专题 13.5 三角形中的几何模型（模型梳理+题型精析） 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学三角形中的几何模型这一核心知识点，系统梳理“8”字、“A”字、燕尾、双内角平分线等八个模型，涵盖基本与拓展模型的条件、图示、结论及证明思路，搭建从模型构建到应用的学习支架，后续通过8类题型精析及例题、变式题实现知识迁移。 该资料以模型为核心，通过图示化呈现和多方法证明培养几何直观（数学眼光），题型设计结合不同难度变式题，在推理证明中发展推理意识（数学思维），用模型语言精准描述几何关系培养模型观念（数学语言）。例如燕尾模型通过延长线段构造三角形证明角与边的关系，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过例题变式巩固，查漏补缺。

专题 13.5 三角形中的几何模型（模型梳理+题型精析） 目录 一.模型梳理 1 【模型一】“8”字模型 1 （1）基本模型 1 （2）拓展模型 2 【模型二】“A”字模型 2 【模型三】燕尾模型 2 （1）基本模型 2 （2）模型证明 2 【模型四】双内角平分线模型 3 （1）基本模型 3 （2）模型证明 3 【模型五】内外角平分线模型 3 （1）基本模型 3 （2）模型证明 4 【模型六】双外角平分线模型 4 （1）基本模型 4 （2）模型证明 4 【模型七】三角形高+角平分线模型 4 （1）基本模型 4 （2）拓展模型 5 【模型八】角平分线+平分线模型 5 二.题型精析 5 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 5 【题型 2】应用“A”字模型证明与求值 8 【题型 3】应用燕尾模型证明与求值 9 【题型 4】应用“双内角”平分线模型证明与求值 13 【题型 5】应用“内外角”平分线模型证明与求值 18 【题型 6】应用“双外角”平分线模型证明与求值 21 【题型 7】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 25 【题型 8】应用“角平分线+平行线”证明与求值 29 一.模型梳理 【模型一】“8”字模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 （1） ； （2） 。 （1） 利用三角形内外角关系或对顶角相等 （2） 利用三角形三边关系 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 通过两个8字模型关系即可 利用三个8字模型结论即可 【模型二】“A”字模型 条件 图示 结论 证明思路 （1）利用三角形内角和定理即可； （2）利用三角形内角和与邻补角互补即可。 【模型三】燕尾模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 凹四边形 （2）模型证明 角的关系证明 方法1 方法2 方法3 利用三角形外角性质即可 利用三角形外角性质即可 利用三角形内角和定理即可 边的关系证明 图示 简要证明 证明：延长BD交AC于点E 在三角形ABE中，AB+AE>BE， 在三角形CDE中，DE+CE>CD， 又AC=AE+CE 所以AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD. 【模型四】双内角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 方法1 方法2 方法3 利用两个三角形内角和与角平分线定义即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 【模型五】内外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 证明 【模型六】双外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 简要证明 由“”模型可得： 【模型七】三角形高+角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 平分 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 过点A作BC垂线转化 【模型八】角平分线+平分线模型 条件 图示 结论 证明思路 单角平分 线+平行线 平分 单角平分 线+平行线 二.题型精析 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 【例题1】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，，相交于点，连接，． （1）求证：． （2）若 ，，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由对顶角相等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）得：， ∵ ，，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·北京门头沟·二模）如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角形内角和定理求出的度数，再由对顶角相等可得的度数，然后根据垂直的定义得到，最后根据余角的性质求解即可． 解：在中，， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，与、分别交于点、，则______ 【答案】180 【分析】根据三角形外角的性质可得，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得答案． 解：∵和分别是和的外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 【题型 2】应用“A”字模型证明与求值 【例题2】（2026·贵州黔南·一模）如图，在中，若，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：，， ， 即， 综上所述，只有选项正确，符合题意． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，与的数量关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理得，，即可得到结论． 解：∵，， ∴． 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，与相交于点，点在的延长线上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质求解即可． 解：，， ． ， ． 【题型 3】应用燕尾模型证明与求值 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【分析】（1）运用三角形外角的性质可得，，由此可证明． （2）运用三角形外角的性质来进行推理即可． （3）运用三角形内角和的性质来进行推理即可． （1）证明：延长交于点E，如图， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于点E，如图， ，， ． （3），证明如下： 连接，如图， ，， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的内角和定理进行求解即可． 解：在中，， ， 三角尺的两条直角边，分别经过点，， ， 在中，， ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）解：，理由是： 过点A、D作射线， ∵， ∴， 即； （2）①；② 【分析】（1）作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）①先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； ②先根据（1）的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 解：（1）略； （2）解：∵， 由（1）知：， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 【题型 4】应用“双内角”平分线模型证明与求值 【例题4】（25-26七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题】 （1）如图，在中，平分，平分．若，则_____； 【探究】 （2）如图，在中，平分，平分．试猜想和有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 （3）如图，在中，，三等分，，三等分，若，则_____． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3）． 【分析】（）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据三角形的内角和定理得，再由，三等分，，三等分，得到，，于是，再根据三角形的内角和定理得到的大小． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ； （3）解：如图， 由三角形的内角和定理得， ∵，三等分，，三等分， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图．在中，平分，平分，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则 ；若，则 ； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） ；理由见分析；（3） 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 解：（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 【题型 5】应用“内外角”平分线模型证明与求值 【例题5】（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点E． （1）求的度数． （2）请猜想与之间的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 理由如下： ∵平分平分， ∴， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∴ 【分析】（1）根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得出，然后利用等量代换可求解； （2）根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得出，然后利用等量代换可得出结论． 解：（1）（1）解：∵平分平分， ∴， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由略． 【变式1】（23-24八年级上·全国·期末）如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可． 解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理，可得， 【变式2】（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义和性质可得，然后由求解即可． 解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，中，外角的平分线与的平分线交于点，与的平分线交于点，则与有怎样的数量关系？继续作与的平分线交于点，如此下去可得，…，，那么猜想与有怎样的数量关系？并求出时，的度数． 【答案】，，． 【分析】根据，得，进行角的等量代换，得，同理，得，把代入，即可作答． 解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，…， ； 当时， ． 【题型 6】应用“双外角”平分线模型证明与求值 【例题6】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，平分外角，平分外角，平分，平分，求的度数． 【答案】 【分析】利用三角形的外角的性质与内角和定理先求解，进一步利用角平分线的性质得到，，再利用三角形的内角和定理可得答案. 解：，， ， ， ， 平分外角，平分外角， ，， 平分，平分， ，， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 【答案】 70 55 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据邻补角定义可知，，根据角平分线定义可知，因为，即可得到，根据三角形内角和定理即可求出． 解：（1）在中，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 在中，， ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，和的外角平分线相交于点D．若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形的外角性质及三角形的内角和定理得到；再由角平分线的定义可得，在中，结合三角形的内角和定理及的度数即可求解． 解：如图所示， ，，， ∴， 是的外角平分线、是的外角平分线， ，， ， ， ， ， 解得． 【变式3】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， （1）若，，那么___________． （2）若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 解：（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【题型 7】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 【例题7】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 解：（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用角平分线定义得到，根据三角形的外角，求出，根据高的定义和互余两角的性质求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求出的长． 解：（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵为的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 【题型 8】应用“角平分线+平行线”证明与求值 【例题8】（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图，在中，是角平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】由三角形外角的性质求得的度数，再由平分求得的度数，由平行即可求解． 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵ ∴． 【变式1】（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 【答案】/度 解：先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质得出，即可求解． 【分析】解：由条件可知 ， ， ， 平分， ∴ ， ∵， ∴， ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，，平分外角．求证：． 【答案】证明：在中，，是的一个外角， ∴， ∵平分外角， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据三角形的外角的性质，结合角平分线的定义，推出，即可得证. 解：略 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数． 【答案】 【分析】先通过三角形内角和定理求出，再求出，最后根据两直线平行，内错角相等求出. 解：由三角形内角和为可知， ， 由两直线平行，内错角相等得 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 13.5 三角形中的几何模型（模型梳理+题型精析） 目录 一.模型梳理 1 【模型一】“8”字模型 1 （1）基本模型 1 （2）拓展模型 2 【模型二】“A”字模型 2 【模型三】燕尾模型 2 （1）基本模型 2 （2）模型证明 2 【模型四】双内角平分线模型 3 （1）基本模型 3 （2）模型证明 3 【模型五】内外角平分线模型 3 （1）基本模型 3 （2）模型证明 4 【模型六】双外角平分线模型 4 （1）基本模型 4 （2）模型证明 4 【模型七】三角形高+角平分线模型 4 （1）基本模型 4 （2）拓展模型 5 【模型八】角平分线+平分线模型 5 二.题型精析 5 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 5 【题型 2】应用“A”字模型证明与求值 6 【题型 3】应用燕尾模型证明与求值 7 【题型 4】应用“双内角”平分线模型证明与求值 9 【题型 5】应用“内外角”平分线模型证明与求值 10 【题型 6】应用“双外角”平分线模型证明与求值 11 【题型 7】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 12 【题型 8】应用“角平分线+平行线”证明与求值 13 一.模型梳理 【模型一】“8”字模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 （1） ； （2） 。 （1） 利用三角形内外角关系或对顶角相等 （2） 利用三角形三边关系 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 通过两个8字模型关系即可 利用三个8字模型结论即可 【模型二】“A”字模型 条件 图示 结论 证明思路 （1）利用三角形内角和定理即可； （2）利用三角形内角和与邻补角互补即可。 【模型三】燕尾模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 凹四边形 （2）模型证明 角的关系证明 方法1 方法2 方法3 利用三角形外角性质即可 利用三角形外角性质即可 利用三角形内角和定理即可 边的关系证明 图示 简要证明 证明：延长BD交AC于点E 在三角形ABE中，AB+AE>BE， 在三角形CDE中，DE+CE>CD， 又AC=AE+CE 所以AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD. 【模型四】双内角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 方法1 方法2 方法3 利用两个三角形内角和与角平分线定义即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 【模型五】内外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 证明 【模型六】双外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 简要证明 由“”模型可得： 【模型七】三角形高+角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 平分 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 过点A作BC垂线转化 【模型八】角平分线+平分线模型 条件 图示 结论 证明思路 单角平分 线+平行线 平分 单角平分 线+平行线 二.题型精析 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 【例题1】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，，相交于点，连接，． （1）求证：． （2）若 ，，，求的度数． 【变式1】（2026·北京门头沟·二模）如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，与、分别交于点、，则______ 【变式3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【题型 2】应用“A”字模型证明与求值 【例题2】（2026·贵州黔南·一模）如图，在中，若，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，与的数量关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，与相交于点，点在的延长线上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型 3】应用燕尾模型证明与求值 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【题型 4】应用“双内角”平分线模型证明与求值 【例题4】（25-26七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题】 （1）如图，在中，平分，平分．若，则_____； 【探究】 （2）如图，在中，平分，平分．试猜想和有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 （3）如图，在中，，三等分，，三等分，若，则_____． 【变式1】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图．在中，平分，平分，若，则的度数为________． 【变式3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则 ；若，则 ； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【题型 5】应用“内外角”平分线模型证明与求值 【例题5】（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点E． （1）求的度数． （2）请猜想与之间的数量关系，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·全国·期末）如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 【变式2】（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，中，外角的平分线与的平分线交于点，与的平分线交于点，则与有怎样的数量关系？继续作与的平分线交于点，如此下去可得，…，，那么猜想与有怎样的数量关系？并求出时，的度数． 【题型 6】应用“双外角”平分线模型证明与求值 【例题6】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，平分外角，平分外角，平分，平分，求的度数． 【变式1】（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，和的外角平分线相交于点D．若，则_________． 【变式3】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， （1）若，，那么___________． （2）若，求的度数用含α的式子表示）． 【题型 7】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 【例题7】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【变式3】（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 【题型 8】应用“角平分线+平行线”证明与求值 【例题8】（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图，在中，是角平分线，，求的度数． 【变式1】（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，，平分外角．求证：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $