1.5 垂直平分线和角平分线的性质（知识解读）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“垂直平分线和角平分线的性质”核心知识点，先系统梳理垂直平分线的定义、性质及逆定理、尺规作图，再衔接角平分线的性质、判定、尺规作图，通过12类题型构建从概念理解到长度、角度、面积计算及综合应用的学习支架。 该资料以“知识点+题型”分层设计，例题配变式题强化训练，融入小区建凉亭等生活情境，培养几何直观与推理能力。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过实例巩固知识，提升用数学语言解决实际问题的应用意识。

1.5 垂直平分线和角平分线的性质（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【 题型 1··根据垂直平分线的性质求长度】 2 【题型 2·根据垂直平分线的性质求角度】 4 【题型3·根据垂直平分线的性质求面积】 7 题型 4··判断是垂直平分线】 10 【题型 5··尺规作垂直平分线】 15 【题型 7··利用角平分线的性质求长度】 22 【题型 8·利用角平分线的性质求面积】 25 【题型 9··利用角平分线的性质求角度】 29 【题型 10·角平分线的判定】 33 【题型 11··角平分线的应用】 35 【题型 12·角平分线的判定与性质的综合】 37 知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 4. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 【 题型 1··根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D．30 【答案】C 【分析】根据作图痕迹判断是的垂直平分线，由垂直平分线性质得，从而将△的周长转化为，再结合求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹判断是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∵， ∴的周长为A． 【变式1-1】如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，   是的垂直平分线，， ∴． 【变式1-2】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 【详解】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． 【变式1-3】如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，则可求，然后结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵区域的围栏总长度为10米， ∴， ∴， 即的长度为4米． 【题型 2·根据垂直平分线的性质求角度】 【例2】如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，得到，，再得到，根据题意得到是的角平分线，得到，进一步得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点到的距离相等， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握角平分线的判定；先根据角平分线的判定得到角相等，再根据垂直平分线的性质得到等腰三角形得到角相等，进而得到答案； 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∵ ，， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-2】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式2-3】如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键； 根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可； 【详解】解：， ， ，分别是线段，的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， 故选：B 【题型3·根据垂直平分线的性质求面积】 【例3】如图，在中，是的垂直平分线，若，则图中阴影部分图形的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，轴对称图形的性质，解题的关键是掌握垂线两边的部分对称． 根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半，求出三角形的面积，可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：是的垂直平分线，根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半， ， 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线、垂直平分线的定义，由是的中线，是边的中垂线，则，，，由四边形与四边形的面积分别为和，可得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线， ∴，，， ∵四边形与四边形的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴，即的面积为， 故选：． 【变式3-2】如图，矩形的顶点A的坐标为，D是的中点，E是上的一点，当的周长最小时，的延长线交x轴于，则的面积是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、坐标与图形，由题意可得，，，， ，作点关于轴的对称点，连接交，则，推出的周长，由两点之间线段最短可得，此时的周长最小，由线段垂直平分线的性质可得：，求出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵矩形的顶点A的坐标为，D是的中点， ∴，，，， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接交， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长，由两点之间线段最短可得，此时的周长最小， 由线段垂直平分线的性质可得：， ∴， ∴的面积是， 故选：C． 【变式3-3】如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点若以，，为边的三角形的面积为，则的面积可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的三边关系得到，根据三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：如图所示，连接、，    ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ∵以，，为边的三角形的面积为， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 题型 4··判断是垂直平分线】 【例4】如图，在中，，是的角平分线． (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：如图， 由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式4-1】如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，容易证得，得到，结合，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可证明结论． 【详解】解：∵，， ∴． 在和中， ，， ∴． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分． 【变式4-2】如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【详解】（1）证明：，， 在与中， ， ， （2）证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【变式4-3】如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证出所在直线为的垂直平分线，即可证出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：连接． ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上．    ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴． 【题型 5··尺规作垂直平分线】 【例5】如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线的步骤． 由点E到点B，C的距离相等可得点是线段的垂直平分线与的交点，然后作出线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 【变式5-1】如图，在中，是的角平分线．请利用尺规作图法求作一点，使得点到的三个顶点的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】作的垂直平分线或的垂直平分线，所作垂直平分线与的交点即为点．作法一：分别以为圆心，大于长为半径作圆，两圆交点所在直线与的交点即为点；作法二：分别以为圆心，大于长为半径作圆，两圆交点所在直线与的交点即为点． 【详解】略 【变式5-2】如图，中，． (1)用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到、两边的距离也相等（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)线段的垂直平分线和的平分线交点即为所求作的点； (2) 【分析】（1）作的垂直平分线，在做作的角平分线，两条线的交点即为点； （2）由（1）可知，，，进而得到，再利用三角形内角和定理先求出，再求出的度数即可． 【详解】（1）解：点即为所求作； （2）解：连接，由（1）可知，，， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了复杂作图——垂直平分线和角平分线，垂直平分线和角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，正确作图是解题关键． 【变式5-3】如图，某居民小区在三栋住宅楼，，之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质．作的平分线，的平分线，交于，点即为凉亭的位置． 【详解】解：作的平分线，的平分线，交于，如图： 点即为凉亭的位置； 理由：平分， 到的距离等于到的距离； 同理到的距离等于到的距离； 到的距离等于到的距离，也等于到的距离； 到三条绿道的距离相等． 【题型 6··垂直平分线的判定与性质的综合】 【例6】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 【变式6-1】如图，在中，是的垂直平分线，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，等量代换证明即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ， ， ； （2）解：根据题意，得， ， ∵的周长为， ， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故的周长为． 【变式6-2】如图，在中，请根据要求作图并完成计算． (1)用直尺和圆规作边上的垂直平分线，分别交，于点和点． (2)连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再由三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，垂直平分线即为所作， ； （2）解：如图： ， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长． 【变式6-3】如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换即可证明； （2）将的周长转化为，等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ． ，为的中点， 是的垂直平分线． ． ． （2）解：为的中点， ． 由（1）得，，， ． 知识点2 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 知识点4 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【题型 7··利用角平分线的性质求长度】 【例7】如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】如图，在中，，平分交于D，若， ，则点D到的距离是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先根据已知的和长度，计算出的长度，因为是的角平分线，且即，所以依据角平分线的性质定理，点D到的距离与长度相等． 【详解】，， ． ， ，即点D到的距离就是的长度； 又平分， 点D到的距离等于点D到的距离，也就是． 因此点D到的距离是． 【变式7-2】如图，在中，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，垂足为E，，，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【答案】D 【分析】首先连接，，过点作于点，由的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得，则可得，继而求得答案． 【详解】解：连接，，过点作，交延长线于点，如图， ∵是的平分线，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式7-3】如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J，根据题意可得平分，可得，再通过两种方法表示出和面积，进而即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，平分，过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J， ∴， 由图可得，；， ∴， ∴ 解得． 【题型 8·利用角平分线的性质求面积】 【例8】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点．若的面积为，则的面积是（    ） A．6 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题中尺规作图得到平分，从而由角平分线性质得到，由三角形面积公式代值计算得出即可． 【详解】解：过点作，，如图所示： 由题意可知，平分， ∴， ， ， ， ∴， 则的面积是． 【变式8-1】如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【变式8-2】如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 【变式8-3】如图，是的角平分线，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于点E，于点F．由是的平分线，根据角平分线定理得到，再根据三角形的面积公式表示出与的面积之比，代入数值即可求出面积之比． 【详解】解：过点D作于点E，于点F． ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ． 【题型 9··利用角平分线的性质求角度】 【例9】如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点E作，根据角平分线的性质得出，得到，根据全等三角形的性质从而得到，即可解答． 【详解】解：过点E作，如图 ∴ ∵平分，且E是的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-1】如图，平分，，，于D，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图，作于T．由，推出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于T． ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．证明．．再证明．得出．则可求出答案． 【详解】解：平分，，， ． 在的垂直平分线上， ． 在与中， ， ． ． ． 故选：B． 【变式9-3】如图，四边形中，平分，，并且，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D分别作的三条垂线，利用角平分线的性质可得，然后再证明，推出，再根据四边形内角和求出，从而得到答案． 【详解】解：过点D作于点E，于点F，于点G，    ∵对角线平分， ∴， ∵，， ， ， ， ∵， ， ，， =， 即， ∵， ， ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，三角形全等判定与性质和三角形内角和定理，熟练运用各个知识点进行综合推理是解题的关键． 【题型 10·角平分线的判定】 【例10】如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 【变式10-1】如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 【变式10-2】已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 【变式10-3】如图，是的中线，，垂足分别为F，E，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质及角平分线的判定，解题的关键是证明，由角平分线的判定定理得证．先利用中线和垂直条件，通过证明，得出． 【详解】证明：是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ,且， 点在的平分线上， 即平分． 【题型 11··角平分线的应用】 【例11】如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 【变式11-1】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式11-2】如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴加油站可选择的点共有四处． 故选：D． 【变式11-3】如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（    ） A．在∠B的平分线与DE的交点处 B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处 C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处 D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图， 则水池修建的位置应该为P点． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质． 【题型 12·角平分线的判定与性质的综合】 【例12】如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式12-1】如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式12-2】如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 【变式12-3】【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得，根据角平分线的判定，即可得证． （3）过点作交延长线于，作于，作于，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）． 证明：在和中， ，， ， ， 是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ， ，， 平分， ， 是的中点， ， ， 又，， 是平分线． （3）解：过点作交延长线于，作于，作于，如图， 平分，平分， ，， ， ， ，，， ， ． 【随堂检测】 1．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平分，，， ∴． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为20， ， ， ， 的周长． 3．通过如下尺规作图，能确定点D是边中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图痕迹逐项分析即可． 【详解】解：A．该图作的是线段的垂直平分线，交于点，则是的中点，故符合题意； B．该图作的是的平分线，故不符合题意； C．该图作的是线段的垂直平分线，交于点，则是的中点，故不符合题意； D．该图作的是过点作的垂线，故不符合题意； 4．如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】根据题意可得饮水点到的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 【详解】解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到的三个顶点的距离相等， ∴该饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 5．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（　　）． A．3 B．1.5 C．6 D．5 【答案】A 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， 点到的距离为． 6．如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且，则的周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解． 【详解】解：如图，连接， 是的边的垂直平分线，为垂足， ， 的周长为：． 7．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键；根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：过P作于E ， 平分，，， ， 的面积为， 故选：． 8．如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（    ） A．36 B．30 C．24 D．66 【答案】A 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，角平分线的性质定理等知识点，解题关键是掌握角平分线的性质并能熟练运用它来求解． 先根据角平分线的性质，得出，再根据的面积是30，求得，从而可求得的面积． 【详解】解：∵AD是的角平分线，DE，DF分别是和的高， ∴， ∵的面积是30， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故选：A． 9．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 10．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，过点作于，利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为． 11．如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】的角平分线与线段的垂直平分线的交点，即为点的位置． 【详解】解：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，射线与直线交于点． 12．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 【答案】(1)； (2)13cm． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，得到； （2）由的周长得到，结合，，求出的长即可． 【详解】（1）（1）解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）（2）解：的周长，， ， ， ． 13．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点与顶点重合，点，分别在边，上，连接并延长，交于点．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 ，得到角相等，从而证明平分，核心为全等判定； （2）由角平分线的性质得点到的距离等于，再利用三角形面积分割法，求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，即平分． （2）解：过点作于， 平分，，， ， ， ， 代入已知条件：， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 垂直平分线和角平分线的性质（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【 题型 1··根据垂直平分线的性质求长度】 2 【题型 2·根据垂直平分线的性质求角度】 3 【题型3·根据垂直平分线的性质求面积】 4 题型 4··判断是垂直平分线】 5 【题型 5··尺规作垂直平分线】 6 【题型 7··利用角平分线的性质求长度】 10 【题型 8·利用角平分线的性质求面积】 11 【题型 9··利用角平分线的性质求角度】 12 【题型 10·角平分线的判定】 13 【题型 11··角平分线的应用】 14 【题型 12·角平分线的判定与性质的综合】 16 知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 4. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 【 题型 1··根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D．30 【变式1-1】如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-3】如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【题型 2·根据垂直平分线的性质求角度】 【例2】如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型3·根据垂直平分线的性质求面积】 【例3】如图，在中，是的垂直平分线，若，则图中阴影部分图形的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-1】如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，矩形的顶点A的坐标为，D是的中点，E是上的一点，当的周长最小时，的延长线交x轴于，则的面积是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-3】如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点若以，，为边的三角形的面积为，则的面积可能是（    ）    A． B． C． D． 题型 4··判断是垂直平分线】 【例4】如图，在中，，是的角平分线． (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【变式4-1】如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【变式4-2】如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式4-3】如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【题型 5··尺规作垂直平分线】 【例5】如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-1】如图，在中，是的角平分线．请利用尺规作图法求作一点，使得点到的三个顶点的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-2】如图，中，． (1)用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到、两边的距离也相等（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式5-3】如图，某居民小区在三栋住宅楼，，之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由． 【题型 6··垂直平分线的判定与性质的综合】 【例6】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【变式6-1】如图，在中，是的垂直平分线，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【变式6-2】如图，在中，请根据要求作图并完成计算． (1)用直尺和圆规作边上的垂直平分线，分别交，于点和点． (2)连接，若，，求的周长． 【变式6-3】如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 知识点2 角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 角的平分线的判定 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 知识点4 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【题型 7··利用角平分线的性质求长度】 【例7】如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【变式7-1】如图，在中，，平分交于D，若， ，则点D到的距离是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式7-2】如图，在中，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，垂足为E，，，则（   ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【变式7-3】如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型 8·利用角平分线的性质求面积】 【例8】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点．若的面积为，则的面积是（    ） A．6 B．4 C． D．3 【变式8-1】如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式8-2】如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【变式8-3】如图，是的角平分线，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型 9··利用角平分线的性质求角度】 【例9】如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，平分，，，于D，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，四边形中，平分，，并且，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 【题型 10·角平分线的判定】 【例10】如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【变式10-1】如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【变式10-2】已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式10-3】如图，是的中线，，垂足分别为F，E，，求证：平分． 【题型 11··角平分线的应用】 【例11】如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【变式11-1】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【变式11-3】如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（    ） A．在∠B的平分线与DE的交点处 B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处 C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处 D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处 【题型 12·角平分线的判定与性质的综合】 【例12】如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【变式12-1】如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【变式12-2】如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【变式12-3】【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 【随堂检测】 1．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 3．通过如下尺规作图，能确定点D是边中点的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 5．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（　　）． A．3 B．1.5 C．6 D．5 6．如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且，则的周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．11 D．13 7．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 8．如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（    ） A．36 B．30 C．24 D．66 9．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 10．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为_________． 11．如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 12．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 13．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点与顶点重合，点，分别在边，上，连接并延长，交于点．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积为，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $