6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦定理、正弦定理应用举例，课堂导入先复习定理及三角形面积公式，再衔接测量距离、高度等实际问题，构建从理论到实践的学习支架。 其亮点是以不可到达两点距离测量、建筑物高度测量等实例为载体，引导学生用数学眼光抽象模型，通过取基线、测数据、用定理计算的方案设计培养数学思维，用示意图和公式表达体现数学语言，小结提炼步骤助学生形成解决实际问题的思路，教师可利用结构化内容提升教学效率，学生增强应用能力。

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 3.余弦定理、正弦定理应用举例 1.正弦定理、余弦定理分别是什么？ 正弦定理 复习引入 余弦定理 （其中R为△ABC外接圆半径） 2.我们学了哪些三角形的面积公式？ 3.在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺测量角和距离的工具进行测量. 光学经纬仪 水准仪 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件. 事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案. 教材导学 阅读教材： 1.仰角、俯角、基线的含义是什么？ 2.例9如何测量不可测两点的距离？ 3.例10如何测量高度？ 4. 例11如何测量水平距离？ 5. 制定测量方案的步骤是什么？ 1.仰角、俯角、基线的含义是什么？ 【仰角】：目标视线在水平线上方与水平线的夹角 【俯角】：目标视线在水平线下方与水平线的夹角 铅 垂 线 视线 视线 水平线 仰角 俯角 【基线】在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定 的线段叫做基线. 基线 仰角和俯角 2.例9如何测量不可测两点的距离？ A B C D α β γ δ a 第三步：在△ADC和△BDC中，对照例1应用正弦定理得出AC,BC的长 第一步：测量者可以在河岸边选定两点C，D，CD作为基线 第二步：测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ， 思考：能用问题1的方法，来解决这个问题吗？ 例9 如图示，A, B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B的距离. 7 解：如图, 在A, B两点的对岸选定两点C, D，测得 a 于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离 思考 在上述测量方案下,还有其他计算A,B两点间距离的方法吗？ 先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。 例9 如图示，A, B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B的距离. 8 3.例10如何测量高度？ 例10 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物AB的高度． α β AC= asinβ sin(α-β) AB=AE+h=ACsinα+h= +h a sinβsinα sin(α-β) 解：如图，选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a ，测角仪器的高是h.那么，在∆ACD中， 由正弦定理，得 【分析】如图，求AB长的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长. 思考：解决本本题的关键是什么？ 9 4. 例11如何测量水平距离？ 例11 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile 的C处的船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度(精确到1°)？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 7 n mile 30° 20 n mile A C 北 B 分析：首先应根据“正东方向”、“南偏西30°”、“目标方向线”等信息，画出示意图. 解: 根据题意, 画出示意图如图示, 由余弦定理, 得 由正弦定理, 得 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+ 30°=76°，大约需要航行24 n mile. 10 5. 制定测量方案的步骤是什么？ （1）取基线 （2）测基本数据 （3）由正弦定理、余弦定理求中间值 （4）解三角形求目标值 11 拓展探究 1.在例9的测量方案下，还有其他计算A、B两点距离的方法吗？ 2.如何测量建筑物的高度呢? 3.在例10的实际操作中，使H,G,B三点共线不是一件容易的事，你有什么替代方案吗？ 1.在例9的测量方案下，还有其他计算A、B两点距离的方法吗？ 可以把AD、BD求出来，再在△ABD中用余弦定理求出AB即可. 2.如何测量建筑物的高度呢? 如图，设计一种测量方法，测量塔的高度. 解：如图，在△ABC中，测得 14 3.在例10的实际操作中，使H,G,B三点共线不是一件容易的事，你有什么替代方案吗？ 替代方案作图如右， AB=AE + EB =CE+EB. 15 巩固应用 1. 如图, 一艘船向正北航行, 航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上. 30 min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗? 北 A 20° S B 65° 解：在△ABS中, AB=32.2×0.5 =16.1 (n mile), ∠ABS=115°. ∴S到直线AB的距离为 ∴这艘船可以继续沿正北方向航行 . 2. 如图示，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ. 求证: ∴此船应该沿北偏东56°的方向航行，需要航行约为113.15海里. 3. 如图示，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67. 5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54 n mile后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少? 北 A 75° C B 32° 18 4.如图，隔河能看见目标A,B但不能到达,在岸边选取相 距 的C,D两点，并测得 ， ,(A,B,C,D在同一平面内）， 求目标A,B 之间的距离. 19 小结 1. 测量时要明确物理量的定义与名称，并将其转化为图示角度或长度 2. 测量时要抽象出数学模型，选取合适方法 3. 选取合适基线 4. 测量方案基本原则：测量数据要可以求目标值 5. 基本思路： （1）画出直观图 （2）被测数据转化为三角形边角值 （3）用正、余弦定理进行计算 （4）回归实际问题 作业 《课时作业》 3.余弦定理、正弦定理应用举例 $