1.4 全等三角形的判定（二）（知识解读）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形的判定这一核心知识点，在学生掌握SSS、SAS等基本判定方法基础上，系统梳理已知两边、一边一角、两角时的判定思路，并通过数全等对数、动态问题、线段关系及辅助线构造等9类题型，搭建从基础到综合应用的学习支架。 资料亮点在于以题型为载体，融合动态问题（如点运动导致全等）和尺规作图，培养学生几何直观与空间观念。通过作垂线、截长补短等辅助线构造例题，提升推理能力，例题与变式层层递进，课中助力教师分层教学，课后便于学生自主巩固，弥补知识盲点。

1.4 全等三角形的判定（二）（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1··数全等三角形的对数】 2 【题型 2·全等三角形的动态问题】 5 【题型3··利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 10 【题型 4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 18 题型 5·结合尺规作图的全等问题】 26 【题型 6··构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法)】 31 【题型7··构造全等三角形的常规辅助线(作平行线法)】 38 【题型 8··构造全等三角形的常规辅助线(延长法)】 45 【题型 9·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法)】 56 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型 1··数全等三角形的对数】 【例1】如图，中，，于D，于E，和交于点O，的延长线交于F，则图中全等直角三角形的对数为（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、．做题时要由易到难，不重不漏．，，，，，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ； ， ， ，， ，， 综上，共有6对全等直角三角形， 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理．做题时要从已知条件结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 根据边边边定理证明，继而证明，进而可得. 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，D是的中点， ∴． 在和中，， ∴． 在和中，， ∴． 综上所述：，，，共3对． 故选A． 【变式1-2】如图，，，图中全等三角形的对数是（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；注意：从已知条件开始寻找，从由易到难，逐个验证，做到不重不漏． 先利用证明，，得到，再用证明即可． 【详解】解：，，， ， ． ，，， ∴． 又∵，，， ． ∴图中共有3对全等三角形． 故选：C． 【变式1-3】如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…， （1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是_____________； （2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是_____________． 【答案】 10 【分析】本题考查了全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． （1）根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果； （2）根据（1）中规律得出当有个点时，图中有对全等三角形即可确定答案． 【详解】解：（1）∵D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴， ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第4个图中有对全等三角形． 故答案为：； （2）由（1）知当有个点时，图中有对全等三角形， 故答案为：． 【题型 2·全等三角形的动态问题】 【例2】如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，设运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示） (2)若存在值，可以使与全等．求的值． 【答案】(1)； (2)的值为2.4或2． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． （1）根据题意列出式子即可； （2）分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 【变式2-1】如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是_______． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用全等三角形对应边相等列方程是解题的关键． 设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，则，，，，根据题意分两种情况讨论：①，，②，，然后分别列出方程求解即可． 【详解】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为， 则，，，， 若， 则，， ，， 解得：，； 若， 则，， ，， 解得：，； 综上，的运动速度是或， 故答案为：或． 【变式2-2】如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【变式2-3】如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 【答案】(1)； (2)2或3 【分析】本题考查了路程，时间与速度之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据“路程速度时间”求解即可； （2）分类讨论与两种情况，根据全等三角形的性质求解t的值，即可求解v的值． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动， ∴； 又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为， ∴； （2）解：当时， 即，， 由（1）知，；， 又∵，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴， ∴，解得， 又∵， ∴，解得； 当时， 即，， ∴，解得， ∴，解得； 综上，v的值是2或3． 【题型3··利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 【例3】如图1，点B在线段上，点E在线段上，，垂足为B，， (1)直接写出线段与线段的关系 ； (2)如图2，若于M，于N，求证：； (3)如图3，M、N分别是上的点，当满足什么条件时，线段和线段始终保持相等关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，线段和线段始终保持相等关系，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）延长交于点K，证明，即可解答； （2）证明，可得，即可求证； （3）先证明，再证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时，线段和线段始终保持相等关系，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是掌握 全等判定、直角三角形的角互余关系； （1）先证 ，再利用全等对应边相等推导； （2）同理证明全等，结合线段位置关系得 ； （3）类比前两问，根据全等三角形的性质得到 ． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌． ②由①知，≌， ∴，， ∴． （2）解：同理可得， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴． （3）解： 同理可得≌， ∴，， ∴． 【点睛】解决这类旋转型全等问题的核心是抓住 “” 和 “角互余” 这两个不变条件，无论直线如何旋转，都能通过 证明 ，再根据线段的位置关系推导 与 的和差关系．注意旋转后线段的位置变化，避免和差符号错误． 【变式3-2】综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 【变式3-2】【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【题型 4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 【例4】（1）如图1，在中，，．点在上，点在上，且．则与的数量关系是________，直线与直线的位置关系是________； （2）如图2，在和中，，，．则与的数量关系怎样？直线与直线的位置关系怎样？请说明理由．      【答案】（1），；（2），，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由，，得出，由，得出； （2）证明≌，证出，，由三角形内角和定理得出，进而求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2），，理由如下： 延长交交于点．如图： ∵， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，， ∵， ∴，即． 故答案为：，． 【变式4-1】如图，在和中，．    (1)当点D在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； (2)将图①中的绕点A顺时针旋转，如图②，线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)，，证明见解析 【分析】（1）延长与交于点F，证出，可得，且，即可解答； （2）延长交于点F，交于点H，可以证明，可得，利用三角形的内角和为，即可得到最终结果； 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中准确作出辅助线求证三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图①，延长与交于点F    在和中， ，，， ， ，， ， ， ， ， ； （2）， 理由如下： ， ， 即 ， 在和中， ，，， ， ，． 如图②，延长交于点F，交于点H．    在和中， ，， ， ． 【变式4-2】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．    【答案】（1），，（2）；（3），，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】解：（1）是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接，    由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 【变式4-3】如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）先证明，再证明，证明即可； （2）根据平行线的判定，证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ． （2）解：，理由： 由（1）知：， ． 在和中， ， ， ， ． 题型 5·结合尺规作图的全等问题】 【例5】如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ② ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 【变式5-1】（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的两侧分别交于点，，连接，，，，则和均满足题意． （2）①作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求；②以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的下方交于点，连接，，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， 和为所求． 在和中， 在和中， ． （2）如图①所示，点即为所求； 如图②所示，点即为所求；． 如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点； 如图②，∵，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点E是的中点． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式5-2】（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式5-3】如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 【题型 6··构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法)】 【例6】阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 【变式6-1】已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出、的值，由，可求出、的长，得出点的坐标， （2）过点作轴于，由，可求出、的长，得出点的坐标， （3）延长、交于点，由，得出，结合，可证，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）过点作轴于， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为， （3）延长、交于点， 轴， ， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故轴恰好平分． 【变式6-2】平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立 (2)AF-BF=2CE 【分析】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案． 【详解】（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，                            证明：如图，过B作BH⊥CE于点H， ∵∠BCH+∠ACE=90°， 又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCH， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90° ∴△ACE≌△CBH． ∴CH=AE，BF=HE，CE=BH， ∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC． （2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE 证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G， ∵∠BCG+∠ACE=90°， 又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90° ∴△ACE≌△CBG． ∴CG=AE，BF=GE，CE=BG， ∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型7··构造全等三角形的常规辅助线(作平行线法)】 【例7】学习三角形后，同学们展开了多维度探索：已知为边长为6的等边三角形． 【初步探索】 （1）如图①，若点为边边上一动点，以为边向右侧作等边，连接．当时，______，______度； 【类比探索】 （2）如图②，若点运动到的延长线上，线段、、之间有何数量关系？并证明你的结论． 【深入探索】 （3）如图③，在等边中，，点是边上一点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，探索当取最小值时，求的长． 【答案】（1）2；60 （2）．证明见解析 （3）2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定是解题关键． （1）根据题意，通过证明即可求解； （2）通过证明，结合等边三角形的性质即可求解； （3）由题意可得，，故当最小时，即最小，则当时，有最小值，过点作交于点，易得，进而得到． 【详解】解：（1）根据题意，， ， ， 在和中， ， ， ，， 故答案为：2；60． （2）．证明如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴． （3）∵是等边三角形，， ∴当最小时，也最小， ∴当时，有最小值，如图所示： 过点作交于点， ∴，， ∴是等边三角形，由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式7-1】【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 【答案】【问题提出】2；【问题拓广】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的综合，辅助线是解题关键． 【问题提出】过点P作交于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案； 【问题拓广】过点P作交的延长线于点F，得出，，，证明为等边三角形，得出，再证明，证明，得出，进而可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点P作交于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ； （2）过点P作交的延长线于点F， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 又 ， ， 又，， ， ， ． 【变式7-2】综合与实践 问题情境：已知在等边中，是边上的一个定点．是直线上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：； 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．请求出的长； （3）如图3，当点在的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，证明，得到即可； （2）过点作，交于，同（1）法证明，即可得出结果； （3）过点作，交于，同（1）法，即可得出结论． 【详解】证明：（1）和是等边三角形， ，，， ， ，， ∴， 是等边三角形， ． ． ， ， ∴； （2）如图2，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ， ，． 是等边三角形， ， ， ， ， ． ， ． ． （3）． 如图，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ． ，． 是等边三角形． ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 【题型 8··构造全等三角形的常规辅助线(延长法)】 【例8】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，．理由见解析 (3)，．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理．通过“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一三角形中，结合三角形三边关系、全等三角形性质及角度推导解决问题．灵活运用全等判定（）和性质，以及角度之间的转化（如补角、内错角等）是解题的关键． （1）利用倍长中线构造全等，将转化为，再用三边关系确定范围； （2）由全等三角形对应边、角相等，推导与的数量和位置关系； （3）再次倍长中线构造全等，结合角度关系证明三角形全等，进而确定与的数量和位置关系． 【详解】（1）解：延长到点M，使，连接， D是中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， 又， ，即． 故答案为：． （2），．理由如下： ， ，， ． （3），．证明如下： 如图，延长到点Q，使得，连接． 同理可证， ，． ， ． 在中，， ， ． ， ， ． 在和中 ， ，． 如图，延长交于点P． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上所述，，． 【变式8-1】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为 ．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【答案】（1）；3（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）2 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴ 可得 ， 即：， ∴，的可能取值为3 故答案为：；3（答案不唯一） （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解： 由（2）可得：， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 【变式8-2】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出 证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； （2）证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． 【变式8-3】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【答案】（1）B （2）C （3）证明见解析 （4）31 【分析】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键． （1）由中线可得，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果． （2）将转化为，利用三角形三边关系可知． （3）利用题目中给的延长中线的方法，构造，再利用已知条件证明即可证出． （4）利用题目中给的延长中线的方法，构造可得，再证明可得，计算长度即可． 【详解】（1）解：D为中点， ， ， ， 证明方法为． 故选：B． （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 故选：C． （3）证明：延长至点M，使，连结， 为的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：延长至点，使，连结， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 【题型 9·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法)】 【例9】综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式9-1】如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式9-2】如图，、分别平分、，交于E点． (1)如图1，求的度数．      (2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    (3)试证明（2）中的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，利用三角形内角和定理整体计算即可； （2）根据图形猜想即可； （3）在上截取，连接，证明得到，进一步推出，再证明，可得，进而证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （2）猜想：； （3） 证明：在上截取，连接．    平分， ． 在和中， ，，， ， ． ， ， 又， ． 平分， ． 在和中， ，，， ， ， ．即． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，构建对应全等三角形，使问题得以解决． 【变式9-3】已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 随堂检测 【随堂检测】 1．已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． (1)你选的条件是： ；（填写序号） (2)证明：． 【答案】(1)①③或②③ (2)选①③ 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 选②③ 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，再选两个条件，根据证明，根据全等三角形的对应角相等得，根据同位角相等两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）当时，，为等边三角形，进行求解即可； （3）假设存在点为线段中点的情况．过点作交于点．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）当时，， ∴为等边三角形， ∴．∴，解得：； （3）存在． 过点作交于点，如图2所示； ∴，， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段中点， ∴，在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，解得：， ∴当秒时，点为线段中点，此时， ∴， ∵， ∴． 3．如图，中，，直线经过点，，垂足分别为、． (1)证明：； (2)写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)(或)，理由见解析 【分析】本题考查“一线三垂直”模型下的全等三角形判定与性质，关键是利用同角的余角相等得到角相等，结合已知边相等证明全等，再通过全等的对应边推导线段数量关系． （1）通过垂直关系得到直角，结合直角三角形的余角相等，找到全等的角和边，用判定全等； （2）利用全等三角形的对应边相等，将线段转化为与的和，再代入对应边得到数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：数量关系为．理由如下： ∵， ∴，． ∵， ∴，即． 4．原题再现：如图，和相交于点，，．求证：． 本题可通过“”证明得到或，进而得到，除此结论外，你还能由得到与的关系是 ； 模型迁移：如图，中，，，是的中线，求长的取值范围； 拓展运用：如图，中，是的中线，分别以，为边作和，且，，，求证：． 【答案】原题再现：； 模型迁移：；拓展运用：见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 原题再现：证明，然后通过全等三角形的性质即可求解； 模型迁移：延长至点使，连接，证明，所以，然后通过三角形三边关系得即可； 拓展运用：延长至点使，连接，同理可证，所以，，得，故有，再证明，所以，从而得． 【详解】解：原题再现：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； 模型迁移：如图，延长至点使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 拓展运用：如图，延长至点使，连接， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 5．综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 全等三角形的判定（二）（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1··数全等三角形的对数】 2 【题型 2·全等三角形的动态问题】 3 【题型3··利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 4 【题型 4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 7 题型 5·结合尺规作图的全等问题】 9 【题型 6··构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法)】 11 【题型7··构造全等三角形的常规辅助线(作平行线法)】 13 【题型 8··构造全等三角形的常规辅助线(延长法)】 14 【题型 9·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法)】 17 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型 1··数全等三角形的对数】 【例1】如图，中，，于D，于E，和交于点O，的延长线交于F，则图中全等直角三角形的对数为（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式1-1】如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，，图中全等三角形的对数是（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式1-3】如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…， （1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是_____________； （2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是_____________． 【题型 2·全等三角形的动态问题】 【例2】如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，设运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示） (2)若存在值，可以使与全等．求的值． 【变式2-1】如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是_______． 【变式2-2】如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为______． 【变式2-3】如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示，． (2)当与全等时，求v的值． 【题型3··利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 【例3】如图1，点B在线段上，点E在线段上，，垂足为B，， (1)直接写出线段与线段的关系 ； (2)如图2，若于M，于N，求证：； (3)如图3，M、N分别是上的点，当满足什么条件时，线段和线段始终保持相等关系？请说明理由． 【变式3-1】在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【变式3-2】综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【变式3-2】【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【题型 4·利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 【例4】（1）如图1，在中，，．点在上，点在上，且．则与的数量关系是________，直线与直线的位置关系是________； （2）如图2，在和中，，，．则与的数量关系怎样？直线与直线的位置关系怎样？请说明理由．      【变式4-1】如图，在和中，．    (1)当点D在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； (2)将图①中的绕点A顺时针旋转，如图②，线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【变式4-2】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】 （1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．    【变式4-3】如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 题型 5·结合尺规作图的全等问题】 【例5】如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【变式5-1】（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式5-2】（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【变式5-3】如图，点、在的两边上，且． (1) 请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2) 作图后，该图中有 对全等三角形． 【题型 6··构造全等三角形的常规辅助线(作垂线法)】 【例6】阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式6-1】已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【变式6-2】平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【题型7··构造全等三角形的常规辅助线(作平行线法)】 【例7】学习三角形后，同学们展开了多维度探索：已知为边长为6的等边三角形． 【初步探索】 （1）如图①，若点为边边上一动点，以为边向右侧作等边，连接．当时，______，______度； 【类比探索】 （2）如图②，若点运动到的延长线上，线段、、之间有何数量关系？并证明你的结论． 【深入探索】 （3）如图③，在等边中，，点是边上一点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，探索当取最小值时，求的长． 【变式7-1】【问题提出】 如图1，等边的边长为4，点P在边上，作于点E，Q为边延长线上一点，且，连接交于D，求的长． 小明同学经过思考后认为，过点P作的平行线可以使问题得到解决．请你根据小明同学的思路，求出的长． 【问题拓广】 如图2，等边边长为a，点P在边的延长线上，作的延长线于点E，Q为边上一点，且，连接交于D．求的长． 【变式7-2】综合与实践 问题情境：已知在等边中，是边上的一个定点．是直线上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．猜想证明： （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：； 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．请求出的长； （3）如图3，当点在的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【题型 8··构造全等三角形的常规辅助线(延长法)】 【例8】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 【变式8-1】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为 ．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【变式8-2】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【变式8-3】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【题型 9·构造全等三角形的常规辅助线(截长补短法)】 【例9】综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【变式9-1】如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【变式9-2】如图，、分别平分、，交于E点． (1)如图1，求的度数．      (2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    (3)试证明（2）中的猜想． 【变式9-3】已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 随堂检测 【随堂检测】 1．已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． (1)你选的条件是： ；（填写序号） (2)证明：． 2．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 3．如图，中，，直线经过点，，垂足分别为、． (1)证明：； (2)写出、、之间的数量关系，并说明理由． 4．原题再现：如图，和相交于点，，．求证：． 本题可通过“”证明得到或，进而得到，除此结论外，你还能由得到与的关系是 ； 模型迁移：如图，中，，，是的中线，求长的取值范围； 拓展运用：如图，中，是的中线，分别以，为边作和，且，，，求证：． 5．综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $