精品解析：山东省济南市章丘区第二中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级数学第一次月考试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. x是不大于5的数，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 15或6 4. 若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A. m+2＞n+2 B. 2m＞2n C. ＞ D. m2＞n2 5. 用反证法证明：“若，则”，应先假设（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（ ） A. ﹣1≤m＜0 B. ﹣1＜m≤0 C. ﹣2≤m＜﹣1 D. ﹣2＜m≤﹣1 8. 如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为E，交于F．是边的垂直平分线，垂足为M，交于N．连接、则的度数是（ ） A. 70 B. 55 C. 40 D. 30 9. 如图，的三边、、的长分别是、、，点是三条角平分线的交点，则：：的值为（ ） A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在中，是角平分线，于点E，的面积为60，，，则______． 12. 若的解集为，则的取值范围是 _________． 13. 如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点P在y轴上，若是以PO为腰的等腰三角形，则满足条件的点P共有______个． 15. 如图，已知，，，若，则__________． 16. 若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是______． 三、解答题（共10小题） 17. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解． 19. 已知：如图，，，求证：．     20. 如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 21. 如图，在中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 23. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 24. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线经过，两点，点在直线上，点的纵坐标为4． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）若直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，请直接写出满足的的取值范围_________； （3）若点为直线上一动点，且与的面积相等，试求点的坐标． 26. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD． （1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD与CE的位置关系与数量关系； （2）如图2，当点D在线段BC上且∠BAD＝60°时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE、CE．求证：DE＝2CD； （3）如图3，当点D在线段BC延长线上时，试探究AD、BD、CD三者之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一次月考试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. x是不大于5的数，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意直接列出不等式即可． 【详解】解：∵x是不大于5的数， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的应用，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键，根据已知列出不等式即可． 2. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由题意得，不等式组的解集为：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 3. 若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 15或6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出，再分两种情况求解即可． 【详解】解：根据题意，， 解得， （1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，，不能组成三角形； （2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，能组成三角形，周长为． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形、构成三角形的条件、非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 4. 若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A. m+2＞n+2 B. 2m＞2n C. ＞ D. m2＞n2 【答案】D 【解析】 【详解】A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确； D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误； 故选：D． 5. 用反证法证明：“若，则”，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明：“若，则”，应先假设． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了反证法，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等． 6. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知不等式的解集为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 7. 若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（ ） A. ﹣1≤m＜0 B. ﹣1＜m≤0 C. ﹣2≤m＜﹣1 D. ﹣2＜m≤﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式2﹣m﹣x＞0得到，由不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：2﹣m﹣x＞0， 移项得，， 系数化1得，， ∵不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个， ∴， 解得， 故选：C 【点睛】此题考查了一元一次不等式的特殊解和一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 8. 如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为E，交于F．是边的垂直平分线，垂足为M，交于N．连接、则的度数是（ ） A. 70 B. 55 C. 40 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得，，再由等边对等角，以及三角形内角和定理求出所求角度数即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 9. 如图，的三边、、的长分别是、、，点是三条角平分线的交点，则：：的值为（ ） A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 【答案】A 【解析】 【分析】如图：过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知再由三角形的面积公式计算，再作比即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， 点是三条角平分线的交点， ， ， ， ， ：：：：：：． 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线、根据角平分线的性质定理得出是解题关键． 10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在中，是角平分线，于点E，的面积为60，，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】过点D作于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：过点D作于F， ∵是角平分线， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解题的关键． 12. 若的解集为，则的取值范围是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：的解集为， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 13. 如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质．根据三角形的外角的性质，得出，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， 又， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点P在y轴上，若是以PO为腰的等腰三角形，则满足条件的点P共有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，进行分类讨论即可：①当时，②当时． 【详解】解：①当时，如图，有两个符合条件的点P； ②当时，如图，有一个符合条件的点P； 综上：满足条件的点P共有3个； 故答案为∶3． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和平面直角坐标系的认识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 15. 如图，已知，，，若，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点D作，垂足为G．利用等腰三角形的“三线合一”先求出，利用含角的直角三角形的边间关系，再求出，最后利用线段的和差关系求出． 【详解】解：过点D作，垂足为G． ∵， ∴． 在中，∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和含角的直角三角形，掌握“等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线及底边的中线，三线重合”、“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”是解决本题的关键． 16. 若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集为，再由不等式组有且仅有一个整数解，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有一个整数解， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 三、解答题（共10小题） 17. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【分析】根据“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化”求解即可，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化，得：， 在数轴上表示如图所示． 18. 解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】；0、1 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，解集为，根据非负整数的定义即可知它的非负整数解为0、1． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∴它的非负整数解为0、1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和其非负整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解答本题的关键． 19. 已知：如图，，，求证：．     【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明； （2）结合（1）中的结论以及题目条件得到是等边三角形然后根据已知条件计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 而 ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰及等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键． 21. 如图，在中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，可得，再证明，结合三角形的外角的性质求解，从而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． 22. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题可利用方程组中的已知关系，结合的条件得到关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：已知关于,的二元一次方程组 将代入不等式得，  移项得  解得  即的取值范围是． 23. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部； （2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部， ， 解得，， 答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部； （2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元， w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000， ∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍， ∴30﹣x≤2x， 解得，x≥10， ∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20， 答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 24. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． （1）当t为何值时，为等边三角形？ （2）当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； ∴当时，为等边三角形； 【小问2详解】 解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线经过，两点，点在直线上，点的纵坐标为4． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）若直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，请直接写出满足的的取值范围_________； （3）若点为直线上一动点，且与的面积相等，试求点的坐标． 【答案】（1），点的坐标为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由直线经过，两点，待定系数法求解析式，点在直线上，且纵坐标为4，将y=4代入的函数表达式即可求解； （2）根据函数图象以及C点的横坐标，直接写出满足的的取值范围； （3）设点坐标为，根据，由，解方程求得的值，代入直线中，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， ∵直线经过，两点， ∴把它们代入中，得， 解之得，，， ∴直线的函数表达式为， 又∵点在直线上，且纵坐标为4， ∴，解之得，， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点的坐标为． 根据图象可知，满足的的取值范围为：． 故答案为： 【小问3详解】 解：设点坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解之得，， ∴或－1． 代入直线中，得或， 解之得，或－8． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据两直线交点求不等式的解集，直线围成的三角形面积，数形结合是解题的关键． 26. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD． （1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD与CE的位置关系与数量关系； （2）如图2，当点D在线段BC上且∠BAD＝60°时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE、CE．求证：DE＝2CD； （3）如图3，当点D在线段BC延长线上时，试探究AD、BD、CD三者之间的数量关系． 【答案】（1）且 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，进一步得出结论； （2）根据（1）得出△BAD≌△CAE，进而∠DCE=90°，∠EDC=∠CAE=60°，进一步得出结果； （3）同理（1）得出CE=BD，∠DCE=90°，CD2+CE2=DE2，可证得AD2+AE2=DE2，进一步得出结论． 【小问1详解】 解：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB==45°， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即：∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， ∴BD⊥CE； 【小问2详解】 证明：如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵，∴．∴． ∵，∴． ∴； 【小问3详解】 ，理由如下： 如图，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE， 根据题意知，， ∴，， ∴． 在和中，． ∴（SAS）． ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，旋转性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $