2025-2026学年高一数学下学期期末考试模拟冲刺卷

**基本信息** 高一数学期末冲刺卷涵盖向量、复数、概率、立体几何等核心内容，解答题如向量投影运算、立体几何二面角证明、概率样本空间分析，体现运算推理与空间观念，适配期末综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|向量运算、复数周期性等|第2题复数周期考查抽象能力| |多选题|3/18|概率事件独立性等|第9题结合数据意识分析事件关系| |填空题|3/15|对数运算、球表面积等|第12题以对数整数事件考查运算能力| |解答题|5/77|立体几何证明、概率样本点等|第18题二面角求解体现空间观念与推理，第19题样本点表示强化数学语言表达|

2025-2026学年高一数学下学期 期末考试模拟冲刺卷 （本试卷共5页19小题，满分150分.考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知复数满足，则，，，…不同的数有（    ） A．6个 B．4个 C．2024个 D．以上答案都不正确 3. 已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 4. 已知 为第二象限角,且 ,则 ( ) A． B． C． D． 5. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 6. 设中，，则（    ） A． B． C． D． 7. 已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 8. 试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为(　　) A．{10，11，…，99} B．{1，2，…，18} C．{0，1，…，18} D．{1，2，…，10} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 10. 在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 11. 如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝1，AC＝，AA1＝3，则下列说法正确的是(　　) A．圆柱的侧面积为6π B．圆柱的侧面积为6π C．圆柱的表面积为8π D．圆柱的表面积为8π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从2，3，8，9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”可表示为________． 13.已知一个球的体积为，则此球的表面积为________． 14. 在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 16. 已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b上的投影向量为－e. (1)求a与b的夹角θ； (2)求(a－2b)·b； (3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？ 17. 已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)． (1)若m＝1，且|Z|＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值； (2)当m为何值时，|Z|最小？并求|Z|的最小值． 18．如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 19.在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”． (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B； (2)试判断事件A与事件B，事件A与事件C，事件B与事件C是不是互斥事件； (3)试用事件Aj表示随机事件A． 2025-2026学年高一数学下学期期末考试模拟冲刺卷 卷答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 【1题答案】A【2题答案】A【3题答案】D【4题答案】C【5题答案】A【6题答案】B 【7题答案】B【8题答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 【9题答案】ACD【10题答案】AC【11题答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】{(2，8)，(3，9)} 【13题答案】π 【14题答案】120° 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 16. (1)由题意知|a|＝2，|b|＝1. 又向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe＝－e， 所以cosθ＝－，所以θ＝. (2)易知a·b＝|a||b|cosθ＝－1， 则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3. (3)因为λa＋b与a－3b互相垂直， 所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， 所以λ＝. 17 (1)由m＝1，得z＝3＋4i，＝3－4i， 则由||＝|x＋(x－1)i|， 得＝， 整理得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3. (2)||＝ ＝＝≥， 当且仅当m＝－1时，||取得最小值，为. 18. 【详解】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 19. 【解析】解：由题意可知试验E的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． (1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)． 因为事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)． 所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}． (2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}． 因为A∩B＝{(1，5)}≠，A∩C＝{(1，4)}≠，B∩C＝，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件． (3)因为事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”， 所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}， 所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6． 第10页/共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $