甘肃省兰州市某中学2025-2026学年高一数学下学期期末提升卷

**基本信息** 以“村超篮球联赛”统计分析、立体几何折叠等真实情境为载体，分层考查复数、三角函数、概率统计等核心知识，注重数学思维与应用能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、斜二测画法、古典概型|第8题以志愿服务分组为背景考查概率，体现数学眼光| |填空题|3题/15分|三角函数求值、事件表示、球与正四面体|第14题结合空间几何求切球表面积，考查空间观念| |解答题|5题/77分|复数综合、解三角形最值、频率分布直方图、立体几何折叠|第17题“村超”得分统计分析，第19题折叠问题分层设计（二面角、线面角最大值），考查推理能力与创新意识|

甘肃省兰州市某中学2025-2026学年高一数学下学期 期末提升试卷 （本试卷共5页19小题，满分150分.考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.已知复数满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2.已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．1 B． C． D．3 4.已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5. 一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 6.现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 7. 已知为第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 8.某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.若复数满足(其中是虚数单位)，则（   ） A． B．的实部是2 C．的虚部是 D．复数的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限 10.已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 11.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，则______． 13. 打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示_______． 14. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 16．如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． (1)求的值； (2)求的最小值． 17.近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 18．已知，其内角的对边分别为，且 ． (1)求； (2)，D是BC的中点，求AD的长． 19.如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点. (1)求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）； (2)现将沿折起，使得平面平面. （i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值； （ii）设直线与平面所成角为，求的最大值. 甘肃省兰州市某中学2025-2026学年高一数学下学期 期末提升试卷答案 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. ACDDD DCD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 【9题答案】ABD【10题答案】BCD【11题答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 13至少击中1发. 14 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 【详解】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 16. 【详解】（1）设，因为，所以， 可知， 当时，解得，即，所以. （2）由得， 在中，，所以， 所以， 可知，当且仅当时，即时取等号， 可得，即，所以的最小值为. 17．【详解】（1）由已知得，解得； （2）由已知可估计平均数为 ； （3）由频率分布直方图可知得分在，内的频率分别为，， 即分别在两区间内的场数之比为， 根据分层抽样可知，抽取的场比赛中得分在内的有场，设为，，得分在内的有场，设为，，， 则从场中随机抽取场的情况有，，，，，，，，，，共有种情况； 其中满足两场都不低于分的情况有，，，共种情况， 则所求概率为. 18. 【详解】（1）由题意和正弦定理得 ， 且 ， 即 ， 得，且，则， 可得且，所以. （2）如图：    因为 由 所以 解得， 在中，由余弦定理得 则又D为BC边上的中点，所以 在中，由余弦定理得，则 在中，由余弦定理得 所以 19. 【详解】（1）若令，则，所以， 当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以， 所以； （2） （i）连接，由已知得，面，故① 又平面平面，平面平面，， 所以平面平面，所以②， 由①、②及与相交，得面， 则二面角的平面角， 由（1）知，， 所以， 当点为线段的中点时，由，则， 故， 即二面角的平面角的余弦值为. （ii）连接，由面，知直线与平面所成角为 则， 令，则 由，且得，. 当且仅当，即时，取到最大值. 第2页/共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $