山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试押题训练

**基本信息** 高一下期末押题训练，覆盖复数、向量、立体几何、概率统计等核心知识，解答题如概率统计题结合分层抽样与频率分布直方图，注重数学思维与数据意识的考查，适配期末综合复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|复数几何意义（第1题）、向量投影（第2题）|基础巩固，聚焦核心概念应用| |多选题|3题18分|三角形内角性质（第9题）、独立事件（第10题）|能力辨析，考查逻辑推理| |填空题|3题15分|分层抽样（第12题）、外接球表面积（第14题）|知识综合，强化空间观念| |解答题|5题77分|概率统计应用（第19题）、立体几何证明与线面角（第18题）|创新设计，如第17题提供条件选择，考查问题解决能力，贴合高考命题趋势|

山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试押题训练 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题5分）已知向量在上的投影的数量为，且，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 3．（本题5分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（本题5分）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对名学生进行抽样，先将名学生进行编号，，，……，，.从中抽取个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右依次选取三个数字读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ）                                                                                       A． B． C． D． 5．（本题5分）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，在四棱锥中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则是直角三角形 10．（本题6分）有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 11．（本题6分）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是的，中点，G是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的外接球的体积为 C．点H到平面的距离为 D．二面角的余弦值为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 13．（本题5分）在中，角的对边分别为，若，，则外接圆的周长为______． 14．（本题5分）在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 16．（本题15分）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 17．（本题15分）已知的内角的对边分别为，且，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：，为锐角； 条件②： 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 19．（本题17分）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 (1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； (2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； (3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人． ①用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； ②设事件为“恰好抽到一男生一女生”，写出事件的集合表示形式，并求事件的概率． （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末考试押题训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C D A B A BC ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据复数的除法法则化简，再结合共轭复数的定义及复数的几何意义即可求出. 【详解】，则， 则对应的点在第二象限. 故选：B 2．B 【分析】直接根据投影公式进行求解即可. 【详解】由题意得，所以. 故选：B 3．C 【分析】根据各项中线面、面面的位置关系，结合线面、面面垂直，线面、面面平行的性质和判定及空间想象判断各项的正误. 【详解】A：由，则平行、异面、相交均可能，错， B：由，则或，错， C：由，结合线面垂直、面面平行的性质有，对， D：由，要使，根据面面平行的判定定理，条件还需相交，错. 故选：C 4．C 【分析】直接根据随机数表取样本编号，对超出样本编号范围、重复则剔除，进而可得所求样本编号. 【详解】因为从表中第5行第6列开始向右依次选取三个数字读取数据， 所以依次得样本编号为，，（舍去，不在样本编号范围内）， （舍去，不在样本编号范围内），（舍去，不在样本编号范围内），（重复，舍去），，， 所以得到的第3个样本编号为. 故选：C. 5．D 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 6．A 【分析】根据三点共线可得，且，结合题意可得，根据平面向量基本定理列式求解即可. 【详解】因为三点共线，则，且， 又因为，即，则， 且，则，解得. 故选：A. 7．B 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 8．A 【分析】由，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，由已知条件，计算出的长度，利用三角函数的定义，即可算出答案. 【详解】因为平面平面，所以，， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又， ， 因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 即，在中，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 9．BC 【分析】利用三角形内角和定理，诱导公式即可计算可判断AB；利用正弦定理角化边计臬可判断C；取，，，可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，A错误； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，设的外接圆半径为，，可得，即，所以，C正确； 对于D，如在中，，，，符合，但该三角形不是直角三角形，D错误； 故选：BC. 10．ABD 【分析】求出事件的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意，，，，， 对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确； 对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】对A，由线面垂直的判定定理证明平面，即可得证；对B，由两两互相垂直，可得三棱锥的外接球即所在长方体的外接球，运算得解；对C，由三棱锥等体积，运算得解；对D，由题可得就是二面角的平面角，在中，运算得解. 【详解】对于A，，，，平面， 平面，又平面，，故A正确； 对于B，因为两两互相垂直，，， 所以三棱锥的外接球即所在长方体的外接球，如图， 所以外接球直径，则， 所以三棱锥的外接球的体积为，故B错误； 对于C，因为分别是的中点，可得，， 且，，，，， 设点到平面的距离为，则， ，解得，即点到平面的距离为，故C正确； 对于D，由，所以就是二面角的平面角， 在中，由，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 12．20 【分析】根据分层抽样计算求解. 【详解】4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿． 这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人， 若总样本量为100人，则应从小区抽取人． 故答案为：. 13． 【分析】由，可得，由，可得，由正弦定理可得，即可得答案. 【详解】因为， 由余弦定理得， 所以． 又，所以． 所以外接圆直径， 所以周长为． 故答案为： 14． 【分析】设为三棱锥外接球半径，为球心，，分别为与的外心，连接并延长交于点，由条件可得为中点，且，，，，是二面角的平面角，由余弦定理得，由题知，在以为直径的圆上，由正弦定理得，在中求出，即，然后利用球的表面积公式求出答案. 【详解】如图所示，设为三棱锥外接球半径，为球心，，分别为与的外心， 则平面，平面. 因为是边长为6的正三角形， 所以的外心为的重心， 连接并延长交于点， 则为中点，且，， 因为为直角三角形，， 所以为中点，且，，， 因为，， 所以是二面角的平面角，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 由题知， 所以，在以为直径的圆上， 由正弦定理得. 在中，， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 15．(1)， (2) 【分析】（1）由结合向量的坐标运算列方程组求解，即得答案； （2）根据向量垂直的坐标表示求出参数，再根据向量模长的公式即可求得答案. 【详解】（1）因为， 所以，解得； （2）若，则，解得， 所以，， 故. 16．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【详解】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. （3）若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 17．(1)； (2)选①，；选②， 【分析】（1）由，可得为锐角，利用二倍角公式求解即可； （2）选①，由正弦定理可得，从而得，即可求得，代入求解即可；选②，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，代入求解即可. 【详解】（1）因为，所以为锐角， 由，可得， 故； （2）选①，，为锐角，，， 由正弦定理，可得，即， 所以， 所以， 所以； 选②，，，，， 由正弦定理，可得，即， 由余弦定理，可得，即， 解得(负根舍去)， 所以. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连结，由平面几何的性质结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定得证即可. （2）由线面角的概念可得即为直线与平面所成的角，再结合定义法得解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，故平面. （2）连接，如图， 由（1）得平面，故即为直线与平面所成的角， 由，可得，， 故. 19．(1)众数是3；75%分位数为 (2) (3) 【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可； (2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数； (3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可. 【详解】（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3， 由可知，75%分位数位于4到6之间， 设女生一周阅读时间的75%分位数为，， 解得； （2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 所以估计总样本的平均数 （3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人， 女生有（人） 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为， 女生有5人，记为，，，，， 则样本空间， 共有15个样本点. 记事件 “恰好一男一女”，则 故所求概率. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $