9 数学•创新趋势卷(九)-【练客中考】2026年甘肃省中考数学原创模拟卷配套课件

该初中数学中考复习课件全面覆盖实数、分式、几何图形、函数、统计与概率等中考核心考点，严格对接中考说明要求，通过甘肃中考10套真题卷和原创模拟卷，精准分析各考点权重，系统归纳选择、填空、解答等常考题型，突出“真错题”针对性训练，助力高效备考。 课件亮点在于“真题实战+素养导向”的复习模式，如通过“海豚跳跃轨迹”二次函数应用实例，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），结合几何证明题（正方形中矩形证正方形）示范辅助线添加技巧。教师可利用真错题资源和题型归纳，指导学生掌握解题策略，提升中考得分率，确保复习效果最大化。

数 学 速查册 数学•创新趋势卷(九) 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项. 1.如果向东走5 m记为＋5 m，那么向西走3 m记为( ) A.3 m B.－3 m C.8 m D.－8 m 2.已知，则的值为( ) A. B. C. D. B A 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 3.将量角器和含30°角的三角板按如图所示的方式摆放，下列能得到AB∥CD的依据是( ) A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角相等，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线平行 B 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 4.计算：(1－)•＝( ) A.a－1 B. C. D. D 5.如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB＝40°，∠CAO＝30°，则∠OBC的度数为( ) A.40° B.45° C.50° D.55° C 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 6.如图，已知直线y＝－x＋b经过点(1，2)，那么关于x的方程－x＋b＝2的解是( ) A.x＝2 B.x＝1 C.x＝0 D.x＝－1 B 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 7. ［地方特色•甘肃旅游］《孤独星球》曾公布亚洲十大最佳旅游地，甘肃荣登榜首.甘肃拥有着除海洋外所有的地貌，不仅承载着深厚的历史底蕴，更拥有着令人陶醉的山水风光，从孤寂空旷的大漠戈壁到连绵不绝的黄金沙丘，每一处都散发着独特的魅力，这也是甘肃能够跻身亚洲最佳旅行地前列的原因.下面的统计图反映了2018—2025年甘肃省国庆假期旅游人数的情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的 是( ) A.2025年甘肃省国庆假期旅游人数最高 B.2022年甘肃省国庆假期旅游人数最低 C.2023—2025年甘肃省国庆假期旅游人数持续增加 D.从2023年开始，甘肃省国庆假期旅游人数突破2000万 2018—2025年甘肃省国庆假期旅游人数 D 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 8. ［热点信息•2025九三阅兵］ 2025年9月3日，阅兵于北京天安门广场隆重举行，主要包括空中护旗梯队、装备方队和人员方队等环节，集中展示了中国军队现代化建设的最新成果.如图1，空中护旗梯队率先亮相，26架直升机汇成巨大的“80”字样，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅.图2是其示意图，若“ ”的面积比“ ”的面积大400 m2，则AB的长为( ) A.5 m B.10 m C.20 m D.40 m 图1 图2 C 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 9. ［中华优秀文化•博物志］ 《博物志》是西晋文学家张华编撰的一部综合性博物学著作，被誉为中国古代继《山海经》之后又一部包罗万象的奇书，该书以杂记文体系统记载了多元知识，包括物性药理考辨、礼制建筑形制等学术考据.其中所记载的“削冰令圆，举以向日，以艾于后承其影，则得火.”中的“削冰令圆”是将冰磨成圆形的凸透镜来会聚太阳光取火(如图1).如图2，投影仪就是运用了此原理将图象或视频投射到屏幕或墙面上，已知投影片上的物体AB长20 cm，屏幕上该物体的像CD长120 cm，已知投影片到镜头O的距离为0.3 m，则屏幕到镜头O的距离为( ) A.1.2 m B.1.5 m C.1.8 m D.2.1 m 图1 图2 C 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 10.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，BC＝3，∠BOC＝60°，动点P从点A出发，沿着A→D→O的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点O.设运动时间为x，△POC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( ) A B C D A 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.因式分解：x2＋x－2＝_____________. (x－1)(x＋2) 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 12. ［数学文化•投针试验问题］布丰是18世纪法国著名的博物学家和数学家，他在1777年出版的著作《或然性算术试验》中系统记载了投针试验问题，该问题设定在间距为d的平行线平面上投掷长度为l (l＜d)的针，计算针与任一平行线相交的情况，如表是实验数据： 投掷次数 100 500 1000 5000 10000 相交次数 28 138 273 1354 2698 相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698 据此，可以估计任意投掷一枚针，针与平行线相交的概率为______(精确到0.01). 0.27 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 13. ［新定义试题］如图，是表示3×3的数表，数表每个位置所对应的数都是1或2或3.定义a※b为数表中第a行第b列的数.例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以3※1＝2.若2※1＝(2x＋1)※2，则 x的值为 ______ . 0或1 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 14. 小智准备送礼物给妈妈，他利用边长为5 dm的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个正方体礼品盒的棱长为___dm. 2 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 15.如图1，三交六椀菱花隔扇窗是我国传统古建筑中极具美学价值的窗饰，展现了古人对几何与对称之精妙运用的深刻理解.如图2，在该三交六椀菱花隔扇窗中，最小菱形ABCD的边长为13 cm，较短对角线AC的长为10 cm，作AE⊥BC于点E，则AE的长为 cm. 图1 图2 　 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 16. ［中华优秀文化•幻方］古代中国的 “九宫格”(洛书)是世界上最早的幻方之一，蕴含着 “万物循环、数有规律” 的智慧.如今我们用九宫格原理设计了一个数字转盘，每个小格中的数字都是整数，且任意三个相邻格子中的整数之和都相等.从当前位置起顺时针转动转盘，每次转动一格，转动2026次后指针指向的数字是____. 4 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(6分)计算：÷＋|－2|. 解：原式＝2÷＋2－ ＝2×＋2－ ＝4＋2－ ＝6－. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 18.(6分)解不等式组： 解：， 解不等式①，得x＞－2， 解不等式②，得x≤6， ∴不等式组的解集为－2＜x≤6. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 19.(6分)先化简，再求值：(2a＋3)(a－2)－a(a－2)，其中a＝3. 解：原式＝2a2－4a＋3a－6－a2＋2a ＝a2＋a－6， 当a＝3时，原式＝32＋3－6＝9＋3－6＝6. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 20. ［数学文化•欧几里得数］(8分)欧几里得数的核心构造思想源于公元前300年左右欧几里得所著《几何原本》第9卷命题20，用于证明素数无穷多.后世数学界为纪念该构造，将其命名为欧几里得数，常见于近现代数论文献与百科中.一般地，给定单位长度1，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里得数.例如：如图1所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位1.借助方格图，可以构造出线段AB，CD，EF，分别表示正整数2，3，4，也可以构造出线段MN表示正分数.事实上，所有的正有理数都是欧几里得数. 图1 图2 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 小智由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数，也是欧几里得数.他想利用此发现，在图2中借助网格和尺规，构造Rt△OPQ，使Rt△OPQ的斜边PQ表示欧几里得数2.作法如下： 图1 图2 ①在网格中取OP＝2，PG＝2，且∠OPG＝90°； ②连接OG，则OG＝＝2； ③在网格中取OH＝4，使得∠POH＝90°； ④以点O为圆心，OG长为半径画弧，交OH于点Q，连接PQ； 则线段PQ就是所要求的欧几里得数2. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 请你依据以上步骤，借助网格和尺规在图2中完成作图(保留作图痕迹，不写作法). 解：如解图，线段PQ即为所求. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 21. ［日常生活•海豚钻圈］(10分)【研究背景】海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，被称为海洋中的“微笑天使”.如图1，是兰州海洋公园中，海豚从水面跳出的一个 瞬间. 【数学建模】如图2，以海豚的出水点为原点，以水面为x轴，竖直高度为y轴，建立平面直角坐标系xOy.海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足二次函数关系y＝a(x－h)2＋k(a＜0). 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 【数据收集】海豚跳跃时，水平距离x与竖直高度y的几组数据如表： 水平距离x/m 1 2 4 6 7 竖直高度y/m 1.75 3 4 3 1.75 海豚在这次跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过.已知呼啦圈的圆心与水面的距离为3.75 m.(提示：海豚钻圈这一动作是在海豚上升过程中完成的) 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 【问题解决】(1)求二次函数y＝a(x－h)2＋k的表达式； 解：由表中数据可知(2，3)和(6，3)关于对称轴对称， 则顶点坐标为(4，4)， ∴y＝a(x－4)2＋4， 把(2，3)代入y＝a(x－4)2＋4， 得3＝a(2－4)2＋4， 解得a＝－. ∴y＝－(x－4)2＋4＝－x2＋2x. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 (2)求呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离. 解：∵y＝－(x－4)2＋4， 当y＝3.75时，3.75＝－(x－4)2＋4， ∴解得x＝3或x＝5(不合题意，舍去)， 答：呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为3 m. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 22. ［地方特色•皋兰什川古梨园系统］(10分)2025年10月31日，“甘肃皋兰什川古梨园系统”(图1)由联合国粮农组织正式授予“全球重要农业文化遗产”奖牌，为皋兰再添一张享誉世界的“农业文化金名片”.此次入选，是甘肃在农业文化遗产保护领域获得的重大国际认可，也标志着黄河流域农耕文明的独特价值得到全球瞩目.为此，某校数学实践小组开展测量古树BD高度的实践活动. 如图2，小组利用无人机在距离地面96.6米高的点A处，测得该树底端点B的俯角∠PAB为40°，无人机向树的方向水平飞行21秒到达点C处，此时测得该树顶端点D的俯角∠PCD为60°，已知无人机的飞行速度为3米/秒. 求这棵树的高度约为多少米？(结果精确到1米. 参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77， tan40°≈0.84，≈1.4，≈1.7) 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 解：如图2，过点A作AE⊥地面于点E，过点D作DF⊥AC交AC的延 长线于点F，则四边形AEBF为矩形， ∴BF＝AE＝96.6米，AF＝BE，∠PAB＝∠ABE＝40°. 在Rt△AEB中，tan∠ABE＝， ∴BE≈＝115(米)， ∴CF＝AF－AC＝115－21×3＝52(米)， 在Rt△CFD中，tan∠FCD＝， ∴DF≈52×1.7＝88.4(米)， ∴BD＝BF－DF＝96.6－88.4＝8.2≈8(米)， 答：这棵树的高度约为8米. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤. 23. ［现代科技•人工智能］ (8分)人工智能(简称AI)作为第四次工业革命的核心技术之一，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，将对经济发展、社会治理、国家安全产生重大而深远的影响.某公司计划从A，B两款人工智能产品中选择一个使用.该公司对A， B两款人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力均进行10次测试(单位：分)，将测试的得分进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 信息一：A，B两款人工智能产品的语言交互能力10次测试得分折线统计图与分析能力和学习能力测试平均分： 产品 分析能力 学习能力 A 7.5 8 B 8 9 信息二：A，B两款人工智能产品的语言交互能力测试得分的部分统 计量： 产品 平均数 中位数 众数 A 8 8 b B 7.3 a 6 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中a，b的值：a＝___，b＝___； (2) ____ 款人工智能产品的语言交互能力更强(填“A”或“B”)； 7 7 A (3)如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按2∶5∶3的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪款人工智能产品. 解：A款人工智能产品：＝7.75， B款人工智能产品：＝8.16， ∵8.16＞7.75， ∴该公司应该选择使用B款人工智能产品. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 24.(10分)如图，一次函数y＝x－2的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A(3，m)，B两点. (1)求反比例函数y＝的表达式； 解：∵点A(3，m)在一次函数y＝x－2的图象上， ∴m＝3－2，则m＝1， ∴A(3，1). ∵点A(3，1)在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝3， ∴反比例函数的表达式为y＝. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 (2)已知点P(0，n)，过点P作平行于x轴的直线，交一次函数y＝x－2的图象于点M，交反比例函数y＝的图象于点N，若点M在点N的右侧，求n的取值范围. 解：联立一次函数与反比例函数表达式， 得，解得或， ∴点B的坐标为(－1，－3). 如图，当点M在N右侧时， n的取值范围是n＞1或－3＜n＜0. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 25. (10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CO平分∠ACB交AB于点O，以点O为圆心，BO长为半径作O交AB于点D. (1)求证：AC是O的切线； 证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E， ∵CO平分∠ACB，OB⊥CB，OE⊥CA， ∴OE＝OB， ∴OE是O的半径， ∴AC是O的切线. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 (2)若AC＝15，cos∠ACB＝，求O的半径. 解：∵∠ABC＝90°，AC＝15，cos∠ACB＝， ∴BC＝AC×＝15×＝9， ∴AB＝＝12. 在Rt△COE和Rt△COB中，， ∴Rt△COERt△COB(HL)， ∴CE＝CB＝9，∴AE＝AC－CE＝15－9＝6. 设O的半径为r，则AO＝12－r，OE＝r， 在Rt△AOE中，62＋r2＝(12－r)2， 解得r＝4.5， ∴O的半径为4.5. 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 26.(10分)在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG. (1)如图1，当∠AED＝90°时，点F与点C重合，写出CD与DG的数量关系，并说明理由； 解：CD＝DG.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∠AED＝90°， ∴CE＝DE. ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形， ∴CD＝DG. 图1 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 (2)如图2，当∠AED＞90°时，点F落在BC边上，求证：矩形DEFG是正方形； 图2 证明：如解图1，过点E作 EM⊥BC于点M， EN⊥CD于点N， ∴∠EMF＝∠END＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，CA平分∠BCD， ∴∠MEN＝90°，EM＝EN. 解图1 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 ∵∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∴△EMF△END(ASA)， ∴FE＝ED. ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形. 图1 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 (3)如图3，当∠AED＜90°时，点F落在BC的延长线上，若EF＝4，∠CDE＝30°，求CD的长. 图3 解：如解图2，过点E作EP⊥BC于点P， EQ⊥CD于点Q， ∴∠EPF＝∠EQD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，CA平分∠BCD， ∴∠PEQ＝90°，EP＝EQ. 解图2 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 ∵∠DEQ＋∠QEF＝∠FEP＋∠QEF＝90°， ∴∠DEQ＝∠FEP， ∴△DEQ△FEP(ASA)， ∴DE＝EF＝4， ∵∠CDE＝30°， ∴EQ＝DE＝2. 易得四边形EPCQ为正方形， ∴CQ＝2，DQ＝＝2， ∴CD＝DQ＋CQ＝2＋2. 解图2 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 27.(12分)如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A(－1，0)，B两点， 交y轴于点C(0，1). (1)求抛物线的表达式； 解：把A(－1，0)，C(0，1)代入y＝－x2＋bx＋c， 得，解得， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋1. 图1 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 (2) 点E是线段BC上的点(不与点B，C重合)，过点E作EF∥y轴交抛物线于点F，若点E的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长； 解：∵抛物线y＝－x2＋x＋1交x轴于A(－1，0)，B两点， ∴B(3，0). 设直线BC的表达式为y＝kx＋n(k≠0)， 把B(3，0)，C(0，1)代入， 得，解得， ∴直线BC的表达式为y＝－x＋1. 图1 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 ∵点E是线段BC上的点， ∴E(m，－m＋1). 又∵EF∥y轴，且点F在抛物线上， ∴F(m，－m2＋m＋1)， ∴EF＝(－m2＋m＋1)－(－m＋1) ＝－m2＋m(0＜m＜3). 图1 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 (3)点D是点C关于x轴的对称点，点P为直线BC上方抛物线上一动点. ①如图2，连接BP，CP，BD，若S△BOD＝S△BCP，求点P的坐标； 解图1 解：如解图1，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q， 设P(a，－a2＋a＋1)， ∵直线BC的表达式为y＝－x＋1， ∴Q(a，－a＋1)， 由(2)知PQ＝－a2＋a(0＜a＜3)， ∴S△BCP＝PQ•OB＝×(－a2＋a)×3 ＝－a2＋a＝－(a－)2＋. 图2 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 ∵D是点C关于x轴的对称点， ∴OD＝1， ∴S△BOD＝OB•OD＝×3×1＝， ∴×［－(a－)2＋］＝， 解得a＝， ∴－a2＋a＋1＝－×()2＋×＋1＝， ∴点P的坐标为(，). 解图1 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 ②如图3，抛物线的对称轴上有一动点M，线段BD上有一动点N，且MN⊥BD，在①的条件下，求PM＋MN的最小值. 图3 解：抛物线的对称轴为直线x＝＝1， 如解图2，作点P关于直线x＝1的对称点P′. ∵点P的坐标为(，)， ∴点P′的坐标为(，). 过点P′作直线BD的垂线P′N，垂足为N， 交直线x＝1于点M，此时PM＋MN＝ P′M＋MN，根据垂线段最短知，PM＋MN 的最小值为P′N的长，过点P′作P′G∥y轴，交直线BD于点G. 图2 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 ∵D(0，－1)，设直线BD的表达式为y＝k′x－1(k′≠0)， 把B(3，0)代入，得0＝3k′－1，∴k′＝， ∴直线BD的表达式为y＝x－1， 则点G的坐标为(，－)，∴P′G＝－(－)＝. ∵OB＝3，OD＝1，∴BD＝. ∵P′G∥y轴，∴∠P′GN＝∠ODB， ∴Rt△P′GN∽Rt△BDO， ∴，即，∴P′N＝， ∴PM＋MN的最小值为. 解图2 梳理新线索 研析新考向 凸显新考法 返回首页 卷卷都有真新题 卷卷都能大提升 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $