第13讲 比例线段（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第13讲 比例线段 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 比例的性质、变形与代数求值 题型2 黄金分割与线段的综合计算 题型3 平行线分线段成比例的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 比例的基本性质 比例线段 比例中项 黄金分割与黄金比 平行线分线段成比例 尺规作图（线段等分） 1.掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质及多比相等定理，能熟练运用“设参数法”和“整体代换法”进行代数式的变形与求值，并注意忽略分母为0等隐藏条件。 2.理解比例线段与比例中项的概念，掌握比例中项与乘积式（b²=ac）的互逆关系，能准确区分“求数的比例中项”与“求线段的比例中项”在正负取值上的区别，并能在几何图形中运用比例关系求解线段长度。 3.掌握黄金分割点的定义与黄金比（）的计算方法，能结合一元二次方程求解相关线段长度，理解黄金分割在实际生活（如建筑、字形结构）与几何图形中的应用，体会代数与几何的综合运用。 4.掌握“两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例”的基本事实，能在复杂的几何图形（如三角形、梯形）中准确识别对应端点，列出比例式求解边长，体会比例线段在相似几何证明与计算中的核心基础作用。 5.能依据平行线分线段成比例的基本原理，准确叙述将已知线段等分尺规作图的规范步骤，并能熟练使用“作射线、截取、连结、作平行线”等专业作图术语进行完整表述。 学习重点：熟练掌握比例的基本性质与“设参数法”进行代数求值；理解比例中项的定义及其与乘积式的互逆关系；掌握黄金分割点的判定和黄金比的计算；掌握平行线分线段成比例的基本事实，能准确找出对应线段列比例式；了解利用平行线等分线段的尺规作图原理与规范步骤。 学习难点：准确区分“数”与“线段”在求比例中项时的符号取舍问题；在多比相等运算中，能根据已知条件灵活判断并分类讨论分母之和为零的特殊情况；在复杂几何背景中，严格按照平行线交点的顺序找准对应线段，防止端点对应错误。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 比例线段 1.比例的基本性质 （1）实数成比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。把a,b,c,d四个实数成比例表示成： 其中，b,c称作内项，a,d称作外项。 （2）基本性质： （3）已知，相关拓展： 合比性质： 等比性质： 多个比相等： 2.比例线段 （1）线段的比：两条线段的长度之比叫作这两条线段的比。 （2）成比例的线段（比例线段）：一般地，四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例的线段，简称 。 3.比例中项 如果三个数a,b,c满足比例式（或），那么b就叫作a,c的 。 比例中项与乘积式的互逆关系为： 4.黄金分割（黄金比） 如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，且满足： 那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点。较长一条线段AP与整条线段AB的比叫作 。 即时即练如果线段，，那么和的比例中项是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 (1)求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关。 (2)如果题目求的是三个数的比例中项，结果通常有正负两个值（即）；但如果题目明确求的是线段的比例中项（或比例中项线段），由于线段长度不能为负，结果必须取正值（即）。审题时务必看清是“数”还是“线段”。 (3)黄金分割：较长线段、较短线段的位置不能互换 ①黄金比=较长线段:全线段=​≈0.618。 ②同一黄金分割点下，较短线段:较长线段同样也等于0.618。 ③比例式必须严格遵循定义中的顺序，即。 知识点02 由平行线截得的比例线段 1.基本事实 两条直线被一组（不少于 ） 所截，所得的对应线段成 。 2.尺规作图应用：线段等分 作图步骤： 以线段AB的端点A为端点作一条射线； 在射线上依次截取等长的线段； 连结A5B，并过点A1,A2,A3,A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1,B2,B3,B4。 几何原理：由基本事实得： 因为，所以必然，从而将线段AB五等分。 即时即练如图，，，，，则的长度是_______． 【易错提醒】 (1)对应线段的端点一定要与平行线的交点顺序一致。 (2)尺规作图只能用直尺和圆规，在叙述步骤时，必须使用“作射线”、“在射线上截取”、“连结”、“过某点作平行线”等规范用语，不能使用刻度尺量取长度。 题型1 比例的性质、变形与代数求值 【例1】若，则_______． 【例2】点把线段分成两部分，如果，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）若题目明确求的是“数的比例中项”，结果通常有两个值（正负均有）；若求的是“线段的比例中项”或几何长度，则结果必须取正值。审题时务必看清是“代数求值”还是“几何求长”。 （2）在处理多连比的代数求值时，建议统一用k表示各个分子，再进行整体代换，避免在分式运算中出现分母混乱或符号遗漏的情况。 【变式1-1】已知，且，则的值为___． 【变式1-2】锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． (1)求的值； (2)求证：． 题型2 黄金分割与线段的综合计算 【例3】黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 【例4】中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 【易错提醒】 （1）黄金分割的比例式必须严格遵循“短边/长边=长边/全长”的顺序。不要将较长线段、较短线段的相对位置弄错，特别是题目常给定AP<B或AP>BP的条件，严格按照定义中的已知顺序列式即可。 （2）在五角星、黄金矩形等复杂几何图形中求线段长度时，不要孤立地只写比例式，要充分结合图形中的线段和差关系（如AB=AD+DC+CB、CD=a−b）列等式建立方程，综合运用比例与代数的知识。 【变式2-1】黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是________．（请写准确数） 【变式2-2】若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形． 操作：请你在如图所示的黄金矩形中，以短边为一边作正方形； 探究：在中的四边形是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 题型3 平行线分线段成比例的综合应用 【例5】如图，，，，则的长是（ ） A．4 B．10 C．9 D．15 【例6】如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 【易错提醒】 （1）在复杂的三角形、梯形或多条直线相交的几何图中，两条直线被一组平行线所截时，其“对应线段”的端点必须严格与平行线的交点顺序一一对应。 （2）在用无刻度直尺进行网格作图时，除了利用网格线自带的平行关系外，对于非水平或非垂直的分割比例，可以通过在网格中构造全等直角三角形或者相似三角形的方法，利用平行线分线段成比例的原理锁定目标点。 【变式3-1】如图在的网格中，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在图1中，画出的重心； (2)在图2中，画线段，点在上，使得； 【变式3-2】如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1) ________； (2)求的长． A组 基础过关 1．下列各组数中，成比例的是（ ） A．3，2，7，6 B．3，5，1，10 C．5，2，4，7 D．2，6，1，3 2．第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A． B． C． D． 3．若是成比例线段，其中，则线段b的长为( ) A． B． C． D． 4．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则下列高度最接近水面高度的是（ ） A． B．9 C．7 D．5.7 5．如图，已知，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知：，则_____． 8．在比例尺为的地图上，量得、两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是____________米． 9．已知线段a，b，满足． (1)求的值； (2)当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 10．如图，两条直线相交于点在直线上，且是直线上任意一点，过作，交于点．若，求的长． B组 综合提升 11．如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 12．如图，在中，，，如果，那么（ ） A． B． C． D． 13．在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（ ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 14．下列命题正确的是（） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相等的弦所对的弧相等 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．若点是线段的黄金分割点，则与的比叫做黄金比 15．如图，利用黄金分割法，作将矩形窗框分为上下两部分，其中点为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 16．如图，，若，则的长度是（） A．6 B． C． D． 17．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ） A． B． C．80 D．30 18．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线交于点，交于点，依据以上作图，，则的长为（ ） A． B． C． D． 19．如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如下图，已知是的黄金分割点，点D在上，且． (1)求的值． (2)求证：C是的黄金分割点． C组 挑战突破 21．已知，则直线一定经过（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 22．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比（黄金分割比0.618）著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为103cm，头顶至脖子下端的长度为25cm，则其身高可能是（） A．165cm B．170cm C．175cm D．180cm 23．如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（ ） A． B． C． D． 24．如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 25．如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．如图，在矩形中，，对角线相交于点为的中点，交于点交于点，若，则的长为（ ） A．8 B． C． D．10 27．在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则______． 28．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________． 29．已知，，满足，求的值． 30．已知E、F、G、H各点分别在四边形的、、、边上（如图）． (1)当时，求证： (2)当上述条件中比值为3，4，…，n时（为自然数），那么与之比是多少？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 比例线段 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 比例的性质、变形与代数求值 题型2 黄金分割与线段的综合计算 题型3 平行线分线段成比例的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 比例的基本性质 比例线段 比例中项 黄金分割与黄金比 平行线分线段成比例 尺规作图（线段等分） 1.掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质及多比相等定理，能熟练运用“设参数法”和“整体代换法”进行代数式的变形与求值，并注意忽略分母为0等隐藏条件。 2.理解比例线段与比例中项的概念，掌握比例中项与乘积式（b²=ac）的互逆关系，能准确区分“求数的比例中项”与“求线段的比例中项”在正负取值上的区别，并能在几何图形中运用比例关系求解线段长度。 3.掌握黄金分割点的定义与黄金比（）的计算方法，能结合一元二次方程求解相关线段长度，理解黄金分割在实际生活（如建筑、字形结构）与几何图形中的应用，体会代数与几何的综合运用。 4.掌握“两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例”的基本事实，能在复杂的几何图形（如三角形、梯形）中准确识别对应端点，列出比例式求解边长，体会比例线段在相似几何证明与计算中的核心基础作用。 5.能依据平行线分线段成比例的基本原理，准确叙述将已知线段等分尺规作图的规范步骤，并能熟练使用“作射线、截取、连结、作平行线”等专业作图术语进行完整表述。 学习重点：熟练掌握比例的基本性质与“设参数法”进行代数求值；理解比例中项的定义及其与乘积式的互逆关系；掌握黄金分割点的判定和黄金比的计算；掌握平行线分线段成比例的基本事实，能准确找出对应线段列比例式；了解利用平行线等分线段的尺规作图原理与规范步骤。 学习难点：准确区分“数”与“线段”在求比例中项时的符号取舍问题；在多比相等运算中，能根据已知条件灵活判断并分类讨论分母之和为零的特殊情况；在复杂几何背景中，严格按照平行线交点的顺序找准对应线段，防止端点对应错误。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 比例线段 1.比例的基本性质 （1）实数成比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。把a,b,c,d四个实数成比例表示成： 其中，b,c称作内项，a,d称作外项。 （2）基本性质： （3）已知，相关拓展： 合比性质： 等比性质： 多个比相等： 2.比例线段 （1）线段的比：两条线段的长度之比叫作这两条线段的比。 （2）成比例的线段（比例线段）：一般地，四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例的线段，简称比例线段。 3.比例中项 如果三个数a,b,c满足比例式（或），那么b就叫作a,c的比例中项。 比例中项与乘积式的互逆关系为： 4.黄金分割（黄金比） 如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，且满足： 那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点。较长一条线段AP与整条线段AB的比叫作黄金比。 即时即练如果线段，，那么和的比例中项是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段的相关知识，根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两条线段的乘积，且线段长度为正数，据此计算求解即可． 【详解】解：设和的比例中项是， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， 又∵线段长度为正数， ∴， 故选：D． 【易错提醒】 (1)求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关。 (2)如果题目求的是三个数的比例中项，结果通常有正负两个值（即）；但如果题目明确求的是线段的比例中项（或比例中项线段），由于线段长度不能为负，结果必须取正值（即）。审题时务必看清是“数”还是“线段”。 (3)黄金分割：较长线段、较短线段的位置不能互换 ①黄金比=较长线段:全线段=​≈0.618。 ②同一黄金分割点下，较短线段:较长线段同样也等于0.618。 ③比例式必须严格遵循定义中的顺序，即。 知识点02 由平行线截得的比例线段 1.基本事实 两条直线被一组（不少于3条）平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.尺规作图应用：线段等分 作图步骤： 以线段AB的端点A为端点作一条射线； 在射线上依次截取等长的线段； 连结A5B，并过点A1,A2,A3,A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1,B2,B3,B4。 几何原理：由基本事实得： 因为，所以必然，从而将线段AB五等分。 即时即练如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】15 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长，再根据即可求解.． 【详解】解： ，， ． 【易错提醒】 (1)对应线段的端点一定要与平行线的交点顺序一致。 (2)尺规作图只能用直尺和圆规，在叙述步骤时，必须使用“作射线”、“在射线上截取”、“连结”、“过某点作平行线”等规范用语，不能使用刻度尺量取长度。 题型1 比例的性质、变形与代数求值 【例1】若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 【例2】点把线段分成两部分，如果，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ，且， ， ， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 【易错提醒】 （1）若题目明确求的是“数的比例中项”，结果通常有两个值（正负均有）；若求的是“线段的比例中项”或几何长度，则结果必须取正值。审题时务必看清是“代数求值”还是“几何求长”。 （2）在处理多连比的代数求值时，建议统一用k表示各个分子，再进行整体代换，避免在分式运算中出现分母混乱或符号遗漏的情况。 【变式1-1】已知，且，则的值为___． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值． 【详解】解：由已知得， ∴， ∴当时，得， 当时，则 ∴， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 【变式1-2】锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明：如图，延长交于M，设R为的外接圆半径，交于点O． ∵， 同理有：，， 代入， 得， ∴， ∴． 【分析】（1）根据，进而可以解决问题； （2）延长交于M，由于交于点O．然后由，可以求得结论． 【详解】（1）解：由于交于点O， ∴，，， ∴； （2）见前 题型2 黄金分割与线段的综合计算 【例3】黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 【答案】 【分析】根据题意设线段的长为，用含的代数式表示出，代入已知等式建立关于的一元二次方程，解方程并根据线段长为正数取舍即可． 【详解】解：设， ∵，点在线段上，， ∵， ∴ ，整理得：， 解得：， ∵为线段长，， ∴， 即线段的长为． 【例4】中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点； （2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：∵，， 又∵， ∴， ∴D是的黄金分割点； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错提醒】 （1）黄金分割的比例式必须严格遵循“短边/长边=长边/全长”的顺序。不要将较长线段、较短线段的相对位置弄错，特别是题目常给定AP<B或AP>BP的条件，严格按照定义中的已知顺序列式即可。 （2）在五角星、黄金矩形等复杂几何图形中求线段长度时，不要孤立地只写比例式，要充分结合图形中的线段和差关系（如AB=AD+DC+CB、CD=a−b）列等式建立方程，综合运用比例与代数的知识。 【变式2-1】黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是________．（请写准确数） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割的定义，线段的和差运算，掌握黄金分割的定义是解题关键． 依据黄金分割定义求出上的较长段长度，再算出较短线段、的长度，最后通过的线段和差关系求出的长． 【详解】解： 、两点都是的黄金分割点，，， ， ，同理可得， ． 故答案为：． 【变式2-2】若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形． 操作：请你在如图所示的黄金矩形中，以短边为一边作正方形； 探究：在中的四边形是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1）画图见解析；（2）四边形是黄金矩形，证明见解析． 【分析】（1）只需在矩形的长上截取AE=AD，DF=AD，连接EF即可； （2）可以结合（1）中正方形的性质求得矩形EBCF的宽与长的比进行分析． 【详解】（1）如图： 以A为圆心，在AB上截取AE=AD，以D为圆心，在DC上截取DF=DA，连接EF，所以四边形AEFD为所求作的正方形； （2）四边形是黄金矩形． 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴四边形是矩形． 设，，则有， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 题型3 平行线分线段成比例的综合应用 【例5】如图，，，，则的长是（ ） A．4 B．10 C．9 D．15 【答案】B 【分析】运用平行线分线段成比例定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例6】如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了复杂作图、比例线段等知识点，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 如图：先作出射线，在射线上依次截取线段，连接，作交于C，点C即为所求． 【详解】解：如图所示：点C即为所求． 【易错提醒】 （1）在复杂的三角形、梯形或多条直线相交的几何图中，两条直线被一组平行线所截时，其“对应线段”的端点必须严格与平行线的交点顺序一一对应。 （2）在用无刻度直尺进行网格作图时，除了利用网格线自带的平行关系外，对于非水平或非垂直的分割比例，可以通过在网格中构造全等直角三角形或者相似三角形的方法，利用平行线分线段成比例的原理锁定目标点。 【变式3-1】如图在的网格中，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在图1中，画出的重心； (2)在图2中，画线段，点在上，使得； 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心和平行线分线段成比例的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据矩形的性质得到边的中点，再作出边上的中线，两条中线的交点即为重心G； （2）取格点M，N，连接交于点E，连接即可；根据可得，进而即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，重心点G即为所作： （2）解：如图所示，即为所作： 【变式3-2】如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1) ________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例定理求出，然后根据比的性质求解即可； （2）根据（1）中结论并结合已知求出，然后平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）因为 所以， 又因为， 所以 所以； 故答案为：； （2）解：因为 所以 因为， 所以， 又因为 所以 A组 基础过关 1．下列各组数中，成比例的是（ ） A．3，2，7，6 B．3，5，1，10 C．5，2，4，7 D．2，6，1，3 【答案】D 【分析】根据比例的性质，即最小的数和最大的数相乘与另外两个数相乘的积相等，即可判断． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 2．第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若点是线段的黄金分割点（），则有．列方程即可求解． 【详解】解：设的长为，， 根据黄金分割的定义，得， 化简，整理得， 解得或（不符合题意，舍去） 即的长是． 3．若是成比例线段，其中，则线段b的长为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据成比例线段的定义列出比例式 ，再代入已知线段长度求解； 根据成比例线段的定义得到，代入，，，得到，再利用比例的基本性质求解的值． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则下列高度最接近水面高度的是（ ） A． B．9 C．7 D．5.7 【答案】A 【分析】根据题目中给出的黄金比关系（水面高度与瓶高之比约为），结合已知的长度，通过乘法计算得出的长度即可． 【详解】解：根据题意，可知 ∵， ∴， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 5．如图，已知，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理； 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：根据平行线分线段成比例可得：，即，B，C不正确；A正确； 根据平行线分线段成比例可得：，D不正确； 故选：A． 6．如图，，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 7．已知：，则_____． 【答案】/ 【详解】解：， 设， ． 8．在比例尺为的地图上，量得、两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是____________米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 根据图上距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设、两地的实际距离为厘米， 则：， 解得：， 厘米米． 故答案为：． 9．已知线段a，b，满足． (1)求的值； (2)当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例线段， 对于（1），由，再代入计算即可； 对于（2），先求出b，再根据比例中项求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵线段x是a，b的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 10．如图，两条直线相交于点在直线上，且是直线上任意一点，过作，交于点．若，求的长． 【答案】9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． B组 综合提升 11．如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 12．如图，在中，，，如果，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】解：， ， ， ． 13．在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（ ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 14．下列命题正确的是（） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相等的弦所对的弧相等 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．若点是线段的黄金分割点，则与的比叫做黄金比 【答案】C 【分析】根据矩形判定，圆中弦弧关系，平行线分线段成比例定理，黄金分割定义逐一判断命题正误即可. 【详解】解：、对角线相等的平行四边形才是矩形，任意对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故该选项错误，不符合题意； 、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧才相等，未给出同圆或等圆的条件，故该选项错误，不符合题意； 、该表述是平行线分线段成比例的基本定理，表述正确，故该选项正确，符合题意； 、黄金比是较长线段与整条线段的比，选项未说明是较长线段，表述不严谨，故该选项错误，不符合题意． 15．如图，利用黄金分割法，作将矩形窗框分为上下两部分，其中点为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】由黄金分割得，将代入即可求解． 【详解】解：点为边的黄金分割点，， ， ， ， 即线段的长为米． 16．如图，，若，则的长度是（） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ） A． B． C．80 D．30 【答案】C 【分析】根据，得，继而得到求解即可； 【详解】解：， ， ， ，，， 解得； 18．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线交于点，交于点，依据以上作图，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，由垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得出，，等量代换可得出，即可得出，再由平行线分线段成比例即可得出，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)20． 【分析】（1）过点A作交BC于点M，根据平行线分线段成比例得到，，根据可知； （2）根据得到，由（1）得，根据得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：过点A作交BC于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴． 20．如下图，已知是的黄金分割点，点D在上，且． (1)求的值． (2)求证：C是的黄金分割点． 【答案】(1) 的值为 (2) 见解析 【分析】本题主要考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金分割点的特点即较长线段与整段线段的比值为． （1）由可得：是的黄金分割点，且，进而求得与的值，再由即可求解； （2）由（1）可求出，进而求得，即可证明． 【详解】（1）解： 是的黄金分割点，且 ． 同理可得 ． 故答案为：的值为． （2）证明：由（1）知 是的黄金分割点． C组 挑战突破 21．已知，则直线一定经过（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，一次函数的性质．由比例关系求出的值，再代入直线方程讨论所经象限． 【详解】解：∵， ∴，，， 三式相加得：， ∴， 当时，，； 当时，，． 当时，直线经过第一、二、三象限； 当时，直线经过第二、三、四象限． 综上，直线一定经过第二、三象限． 故选：B． 22．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比（黄金分割比0.618）著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是黄金分割比．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为103cm，头顶至脖子下端的长度为25cm，则其身高可能是（） A．165cm B．170cm C．175cm D．180cm 【答案】B 【分析】以腿长103cm视为从肚脐至足底的高度，求出身高下限；）以头顶到脖子下端长度25cm视为头顶至咽喉长度求出身高上限，由此确定身高的范围即可得到答案. 【详解】（1）以腿长103cm视为从肚脐至足底的高度，求出身高下限：， （2）以头顶到脖子下端长度25cm视为头顶至咽喉长度求出身高上限： ①咽喉至肚脐：cm， ②肚脐至足底： cm， ∴身高上限为：25+40+105=170cm， ∴身高范围为： ， 故选：B. 23．如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 24．如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：∵长为，且点为的黄金分割点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的黄金分割点，四边形是正方形， ∴点为的黄金分割点， ∴， 即的长为． 25．如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点作交于点，根据平行线分线段成比例求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 是的中点， ，则， ， ， ， ． 26．如图，在矩形中，，对角线相交于点为的中点，交于点交于点，若，则的长为（ ） A．8 B． C． D．10 【答案】C 【分析】先由平行线分线段成比例得到、，进而由三角形中位线的判定与性质得到，进而结合等角对等边得出，再求出，最后由矩形性质及勾股定理求解即可得到的长． 【详解】解：点为的中点， ， ， ，即， 是的中位线，则， ， ， ， ，即， 是的中位线，则， 在矩形中，，， 由勾股定理可得． 27．在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则______． 【答案】 【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得 ，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：， 可得， 从而可得结论． 【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点， ， ， ， ， 同理可得： ， ， ，， ， ． 故答案为： 28．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________． 【答案】2cm或cm或cm 【详解】设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得或或，解得a=或a=或a= ，所以另外一条线段的长为2cm或cm或cm. 点睛：本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，解决本题要注意分类讨论. 29．已知，，满足，求的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了比例的性质、一元一次方程等知识点，掌握比例的基本性质是解题的关键． 当，则，进而得到，然后求解；②当时，不防令，则． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ②当时，不防令，则． 综上，k值1或． 30．已知E、F、G、H各点分别在四边形的、、、边上（如图）． (1)当时，求证： (2)当上述条件中比值为3，4，…，n时（为自然数），那么与之比是多少？ 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）可先依据题中条件分别得出各个小三角形的面积与四边形面积的关系，进而四边形减去各个小三角形的和即可得出四边形与四边形的关系； （2）规律性问题，根据（1）中结论可得出规律，其证明方法与（1）相同． 【详解】（1）证明：连接、 ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 同理可得， ， ， ． （2）解：当上述条件中比值为3，4，…，n时， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 同理可得， ， ， ． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $