是0.6m3时，此时容器内的气压是多少千帕？ ③当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少m3? 解：①设这个函数的表达式为p＝.根据图象可知其经过点(2，60)，得60＝，解得k＝120.则p＝； ②当V＝0.6m3时，p＝＝200(kPa)； ③当p≤240kPa时，得≤240，解得V≥. 所以为了安全起见，容器的体积应不小于m3. （5）某汽车的输出功率P为一定值，汽车行驶时的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)之间的函数关系如下图所示： ①这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； ②当它所受牵引力为2400N时，汽车的速度为多少？ ③如果限定汽车的速度不超过30m/s，则F在什么范围内？ 解：①设v与F之间的函数关系式为v＝ ，把(3000，20)代入v＝，得P＝60000，∴这辆汽车的功率是60000W.这一函数的表达式为v＝； ②将F＝2400N代入v＝，得v＝＝25(m/s)， ∴汽车的速度v＝3600×25÷1000＝90(km/h)； ③把v≤30代入v＝，得F≥2000(N)，∴F≥2000N. 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生一起回顾： （1）我们建立反比例函数模型解决其他学科的实际问题的过程是怎样的？ （2）在这个过程中要注意什么问题？ 6.布置作业 课本P78练习. 从学生熟悉的功率、电压、电流的物理关系出发，建立反比例函数模型，实现物理与数学知识的相互转化，从而培养学生灵活应用知识的能力。 让学生进一步体会数学建模思想，培养学生学以致用的能力，即能用所学知识解决现实世界中实际问题的能力，也可增强学生的学习兴趣. 学生在反思中整理知识，梳理思维，获得成功的体验和失败的感受，巩固和提高应用反比例函数解决实际问题的能力，巩固对反比例函数的性质的认识。 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 实际问题与反比例函数（2） 教后反思 本节是在上一节的基础上，进一步学习与反比例函数有关的涉及其他学科的知识。尽量选用学生熟悉的实例进行教学，使学生从身边事物入手，真正体会数学知识来源于生活。在这些实际应用中，备课时应注意到与学生的实际生活相联系，并且注意用函数观点来对这些问题做出某种解释，从而加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系，特别是与物理知识之间的联系。注意要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的活动时间，不断引导学生利用数学知识解决实际问题。 第3课时 实际问题与反比例函数（3） 课题 实际问题与反比例函数（3） 课型 新授课 教学内容 教材第78-80页的内容 教学目标 1．根据数据和图象特征，选择合适的函数模型确定函数解析式.利用函数解决问题. 2．经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识. 教学重难点 教学重点：根据数据和图象特征，选择合适的函数模型确定函数解析式。 教学难点：建立函数模型解决实际问题。 教 学 过 程 备 注 1.实践探究，学习新知 【探究】某物理实验小组研究气体的压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据. 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系?如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 【师生活动】教学时，教师应先让学生熟悉与本例相关的物理知识，然后让学生与同伴交流，教师可予以指导. 分析:由表可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图，如图（1）. 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点.可以发现，图（2）中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. (2)建立模型.设函数解析式为p=（V＞0），根据表中数据，分别求出k的值，列出表. V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2000 2016 1968 2030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 k=(2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型p=. (3)检验模型.将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系. (4)求解问题.将p=132代入①，得132=， 解得V=≈15.13（mL）. 因此，当压强为132 kPa时，气体的体积约为15.13 mL. 2.学以致用，应用新知 【例】小明根据医学检测的相关数据和学习函数的经验,对某一成人喝250m低度白酒后,其血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究,发现血液中酒精含量y(单位:mg/100mL)是饮酒后的时间x(单位:h)的函数.下表记录了6h以内11个时间点r随x(x>0)的变化情况: 如图,小明在平面直角坐标系中,描出了上表中以各组对应值为坐标的点,并根据描出的点,画出血液中酒精含量r随时间x变化的函数大致图象.请你和小明一起探究,回答下列问题: (1)分析表格中的数据,求当x＞时,y关于x的函数解析式,并写出m=_______； (2)观察函数图象,写出该函数的一条性质:______________; (3)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100m时属于“酒后驾驶”不能驾车上路.参照上述数学模型,假设此人晚上20:00在家喝完250m低度白酒,第二天早上7:30能否驾车去上班?请说明理由. 解：（1）结合表格中的数据观察题图，知当x＞时，y与x成反比例函数关系. 当x=时，y=150，∴xy=×150=225， ∴当x＞时，y关于x的函数解析式为y=. 把x=5代入，得m==45. （2） 当x≥时，y随x的增大而减小（答案不唯一，合理即可）. （3）能驾车去上班. 理由如下：由此人晚上20：00喝完250 mL低度白酒至第二天早上7：30，得x=11.5. 把x=11.5代入y=，得y=≈19.57. ∵19.57＜20，∴此人不属于“酒后驾驶”，可以驾车去上班. 3.课堂小结，自我完善 教师引导学生一起回顾： （1）我们建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的？ （2）在这个过程中要注意什么问题？ 4.布置作业 课本P80练习. 从学生熟悉的压强的物理关系出发，建立反比例函数模型，实现物理与数学知识的相互转化，从而培养学生灵活应用知识的能力。 让学生进一步体会数学建模思想，培养学生学以致用的能力，即能用所学知识解决现实世界中实际问题的能力，也可增强学生的学习兴趣. 学生在反思中整理知识，梳理思维，获得成功的体验和失败的感受，巩固和提高应用反比例函数解决实际问题的能力，巩固对反比例函数的性质的认识。 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 实际问题与反比例函数（3） 教后反思 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型.面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合的函数模型.确定函数解析式，利用函数解决问题。尽量选用学生熟悉的实例进行教学，使学生从身边事物入手，真正体会数学知识来源于生活。在这些实际应用中，备课时应注意到与学生的实际生活相联系，并且注意用函数观点来对这些问题做出某种解释，从而加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系，特别是与物理知识之间的联系。注意要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的活动时间，不断引导学生利用数学知识解决实际问题。 学科网（北京）股份有限公司 $