6.4.3　第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦定理、正弦定理解决距离问题，通过“不能到达的距离”设问导入，课前自主学习铺垫仰角等核心概念，课堂合作探究分可到达与不可到达、两点均不可到达、综合问题三个层次，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以智能扫地机器人、轮船航行等实际情境为载体，通过典例分析和定向训练培养数学建模能力，思维导图梳理知识结构，类题通法总结解题逻辑，助力学生用数学思维分析问题、用数学语言表达过程，既提升学生应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题 素养目标 思维导图 能够运用余弦定理、正弦定理等知识和法解决测量中的距离问题.(数学建模) ‹#› 课前自主学习 问题.在实践中,我们经常会遇到测量距离等实际问题.具体测量时,如何处理“不能到达”的距离问题? 提示:需要设计恰当的测量案.分析题已知条件,这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量案,而且是这种情境与条件限制下的恰当案. ‹#› 【核心概念】 实际测量问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上的角叫______,在水平线下的角叫 ______(如图(1)). (2)位角 指从正北向____时针转到目标向线的 水平角,如B点的位角为α(如图(2)). 仰角 俯角 顺 ‹#› (3)向角 相对于某正向的水平角,如北偏东45°,南偏西30°(或西偏南60°)等(如图(3)). (4)坡角与坡度 坡面与________所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与__________之比叫坡度 (tan α=)(如图(4)). 水平面 水平宽度 ‹#› 课堂合作探究 探究点一　测量一个可到达点与不可到达的点之间的距离 【典例1】如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西向的B处和北偏东30°向上的C处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m,于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s,忽机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10 s完成了清扫任务. (1)求B,C两处垃圾之间的距离;(精确到0.1 m) (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【思维导引】(1)设BC=x,则得到AB,AC,由余弦定理求得x,得到答案; (2)由余弦定理求出夹角B的余弦值. ‹#› 【解析】(1)由题意得AB+BC=0.2×10=2, 设BC=x,0<x<2,则AB=2-x,AC=2-x+0.4=2.4-x, 由题意得A=90°+30°=120°. 在△ABC中,由余弦定理得cos A===-, 解得x=1.4或5.2(舍去),所以BC=1.4(m). (2)由(1)知AB=2-1.4=0.6(m),AC=2.4-1.4=1(m),BC=1.4 m. 所以cos B===. ‹#› 【类题通法】 求距离问题时应注意的两点 (1)定三角形:选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)依条件选定理:确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. ‹#› 【定向训练】 一艘轮船在江中向正东向航行,在点P处观测到灯塔A,B在一条直线上,并与航线成30°角.轮船沿航线前进1 000米到达C处,此时观测到灯塔A在北偏西45°向,灯塔B在北偏东15°向.则此时轮船到灯塔B的距离CB为　　　　米. ‹#› 【思维导引】在△PCB中,利用条件得到∠BPC=30°,∠PBC=45°,PC=1 000米,再利用正弦定理建立,即可求出结果. 【解析】在△PCB中,∠BPC=30°,∠PBC=180°-30°-105°=45°,PC=1 000米, 由正弦定理得=,即=,所以CB=500米. 答案:500 ‹#› 探究点二　测量都不可到达的两个点之间的距离 【典例2】(规范解答) (15分)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C.测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°, ∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1. (1)求△CDE的面积; (2)求A,B之间的距离. ‹#› 【思维导引】(1)可求得∠DCE=150°,再利用面积公式即可求出; (2)先在Rt△ACD中求出|AC|,再在△BCE中利用正弦定理求出|BC|,再在△ABC中利用余弦定理即可求出|AB|. 【解析】(1)∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,………………………………3分 所以S△CDE=×|CD|×|CE|×sin150°=×1×1×=; ………………………………6分 (2)连接AB(图),由题可得在Rt△ACD中,|AC|=|DC|·tan∠ADC=1×tan60°=, ……………………………………………………………………………………8分 在△BCE中,∠CBE=180°-105°-45°=30°, 由正弦定理可得=, ‹#› 即=,解得|BC|=, ………………………………10分 因为cos15°=cos(60°-45°) =cos60°cos45°+sin60°sin45°=, ………………………………12分 则在△ABC中,由余弦定理可得|AB|2=()2+()2-2=2-, …14分 所以|AB|=. ……………………………………………………15分 ‹#› 【类题通法】 解三角形的注意事项 (1)确定已知和所求:根据三角形已知的边长和角,明确要求的边长或角,灵活运用正弦定理或余弦定理计算. (2)注意特殊情形:优先运用直角三角形中的边长和角,记住特殊角的三角函数值,能计算sin 75°=,sin 15°=等. ‹#› 【定向训练】 马尔代夫群岛是世界上风景最优美的群岛之一.如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C的北偏西45°的向上,B在C的北偏东15°的向上,现在船往东航行2百海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的向上,船再到C处后,由C向西航行2百海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的向上,则A,B两座岛之间的距离为　　　　百海里. ‹#› 【思维导引】根据题意,利用位角分别求得三角形中各个角的大小,在△BCE和△ADC中,应用正弦定理求得BC,AC的长,再在△ABC中,利用余弦定理,即可求解. 【解析】如图所示,设CF为正北向, 由题意得∠ACF=45°,CD=2百海里,∠ADC=∠DAC=67.5°, ∠ACB=60°,CE=2百海里,∠BCE=75°,∠CBE=45°,∠CEB=60°.在△BCE中,由正弦定理得=,可得BC==.在△ADC中,因为∠ADC=∠DAC=67.5°,所以DC=AC=2百海里. 在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°=24+6-2×2=18, 所以AB=3百海里,即A,B两座岛之间的距离为3百海里. 答案:3 ‹#› 探究点三　有关距离的综合问题 【典例3】(1)如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其北偏东60°向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°且与甲船相距 n mile的B处的乙船,已知遇险渔船在乙船的正东向,那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为(　　) A. n mile B.2 n mile C.2 n mile D.3 n mile 【思维导引】由正弦定理即可求出BC的值. √ ‹#› 【解析】选B.由题意知,AB= n mile,∠BAC=45°,∠BCA=30°, 由正弦定理得,=, 所以BC=sin∠BAC=sin 45°=2 n mile. 故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile. ‹#› (2)在一段直的河岸同侧有A,B两个村庄,相距5 km,A,B两村距河岸的距离分别为 3 km,6 km,现要在河边修一抽水站,需8.25万元(含设备购置费和人工费),管道铺设费为24.5元/米.现由政府拨款30万元.请你设计一个案并说明A,B两村是否还需自筹资金.(参考数据:≈8.06,≈9.85,≈3.28) 【思维导引】这类涉及选点问题通常会考虑建立坐标系,写出各点的坐标及点A关于x轴的对称点A',即可求得最小值及所需费用,再结合实际即可计算出是否需要自筹资金. ‹#› 【解析】案的设计如下:如图,建立平面直角坐标系,A(0,3). 由AB=5 km,BF=6 km,得B点坐标为(4,6). 点A关于x轴的对称点A'(0,-3),连接A'B交x轴于C. 由平面几何知识可知,当抽水站建在点C处时,铺设的管道最短. 因为AC+BC=A'B,所以A'B==≈9.85(km), 所以铺设管道所需资金约为≈24.14(万元), 所以总费用为8.25+24.14=32.39(万元). 32.39-30=2.39(万元),即A,B两村需自筹资金约2.39万元. ‹#› 【类题通法】 距离相关问题的解题技巧 (1)数形结合:在航行等距离相关的问题中,通常是把位角(向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角. (2)转化:几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性面画出图形;二是把多边形向解三角形转化. ‹#› 【定向训练】 某农户有一块三角形空地ABC,如图所示.该农户想要围出一块三角形区域ABD(点D在BC上)用来养一些家禽,经专业测量得到AB=3,cos B=. (1)若cos∠ADC=-,求AD的长; (2)若BD=2DC,=4,求△ADC的周长. 【思维导引】(1)在△ABD中应用正弦定理得出AD的长; (2)由=2结合面积公式得出AC,再由余弦定理得出BC,AD,进而得出△ADC的周长. ‹#› 【解析】(1)在△ABC中,cos B=,且B∈(0,π),所以sin B=. 因为cos∠ADC=-,∠ADC∈(0,π), 所以sin∠ADB=. 在△ABD中,由正弦定理可得=, 所以AD===4. ‹#› (2)因为BD=2DC,所以=2,所以=2, 即=·=2,可得AC=6. 在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,所以BC2-2BC-63=0, 解得BC=9或BC=-7(舍去). 因为BD=2DC,所以BD=6,DC=3. 在△ABD中,由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB=33, 所以△ADC的周长为3+6+. ‹#› 课堂学业达标 1.为测一河两岸相对两电线杆A,B间的距离,在距A点12米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=30°,则A,B间的距离应为 (　　) A.6米 B.4米 C.6米 D.12米 【解析】选B.在△ABC中,A=90°,∠ACB=30°,由tan 30°=, 得AB=ACtan 30°=4(米). √ ‹#› 2.某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召,大力开展“青山绿水”工,造福于民,拟对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得∠C=120°,BC=40米,AC=60米,则A,B间的直线距离约为 (　　) A.60米 B.130米 C.150米 D.300米 【解析】选B.由题设,在△ABC中,由余弦定理得, AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C= 12 400+2 400,所以AB≈130米. √ ‹#› 3.一只船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔东南向的N处,则这只船航行的速度是(单位:海里/时) (　　) A.32 B.8 C.32 D.8 【解析】选B.由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°. 在△PMN中,由正弦定理得,MN=64×=32(海里). 又由M到N所用时间为14-10=4(时),所以船的航行速度v=8(海里/时). √ ‹#› 4. 已知A船在灯塔C北偏东80°向上,且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40°向上,A,B两船的距离为3 km,则B到C的距离为　　　　km.  【思维导引】根据题中边角关系,再利用余弦定理求解即可. 【解析】由条件知,∠ACB=80°+40°=120°,设BC=x km,则由余弦定理知9=x2+4-4xcos 120°,因为x>0,所以x=-1. 答案:(-1) ‹#› 5.如图,小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为 65°,看另一边B处的俯角为25°,楼高AC为25米,则楼下公园 的湖宽BD约为　　　　米.(结果精确到1米,参考数据: sin 25°≈0.42,tan 25°≈0.47,sin 65°≈0.91,tan 65°≈2.14)  【解析】由题意,得∠ADC=65°,∠ABC=25°.在Rt△ADC中,AC=25米,所以 tan 65°=,所以CD=≈≈11.68(米),在Rt△ACB中,tan 25°=≈0.47,则BC≈53.19米,所以BD=BC-CD≈42(米),所以湖宽BD约为42米. 答案:42 ‹#› $