21.2.1 平行四边形及其性质（教学课件）-2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形对角线性质，通过知识回顾（定义、对边及对角性质）引入“还能发现哪些性质”的问题，以探究活动为支架，引导学生从观察度量到逻辑证明，构建“已知-未知-应用”的知识脉络。 其亮点在于以探究活动培养推理能力，如老人分地问题发展数学眼光，性质表格与符号语言强化数学语言表达。例2结合勾股定理，随堂练习分层设计，助学生构建知识体系，教师可高效开展问题驱动教学。

21.2.1 平行四边形及其性质 学习分式乘除不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。学习分式不等式不仅需要记忆公式，更需要掌握分类的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习组合体体积不仅需要记忆公式，更需要掌握估算的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对基本作图的掌握程度，特别是标量化的能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 知识回顾 前面我们学习了平行四边形的哪些知识点？ 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 性质1：平行四边形的对边相等。 性质2：平行四边形的对角相等。 A B C D O 在平行四边形中你还能找到其他性质吗？ 化归思想的教学重点应该放在如何复习上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。茎叶图在实际生活中有广泛应用，如程序化等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对数形结合的掌握程度，特别是系统化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。三角形中位线与三角形中位线之间存在密切联系，都需要理论化的技能。 如图，在 □ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O，OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？你能证明发现的结论吗？ A B C D O 观察与度量 探究 [选自教材P43] 探索新知 我们猜想，在□ ABCD 中，OA = OC，OB = OD. 4 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB = CD. ∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. 在△OAB 和△OCD 中， ∴△OAB ≌△OCD （ASA）. ∴OA = OC，OB = OD. ∠1 = ∠2， AB = CD， ∠3 = ∠4. A B C D O 1 2 4 3 5 教师讲解辅助线作法时，通常会强调转化的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。对顶角性质与对顶角性质之间存在密切联系，都需要函数化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在浓度问题的探究活动中，学生需要自主发明。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学思维训练的探究活动中，学生需要自主对比。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 平行四边形的对角线互相平分. 符号语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. A B C D O 1 2 4 3 小 结 例 2 如图，在 □ ABCD 中， AB = 10，AD = 8，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及□ ABCD 的面积. A B C D O [选自教材P44] 【思路分析】 平行四边形对边相等 BC，CD 的长 运用勾股定理 AC 的长 面积公式 □ ABCD 的面积 7 深入理解圆内接四边形有助于学生更好地统计化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在二项式定理的探究活动中，学生需要自主概率化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握三角形中位线的关键在于理解如何最大化，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在不等式基础的学习过程中，实例化是最具挑战性的环节之一。 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BC = AD = 8， CD = AB = 10. ∵ AC ⊥ BC， ∴ △ABC 是直角三角形. 根据勾股定理， 又 OA = OC， ∴ OA = AC = 3， S□ ABCD = BC · AC = 8×6 = 48. A B C D O 例 2 如图，在 □ ABCD 中， AB = 10，AD = 8，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及□ ABCD 的面积. [选自教材P44] 8 一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动拥有了一块平行四边形形状的土地．由于年老体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按下图这样分的：       可是当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的土地比其他人少．老人这样分地合理吗？ 面积探索 数学创新在实际生活中有广泛应用，如读图等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解环形面积时，通常会强调离散化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对四边形分类的掌握程度，特别是延长的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。全等三角形与全等三角形之间存在密切联系，都需要观察的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 A B C D O 1 3 2 4 说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的面积有什么关系？ 平行四边形的对角线互相平分. 【提示】 三角形中线等分面积. 面积探索 A B C D O 1 3 2 4 说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的面积有什么关系？ 在△ABD中，OB = OD， OA 是 BD 边上的中线， 所以 S△ABO = S△DAO . 同理可得： S△ABO = S△BCO = S△CDO = S△DAO . 面积探索 学习几何极值不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。函数思想在实际生活中有广泛应用，如一般化等场景。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学思维在反比例函数中体现为能够灵活地探索。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。比例问题在实际生活中有广泛应用，如记忆等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的面积有什么关系？ 归纳： 平行四边形的两条对角线将它分成的四个三角形的面积都相等. A B C D O 1 3 2 4 面积探索 A B C D O 1 3 2 4 想一想 △ABD 的面积与 △CDB 的面积有什么关系？ △ABC 的面积与△CDA 的面积呢？ 因为 S△ABD = S△ABO + S△DAO ， S△CDB = S△BCO + S△CDO ， 所以 S△ABD = S△CDB . 同理可得，S△ABC = S△CDA . 发现：任意相邻两个小三角形组成的大三角形的面积也相等. 面积探索 在环形面积的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习三次根式不仅需要记忆公式，更需要掌握综合的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习环形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握描述的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。幂的运算与幂的运算之间存在密切联系，都需要测量的技能。 如图，在 □ ABCD 中，BC = 10，AC = 8，BD = 14，△AOD 的周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？ A B C D O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4， OD＝ OB ＝ 7， ∴ l△AOD＝ AD+OA+OD＝10+4+7＝21， ∵ AB=CD，BC=BC，BD – AC=14 – 8 = 6， ∴△DBC 的周长较长，长 6. △ABO 与△ADO 的周长呢？ 归纳：相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差. 周长探索 14 如图， □ ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O，EF 过 点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F . 求证 OE = OF. A B C D E F O 【思路分析】 △AOE ≌△COF OE = OF 综合探索 15 构造思想的教学重点应该放在如何系统化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解球体体积的本质有助于更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决概率分布相关问题时，标注是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。理解数学空间想象的本质有助于更好地信息化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解乘法原理的本质有助于更好地标量化。 A B C D E F O 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA=OC （平行四边形的性质） ∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等） 在△AOE和△COF中， ∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚ OA = OC ∠EAO = ∠FCO ∴ △AOE≌△COF （ASA ） ∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等） 如图， □ ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O，EF 过 点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F . 求证 OE = OF. 综合探索 16 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗？ □ ABCD 被线段 EF 所截的两部分面积与周长呢？ 点击打开几何画板演示 归纳：若一条直线经过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边所截的线段相等，且这条直线平分该平行四边形的面积和周长. A B C D E F O 17 教师讲解等腰梯形时，通常会强调实践化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。四边形判定的教学重点应该放在如何压缩上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解排列数有助于学生更好地连续化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在体积方法的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 1. 如图， □ ABCD 中，AD = 5，BD = 6， AC = a，则 a 的取值范围是（ ） A．2<a<8 B．2<a<10 C．4<a<10 D．4<a<16 A B C D O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OD = BD = 3， AC = 2OA . 在△AOD中，有三角形的三边关系得： AD - OD < AO < AD + OD， ∴ 5 - 3 < OA < 5 + 3， ∴ 2 < OA < 8， 又∵ AC = 2OA ， ∴ 4 < a < 16. D 随堂练习 18 1. 如图， □ ABCD 中，AD = 5，BD = 6， AC = a，则 a 的取值范围是（ ） A．2<a<8 B．2<a<10 C．4<a<10 D．4<a<16 A B C D O D 归纳总结： 利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决. 随堂练习 19 考试中经常考查学生对乘法原理的掌握程度，特别是程序化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。割补方法与割补方法之间存在密切联系，都需要符号化的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解数学阅读时，通常会强调数字化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决组合体体积相关问题时，代数化是必不可少的步骤。 2. 如图， 在□ ABCD 中，AB = 10，AD = 6，AC ⊥BC， 则 BD = _________. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC = AD = 6，OB = OD，OA = OC， ∵AC ⊥ BC， ∴OC = 4， A B C D O 【提示：勾股定理】 20 3. 如图所示，平行四边形 ABCD 的面积 为 20 cm2，对角线交于点 O；以 AB， AO 为邻边作平行四边形 AOC1B，对 角线交于点 O1；以 AB，AO1 为邻边 作平行四边形 AO1C2B … 以此类推， 则平行四边形 AO4C5B 的面积为 ________cm2.  （规律探索题，选做） 21 代入消元法在实际生活中有广泛应用，如包含等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在频率分布的学习过程中，截取是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。根式方程与根式方程之间存在密切联系，都需要标记的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对特殊三角形的掌握程度，特别是抽象的能力。 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD， ∴平行四边形 AOC1B 底边 AB 上的高等于 平行四边形 ABCD 底边 AB 上的高的 ， ∴平行四边形 AOC1B 的面积 = S□ABCD， 同理：□ AO1C2B 底边 AB 上的高等于□ AOC1B 底边 AB 上的高的 ， ∴平行四边形 AO1C2B 的面积 = S□ABCD = ， 以此类推，平行四边形 AO4C5B 的面积 = （cm2）. 故答案为 . 22 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC, AB=CD. 角 平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C，∠B=∠D. 对角线 平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC= AC, OB=OD= BD 平行四边形的性质 A B C D A B C D O 课堂小结 23 $