27.2 反比例函数的图象和性质教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象（双曲线）和性质（k>0/k<0时的象限分布及增减性），课堂导入通过回顾一次函数、二次函数的研究过程及描点法步骤，搭建类比迁移的学习支架，衔接旧知与新知。 特色在于以“探究式学习”为主线，第一课时让学生自选k值画图，观察归纳性质，培养几何直观和推理意识，第二课时通过k的几何意义探究，深化数形结合。分层练习巩固应用，提升学生抽象能力与创新意识，也为教师提供结构化教学流程，提高课堂效率。

27.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质 课题 反比例函数的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第67-70页的内容 教学目标 1.会用描点法画反比例函数的图象。 2.探究并理解反比例函数的性质，体会“数形结合”“从特殊到一般”的数学思想。 教学重难点 教学重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质. 教学难点：正确画出反比例函数的图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质。 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧识，引入课题 问题1：回忆一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？ 问题2：回忆画函数图象的方法与步骤. 【师生活动】教师提出问题，学生思考、回答，教师根据学生活动情况进行补充和完善。 在活动中教师应重点关注：学生对一次函数知识点的掌握情况；学生对描点法画函数图象的基本步骤的掌握情况：列表，描点，连线。 2.类比探究，学习新知 【探究1】画出反比例函数y=与y=的图象。 【师生活动】（1）教师提出问题：如何选取自变量的值？要注意什么问题？学生思考后，引导学生列表填写几组x与y的对应值。 （2）教师演示y=的描点过程，示范画出反比例函数y=的图象，再让学生尝试画y=的图象。 （3）教师重点关注学生在列表时，是否注意到了自变量的取值应使函数有意义，注意到反比例函数曲线的两个分支是断开的，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不和坐标轴相交。 【探究2】观察反比例函数y=与y=的图象，回答下面的问 题： （1）每个函数图象位于哪些象限？ （2）在每个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ （3）对于反比例函数y=（ k＞0），考虑问题前两个问题，你能得出同样的结论吗？ 【师生活动】教师引导学生观察，类比正比例函数，归纳说出反比例函数y=与y=图象的形状、位置及变化趋势。 归纳得到k＞0时，反比例函数的图象特征和性质。 【探究3】所有的反比例函数的图象都具有这样的特征吗？ 对k的值进行分类讨论，自选k的值，画函数y=的图象，画图进行观察、探究k>0和k<0两种情况。 【师生活动】学生自选k值画函数图象（k=3、-3和4、-4） 教师统计分类情况，在黑板上画图加以汇总展示.以y=为例，教师适时提问： （1）函数图象位于哪些象限？与探究2中的有什么不同吗？为什么会有这样的变化？ （2） 函数图象经过原点吗？为什么？ （3）当自变量从小到大变化时，函数图象如何变化？与探究2中的有什么不同吗？为什么会有这样的变化？ （4）如何描述函数的性质？ 学生小组讨论，观察思考后进行分析、归纳，得出k＜0时反比例函数的性质。 教师引导学生总结归纳： （1）反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线。 （2）当k>0时，双曲线的两个分支位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小。 （3）当k<0时，双曲线的两个分支位于第二、第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。 3.学以致用，应用新知 【例1】下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ） 答案：D 【变式】反比例函数y=的图象大致是（ ） B： x y o C： x y o A： x y o D： x y o A B C D 答案：D 【例2】函数y=,当x>0时,图象在第____象限, y随x 的增大而_________. 答案：一 减小 【变式】已知反比例函数y=，若函数的图象位于第一、三象限，则k_____________;若在每一象限内，y随x增大而增大，则k_____________. 答案：k＜4 k＞4 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图是某一函数的一部分，则这个函数的表达式可能 是（ ） A.y=5x B.y=-x+3 C.y=- D.y= 答案：C （2）函数y=的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________。 答案：一、三 减小 （3）若反比例函数 y =的图象的一个分支在第三象限，则的取值范围是 。 答案：m＞ （4）在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是(　　) A．－1 B．3 C．1 D．2 答案：A （5）已知反比例函数y＝－，下列结论不正确的是(　　) A．图象必经过点(－1，2) B．y随x的增大而增大 C．图象分布在第二、四象限 D．若x＞1，则－2＜y＜0 答案：B 5.课堂小结，自我完善 本节课学习了哪些知识？你有什么收获？在知识应用过程中需要注意什么？ 学生自己整理与回顾，师生共同概括总结。 （1）反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线。 （2）当k>0时，双曲线的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小。 （3）当k<0时，双曲线的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。 6.布置作业 课本P70练习。 通过创设问题情境，引导学生类比前面学习一次函数的图象和性质的方法，激发学生参与课堂的热情，开始本节课的探究，为学习画反比例函数的图象打好基础. 让学生应用描点法画出反比例函数的图象，关注画图的基本步骤，以及每一个细节的处理，培养学生动手操作的能力和习惯. 类比正比例函数，引导学生通过观察比较，总结出两个反比例函数图象的共同特征，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象，实现学生主动参与，探究新知的目的。 进一步巩固画函数图象的基本步骤，增强学生动手操作能力.通过对每个函数图象的位置与k值的符号关系的探讨，得出性质，有利于学生加深对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识产生形成的过程.逐步达到培养学生抽象概括能力和激发学生的求知欲望. 熟悉反比例函数的图象和性质，区别一次函数与反比例函数以及二次函数的图象，进一步体会数形结合的思想，从数和形两方面加深对反比例函数性质的认识. 通过随堂练习，巩固所学知识，灵活运用反比例函数的图象和性质，提高解决问题的能力. 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 反比例函数的图象和性质 画法：描点法 图象：双曲线 k＞0时 性质 k＜0时 教后反思 本节课首先由老师引导学生回顾描点法画函数图象的方法，激活学生原有的知识，然后引导学生画反比例函数的图象，并让学生通过观察图象，探究分析，得出反比例函数的性质，让学生经历知识的产生和形成过程，避免学生的知识由老师灌输得到，充分调动学生自己动手，主动探索，在观察、感受、讨论、发现，探究总结、合作与交流中体会到了参与的乐趣，成功的喜悦和感知数学的奇妙，把新课程改革的精神落实到教育教学中的每一个细节。 在教学过程中，从图象观察增减性较难，借助计算机的动态演示更容易让学生观察，所以本课教学采用多媒体，使学生更直观、更清楚地看清函数的变化，从而使学生加深对函数性质的理解。 第2课时 反比例函数的图象和性质的运用 课题 反比例函数的图象和性质的运用 课型 新授课 教学内容 教材第70-71页的内容 教学目标 1.进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质。 2.灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题。 3.领会反比例函数解析式与图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。 教学重难点 教学重点：利用反比例函数的图象和性质解决综合问题。 教学难点：从图象中分析问题、解决问题。 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧识，引入课题 问题1：下列反比例函数： ①y=-；②y=；③7y=-；④y=. （1）图象位于第一、第三象限的是 ； （2）图象位于第二、第四象限的是 。 问题2：在反比例函数①y=-；②y=；③7y=-； ④y=的图象上，（x1，y1），（x2，y2）是其图象上同一象限内的点： （1）若x1＜x2，则y1＜y2的函数是 ； （2）若x1＜x2，则y1＞y2的函数是 ； 问题3：反比例函数的图象经过点A（－3，2），则此反比例函数的解析式为 。区别于一次函数，类似正比例函数，反比例函数中只有 个待定系数k，只需 组x,y的对应值即可确定反比例函数的解析式。 【师生活动】教师提出问题，学生思考、回答，教师根据学生回答情况进行补充和辅导。 2.类比探究，学习新知 【探究1】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。 （1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ （2）点B（3，4），C（，-4），D（2，5）是否在这个函数的图象上？ 【师生活动】教师提出问题： （1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？ （2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？ （3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？ （4）某点不在图象上的含义是什么？ 学生在小组内讨论交流，组内代表回答问题。 【探究2】如图，它是反比例函数y=的图象的一支。根据 图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数的某一支上任取点A（x1，y1）和点B（x2，y2）。如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ （3）对于反比例函数y=（k＞0），考虑问题前两个问题，你能得出同样的结论吗？ 【师生活动】教师引导并提出问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？ （2）函数图象所在象限与解析式中哪个量有关？ （3）函数解析式中的系数由哪个式子表示？ 学生独立思考问题，然后互相交流，互相纠错。 【探究3】k的几何意义 在一个反比例函数的图象上任取两点A，B，过点A分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S1,过点B分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为 S2，请问S1和S2之间有什么关系？为什么？ 【师生活动】教师指导学生根据图象进行探讨，学生小组内讨论,并进行解析。 S1=|x1|·|y1|=|k|，同理，S2=|x2|·|y2|=|k|，所以S1=S2。 教师追问：从反比例函数的图象上任取一点向坐标轴作垂线段，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积是多少？ 【师生活动】师生解答,归纳总结得：这个三角形的面积=. 归纳： 3.学以致用，应用新知 【例1】已知反比例函数y=的图象经过点（1，3），则k的值是（ ） A.1 B.-2 C.-1 D.2 答案：D 【例2】已知反比例函数的图象经过点 A（-2，4）. （1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ （2）点 B（1，-8），C（2 ，-3），D（2，4）是否在这个函数的图象上？ 解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能:位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点A(-2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限.在每一个象限内，y随x的增大而增大. （2）设这个反比例函数的解析式为y=，因为点 A(-2，4)在其图象上，所以点 A 的坐标满足y=，即4=,解得k =-8. 所以，这个反比例函数的解析式为y=. 因为点 B，C 的坐标都满足y=，点 D 的坐标不满足y=， 所以点 B，C 在函数y=的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 【例3】如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限，常数 的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A ( ， ）和 B ( , )如果＜ ，那么与 的大小关系如何？为什么？ 解：（1）图象的另一支位于第四象限，n＜-7。 （2）由函数图象得，在每一象限内，y随x的增大而增大，所以若＜，则＜。 【例4】如图，点P（x，y）在双曲线y=的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP=1，则该反比例函数的解析式为________。 答案：y= 4.随堂训练，巩固新知 （1）已知函数的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．函数的图象只在第一象限 C．当x＜0时，必有y＜0 D．点（－2，－3）不在此函数的图象上 答案：C （2）若点A（x1，-2），B（x2，2）在反比例函数y=-的图象上，则关于x1，x2的结论正确的是（　　） A. x1<0<x2 B. x2<0<x1　　C.x2< x1<0 D.0< x1<x2 答案：B （3）函数y＝的图象与直线y＝－x没有交点，那么k的取值范围是(　　) A．k＞1 B．k＜1 C．k＞－1 D．k＜－1 答案：B （4）如图，直线l和双曲线y＝(k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积是S1，△BOD的面积是S2，△POE的面积是S3，则(　　) A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3 答案：D （5）已知一个反比例函数的图象经过点A（-1，6）、 点B（2，-3），C（3，2），D（，12）是否在这个函数的图象上？为什么？ 5.课堂小结，自我完善 教师与学生回顾本节课所学主要内容。 （1）如何用待定系数法求反比例函数的解析式？ （2）已知反比例函数图象及其图象上两点横坐标的大小，如何比较纵坐标的大小？反之呢？ （3）反比例函数的比例系数k的几何意义是什么？ 6.布置作业 课本P9习题26.1第5，9题。 复习巩固反比例函数的图象和性质，让学生体会反比例函数由k值确定图象所在象限，同样由象限确定k值范围；由k值确定函数的变化规律，同样由函数的变化规律确定k值范围。鼓励学生独立完成，教师点拨。 从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式，通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，体会数形结合的数学思想。 让学生从函数图象中获取信息，体验由“形”到“数”，加深对反比例函数图象和性质的理解，进一步领悟数形结合思想。 通过探索矩形面积和比例系数之间的关系，用类比的方法得到三角形面积与比例系数之间的数量关系，培养学生数形结合的思想。 通过例题的解答，巩固加深对反比例函数图象的性质的应用，实现由知识向能力的转化。 通过随堂练习，巩固所学知识，灵活运用反比例函数的图象和性质，提高解决问题的能力. 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 反比例函数的图象和性质的运用 图象上点的坐标特征 K的几何意义 教后反思 本课时的学习是学生对反比例函数图象和性质的一个再认知的过程，所以教学时应注意引导学生抓住反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象和直观的认识。本节课主要注重提高学生分析问题与解决问题的能力，数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口。在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力。 在教学时，教师要与学生进行互动交流，并积极让学生自主探究反比例函数中k值的几何意义。 学科网（北京）股份有限公司 $