1.3 全等三角形的判定（一）（知识解读）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学全等三角形判定核心知识点，系统梳理“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）、“边边边”（SSS）及直角三角形“斜边直角边”（HL）判定方法，结合三角形稳定性，构建从基本事实到推论、从一般到特殊的学习支架。 资料以题型归纳为主线，每个判定方法配套例题与变式题，如“灵活选用方法证明全等”题型培养推理意识，“三角形稳定性”结合太阳能支架等生活实例渗透应用意识，几何直观通过图形辅助理解。课中助力教师分层教学，课后学生可借变式练习与随堂检测查漏补缺，强化知识应用。

1.3 全等三角形的判定（一）（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1·““边角边”(SAS)证明三角形全等】 1 【题型 2·“角边角”(ASA)证明三角形全等】 4 【题型 3·“角角边”(AAS)证明三角形全等】 6 【题型 4·“边边边”(SSS)证明三角形全等)】 9 【题型 5·三角形的稳定性】 11 【题型 6·斜边、直角边定理(HL)证明三角形全等】 13 【题型 7·灵活选用方法证明三角形全等】 15 【题型 8·二次证明三角形全等】 19 知识点1 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型 1·““边角边”(SAS)证明三角形全等】 【例1】如图，已知，点和点在线段上，与交于点，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据，得，结合已知用进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 则， ∵， ∴． 【变式1-1】如图，在中，，点D、E分别在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 由，得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1-2】如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1-3】如图，点是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定（SAS）．先根据线段中点的定义得到，再结合已知的和，利用SAS判定定理证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， ． 知识点2 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型 2·“角边角”(ASA)证明三角形全等】 【例2】如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 【分析】根据角边角的证明方法证明即可． 【详解】略 【变式2-1】如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ． 【分析】由“”即可证明． 【详解】略 【变式2-2】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 先证出，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式2-3】已知：如图，，，点E、F在线段上，且，请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据平行线的性质可得，然后利用证明，即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， ． 知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型 3·“角角边”(AAS)证明三角形全等】 【例3】如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先得出，再得出即可得证． 【详解】证明：略． 【变式3-1】如图，已知于B，于E，，，求证：． 【答案】证明：于B，于E， ． ∵在和中， ， ． 【分析】通过“”证明即可得出结论． 【详解】略 【变式3-2】如图，，，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由题意得，推出即可； 【详解】证明：， ， ． 在和中 ． 【变式3-3】如图，点在边上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据推出，再根据即可证明； 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 知识点4 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型 4·“边边边”(SSS)证明三角形全等)】 【例4】如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 【变式4-1】如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ∴． 【变式4-2】如图，在和中， ，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】根据证明即可．本题考查了全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 【变式4-3】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“”可判定三角形全等． 【详解】证明：如图，∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 知识点5 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【题型 5·三角形的稳定性】 【例5】下列正多边形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据三角形和多边形（边数大于3）的性质可知， 只有三角形具有稳定性． 【变式5-1】如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 【变式5-2】如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 【变式5-3】北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（     ）． A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：斜拉桥的斜拉索、桥塔和桥面构成了三角形结构， 设计斜拉索所运用的几何原理是三角形的稳定性． 知识点6 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型 6·斜边、直角边定理(HL)证明三角形全等】 【例6】如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 【变式6-1】如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【变式6-2】已知：如图，，点为线段上两点且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据可得到，可以得到． 【详解】证明：∵，且， ∴， 即， ∴． 【变式6-3】如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【题型 7·灵活选用方法证明三角形全等】 【例7】如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意选择三个条件，然后证明出，然后根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：题设：①；②；③； 结论：④；⑤． 证明：∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 【变式7-1】如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【变式7-2】如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：有三种组合是成立的：或或． 对于，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵，∴， ∵，， ∴， ∴ 【变式7-3】如图，以下三个关系：①；②；③．请从这三个关系中，选取其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进行证明． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，分条件：已知①②，求证：③；条件：①③，求证：②两种情况，证明，即可得出结论． 【详解】解：已知：①②， 求证：③； 证明：在和中， ， ∴， ∴； 已知：①③， 求证：②； 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【题型 8·二次证明三角形全等】 【例8】如图，已知：在中，点D在边上，点E在线段上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【分析】先证明可得，再证明，进一步求解即可. 【详解】略 【变式8-1】如图，于点E，于点F，，，若，，求的长． 【答案】 【分析】先根据证明，则可得，，再根据证明，得出，进而可得的长． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-2】如图，，连接，交于点，点，在上，且 ． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得， ，结合即可论证结论； （2）通过论证 可得，进而可求. 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ； （2）解： ， 在和中， ， ， ， ， . 【变式8-3】如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中线性质推出，利用平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理证明即可； （2）根据全等三角形性质，以及线段的和差分析求解，即可解题． 熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明： 是边上的中线， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ，， ， ， 解得． 随堂检测 【随堂检测】 一、单选题 1．下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 2．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 3．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，根据对顶角相等可得一组对应角相等，利用即可判定三角形全等． 【详解】解：点是两根细木条的中点， ，． 与是对顶角， ． 在和中， ， ． 4．如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可. 【详解】解：根据已知， 只有两个条件没法证明全等，故D选项不符合题意， 当，，根据可以得到； 当或时，不能得到. 5．伸缩晾衣架的设计原理主要利用了图形的哪种性质（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】根据四边形的不稳定性，可得答案． 【详解】解：伸缩晾衣架的设计原理主要利用了四边形的不稳定性． 6．小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】A 【分析】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：A、带①②去，符合判定，能得到一块完全一样的三角形玻璃； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃． 故选：A． 7．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点O的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，，，证明，得出，结合题意确定，即可推出结果． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∵梓青（右）离地面的高度是， ∴ ∴， ∴米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是． 二、解答题 8．如图，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】略 9．已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 10．如图，在 与 中，，，．试说明：． 【答案】证明： ， ，即， 在和 和 中， ， ， ． 【分析】由得，证明，可得． 【详解】略 11．如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ∴； (2)7 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $1.3全等三角形的判定（一) （知识解读) 【苏科版2024】 题型归纳 【题型1·”“边角边”(SAS)证明三角形全等】 1 【题型2·“角边角”(ASA)证明三角形全等】 …3 【题型3·“角角边”(AAS)证明三角形全等】 .4 【题型4“边边边”(SSS)证明三角形全等)】.5 【题型5·三角形的隐定性】7 【题型6斜边、直角边定理L)证明三角形全等】 8 【题型7·灵活选用方法证明三角形全等】 9 【题型8二次证明三角形全等】11 知识点1基本事实“边角边”(SAS) 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”. AB=DE, 2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， ∠A=∠D, AC=DF, ∴.△ABC2△(SAS. 【题型1·““边角边”(SAS)证明三角形全等】 【例1】如图，已知∠B=∠E,点C和点F在线段BE上，AC与DF交于点O,AB=DE,BF=EC.求 证：△ABC≌△g乙. 1/16 B 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE.求证： △ABE≌△ACD. A 【变式1-2】如图，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE,AE=CF,求证： △ABE≌△CDF. O 【变式1-3】如图，点C是线段AB的中点，AD=BE,∠A=∠B.求证：△ADC≌△BEC. D E 2/16 知识点2基本事实“角边角”(ASA) 1.两边及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”. ∠A=∠D, 2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， AB=DE, ∠B=∠E, ∴.△ABC≌△(ASA). 【题型2“角边角”(ASA)证明三角形全等】 【例2】如图，点E,C都在线段BF上，BE=CF,∠B=∠乙，∠ACB=∠F.求证： △ABC≌△i. 【变式2-1】如图，AD与BC相交于点O,AO=BO,∠A=∠B.求证：△AOC≌△BOD. C D B 【变式2-2】如图，AB=AD,∠B=∠D,∠BAE=∠DAC,求证：△ABC≌△ADE. 3/16 【变式2-3】已知：如图，ABCD,AB=CD,点E、F在线段BC上，且∠A=∠D,请说明 △ABE≌△DCF的理由. 知识点3“角边角”的推论“角角边”(AAS) 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. ∠A=∠D, 2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E, BC=EF, ∴.△ABC≌△(AAS. 【题型3：“角角边”(AAS)证明三角形全等】 【例3】如图，在△ABC和△CDE中，∠ACD=∠ECB,CA=CE,∠B=∠D.求证：AB=DE. D 4/16 【变式3-1】如图，已知AB⊥CF于B,DE⊥CF于E,∠C=∠F,AB=DE,求证：AC=DF. A D B E 【变式3-2】如图，AC=AE,∠B=∠D,∠BAD=∠CAE.求证△ABC≌△ADE. E A B 【变式3-3】如图，点D在AC边上，∠A=∠B,AE=BE,∠1=∠2.求证：△AEC≌△BED. B 2 D 知识点4基本事实“边边边”(SSS) 1.三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“S$S”. AB=DE, 2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，BC=EF, AC=DF, .∴.△ABC≌△(AAS). 5/16 【题型4“边边边”(SSS)证明三角形全等)】 【例4】如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AB=DE,BF=CE,AC=DF.求证： △ABC≌△g乙. 【变式4-1】如图，点E,B,F,C在一条直线上，已知AC=DF,AB=DE,CF=EB.求证： △≌△ABC. B 【变式4-2】如图，在△CBE和△ACD中，BC=CA,BE=CD,CE=AD,求证：△CBE≌△ACD 【变式4-3】如图，点A,B,C,D在同一条直线上，已知BE=AF,DE=CF,CD=AB,求证： 6/16 △ACF≌△BDE. 知识点5三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形 的这个性质叫做三角形的稳定性 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用.例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等， 利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用. 【题型5·三角形的稳定性】 【例5】下列正多边形中，具有稳定性的是() 【变式5-1】如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是() A.三角形具有稳定性 B.垂线段最短 7/16 C.两点之间，线段最短 D.两点确定一条直线 【变式5-2】如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是() A A.垂线段最短 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.三角形的稳定性 【变式5-3】北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处.这座宏伟的 桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（)· A.垂线段最短 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.三角形的稳定性 知识点6斜边、直角边定理(HL) 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“Ⅱ”）， 2.数学语言表达：如图，在Rt△ABC与Rt△ABC中（∠C与∠C为直角）， AB=A B, BC=B C, ∴.Rt△ABC≌Rt△ABC(HL)' 8/16 【题型6：斜边、直角边定理L)证明三角形全等】 【例6】如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E,AB=BC,BE=CD.若CD‖AE,求证： AE=BD. C 【变式6-1】如图，点A,E,F,B在同一条直线上，AE=BF,AC=BD,∠C=∠D=90°.求证： ∠AFC=∠BED. B 【变式6-2】己知：如图，∠A=∠D=90°，AB=CD,点E,F为线段BC上两点且BE=CF.求证： △ABF≌△DCE. A 【变式6-3】如图，点A、C、D、E在同一条直线上，BC⊥AE,FD⊥AE,且AB=EF,AD=CE, 求证：△ABC≌△EFD. 9/16 【题型7：灵活选用方法证明三角形全等】 【例7】如图，点B,E,C,F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个 作为命题的结论，进行证明. 0 ①AB‖DE;②AC‖DF;③AB=DE;④∠A=∠D:⑤BE=CF 题设： 结论： 证明： 【变式7-1】如图，点E、F在直线AC上，现有以下6个条件：①AE=CF;②AD=BC:③∠A=∠C: ④BE=DF;⑤BEDF;⑥AD‖BC, (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的 判定定理来判断△ADF≌△CBE(注意：边 用“S”,角用“A"表示) (2)请用（1)中的判定定理选条件 (填序号) (3)请你用(1)中的判定（2)中的条件写出证明△ADF≌△CBE的证明过程. 10/16 【变式7-2】如图，B,F,C,E在同一直线上，有下列四个条件：①∠ACB=∠DFE,②∠A=∠D, ③BF=EC,④AC=DF.请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个 条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由. &☒☒→& A 【变式7-3】如图，以下三个关系：①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD,请从这三个关系中， 选取其中两个作为己知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进 行证明. A D 已知： 求证： 11/16 【题型8二次证明三角形全等】 【例8】如图，己知：在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上，∠ABE=∠ACE, ∠BED=∠CED.求证：AD⊥BC. 【变式8-1】如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD,∠DBE=∠C,若AB=6,CF=2, 求AC的长. E B 【变式8-2】如图，AD‖BC,连接AB,CD交于点E,点F,G在CD上，且AF‖BG,DF=CG. G B (1)求证：△ADF≌△BCG: (2)若FG=10,求EF的长. 【变式8-3】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E,F为直线AD上的点，连接BE,CF,且 BE‖CF. 12/16 (1)求证：△BDE≌△CDF: (2)若AE=15,AF=8,试求DE的长. 随堂检测 【随堂检测】 一、单选题 1.下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是() 409 6 0 40° 6 6 70 6 709 70° 70°/6 A B.人70° D 2.如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=() A.105° B.135° C.120° D.115° 3.如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径CD的长， 13/16 考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有△ABO≌△DCO,因此量出的A,B两点之间的 距离即为CD的长，其中判定三角形全等的依据是() 图1 图2 A.ASA B.SSS C.SAS D.AAS 4.如图，己知AB=AD,下列所给条件能证明△ABC≌△ADC的是() A.∠B=∠D B.∠BCA=∠DCA C.BC=DC D.AC=AC 5.伸缩晾衣架的设计原理主要利用了图形的哪种性质() A.三角形的稳定性 B.四边形的不稳定性 C.两点之间线段最短 D.两点确定一条直线 6.小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店() ② 3 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 7.如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是70cm,梓青和 米琦在水平位置时离点O的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是30c时，米琦（左）从水平位置 AB垂直上升的高度是() 14/16 A.15cm B.30cm C.40cm D.45cm 二、解答题 8.如图，CD=AB,点A、E、F、C在同一直线上，DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足，CF=AE. 求证：DE=BF, D E 9.已知，如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF, B E 求证：∠A=∠D. 10.如图，在△ABC与△DEC中，CA=CD,∠ACE=∠DCB,BC=EC.试说明：AB=DE. E B 15/16 11.如图，点A在线段CD上，已知BC‖DE,BC=CD,∠BAC=∠E. D E B (1)求证：△ABC≌△ECD (2)若DE=5,BC=12,求AD的长. 16/16