6.4.3.3正余弦定理的应用课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版必修第二册 6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 日期：2026年x月x日 授课人：xxx 第六章 平面向量及其应用 1 1 复习 请回忆并阐述余弦定理和正弦定理. 2 2 一、典例分析 3 例1 如图，两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间距离的方法，并求出间的距离. 测量基点 余弦定理 正弦定理 测量基点 基线 一般来说，基线越长，测量的精确度越高哦！ 3 一、典例分析 4 解 如图，在两点的对岸选定两点，测得， 并且在两点分别测得， 在 中，由正弦定理，得 ， ， 于是，在中，由余弦定理可得两点间的距离 例1 如图，两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间距离的方法，并求出间的距离. 测量基点 测量基点 基线 4 一、典例分析 5 解 例1 如图，两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间距离的方法，并求出间的距离. 在上述测量方案下，还有其他计算两点间距离的方法吗？ 测量基点 测量基点 基线 5 一、典例分析 6 例2 如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物的方法，并求出的高度. 测量基点 测量基点 基线 一般地，当视线在水平线上方时，视线与水平线所夹的锐角或直角称为仰角. 一般地，当视线在水平线下方时，视线与水平线所夹的锐角或直角称为俯角. 6 一、典例分析 7 解 如图，选择一条水平基线，使三点在同一条直线上. 在两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是. 那么，在中，由正弦定理，得 ， ∴这座建筑物的高度为 例2 如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物的方法，并求出的高度. 测量基点 测量基点 基线 7 一、典例分析 8 例2 如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物的方法，并求出的高度. 在实际操作时，使三点共线不是一件容易的事情，你有什么替代方案吗？ 不必强制三点共线，可以选任意两个可到达的测量基点. 测量基点 测量基点 基线 8 一、典例分析 9 解 根据题意，画出示意图. 由余弦定理得 2··cos120°2 于是 mile) 由正弦定理，得于是 由，∴ 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°°，大约需要航行24 n mile. 例3 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile 的处有一搜渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile 的处的乙船. 那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）? 需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）? 9 二、练习巩固 10 解 ∵ 4点都在水平面上， ∴ 15°=60°， 因此， ∴在Rt中， 在中，∵ ， ∴由正弦定理得， 因此. 在中， 从而有 . 练习1 如图，是某沼泽地上不便到达的两点， 是可到达的两点. 已知 4点都在水平面上，而且已经测得， ，，， ，. 求的长. 10 二、练习巩固 11 解 如图，在中，， ， 由正弦定理，得 . 从而 因此，烟囱的高约为29.89 m . 练习2 如图， 相距12 m，与烟囱底部在同一水平直线上，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱在点的仰角分别是和. 计算烟囱的高（精确到0.01m）. 11 二、练习巩固 12 解 如图，设台风的中心 h后到达位置，且此时100 km. 在中，有，且 300 km， 20 km， 因此， ，∴60°或120°. 当60°时， 因此20 ， 10 ; 当0°时， 因此20 ， 5 ; 这说明，城市在5 h后会受到影响，持续的时间为10). 练习3 如图，在某海滨城市附近的海面出现台风活动. 据监测，目前台风中心位于城市的东偏南60°方向、距城市 300km的海面点处，并以20 km/h的速度向西偏北 30° 方向移动. 如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市是否会受到上述台风的影响. 如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由, 12 总结 余弦定理和正弦定理的应用，主要指解三角形在实际问题中的应用. 通过对实际问题的分析，建立相应的数学模型，把实际问题数学化，即把实际问题转化为数学问题，以此培养学生的数学建模素养，提高学生分析和解决实际问题的能力. 13 本小节涉及的三个实际问题，可以概括为： （1）不能到达的同一水平面上两点的距离问题； （2）不能到达底部的高度问题； （3）在运动变化过程中蕴含的解三角形的问题. 13 课后作业 14 01 复习巩固 课本习题 02 综合应用 资料这一节 03 拓广探索 数学探究活动： 得到不可达两点之间的距离. 14 谢谢大家！ 15 $