外接球与内切球期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题 外接球、内切球 一、知识点梳理 外接球：若几何体的所有顶点都在一个球的球面上，则称这个球为该几何体的外接球.外接球半径是指球心到多面体任意一个顶点的距离. 内切球：若球与几何体的各个面均相切，即球心到该几何体各个面的距离均等于该球的半径，则称这个球为该几何体的内切球. 二、典例剖析 例1.【垂面模型（一条直线垂直于一个平面）】在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【解题反思】 【巩固练习】已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）A． B．60 C． D． 例2.【正n棱锥模型】（2026·高一·陕西西安·期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【解题反思】 【巩固练习】（2026年新高考2卷第14题）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 例3.【垂面模型】在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题反思】 例4.【对棱相等模型】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【解题反思】 【巩固练习】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）   A． B． C． D． （选讲***）例5.【二面角模型】在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D． 【解题反思】 【巩固练习】已知中，为边上的高线，以为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球半径为__________. 例6【旋转体模型】轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（ ） A． B． C． D． 【解题反思】旋转体的外接球或内切球 主要利用轴截面，把空间问题转化为平面问题 【巩固练习1】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________. 【巩固练习2】与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 . 【巩固练习3】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2026·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（    ）A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东湛江·月考）（多选）下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（   ） A．底面半径为1，高为2的圆锥 B．底面半径为1，高为2的圆柱 C．上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D．半径为1的球 3.（2026高二上·山东枣庄·学业考试）底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 . 4.（2026·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为 ． 5.（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，已知正三棱柱的外接球球心为，平面平面是的中点．则正三棱柱外接球的体积为 ； 6.（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（   ） A． B． C． D． 7.（2026·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ）A．48π B．36π C．24π D．12π 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 外接球、内切球 一、知识点梳理 外接球：若几何体的所有顶点都在一个球的球面上，则称这个球为该几何体的外接球.外接球半径是指球心到多面体任意一个顶点的距离. 内切球：若球与几何体的各个面均相切，即球心到该几何体各个面的距离均等于改球的半径，则称这个球为该几何体的内切球. 二、学情与考情分析 1.学情分析：从实际教学效果来看，这部分知识是同学们空间感薄弱，无法动态想象球心轨迹；缺乏对称性挖掘，补形识别困难；混淆外接与内切条件，代数运算易出错，看到就头疼的内容.分析其原因，除了这类题目的入手不易之外，主要是学生没有回归到多面体和旋转体外接球的原点——回归几何体的本质特征（球心与关键截面的几何关系）。 2.考情分析：外接球与内切球主要考查化归与转化（空间问题平面化）、数形结合与构造法（补形）等核心思想方法；对知识综合性要求比较强，集直观想象、逻辑推理与数学运算于一体，作为小题压轴区分度极高，能有效考查核心素养，所以成为高考热点问题之一，求解这类问题蕴基本策略主要有：①截面法（球心在截面圆垂线上，用 定位）；②补体法（墙角、对棱相等模型补成长方体，体对角线即直径）；③等体积法（内切球半径​）等，总之，应用几何体的本质特征，进行化归寻模。 三、典例剖析 例1.【垂面模型（一条直线垂直于一个平面）】在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示， 此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球， 设球心为O，作平面，则为的外接圆圆心，连接， 则， 设的外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R， 由正弦定理，得，所以， 中，，所以，解得， 所以． 【解题反思】如图所示，平面，求外接球半径．解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： ①；②． 【巩固练习】已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）A． B．60 C． D． 【答案】D 【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心；根据垂面模型可知∥，， 外接球半径，∵正△的边长为6，则 ∴ 外接球的表面积.故选：D． 例2.【正n棱锥模型】（2026·高一·陕西西安·期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】正四面体的外接球表面积为， ，解得（负值舍去）， 设四面体的棱长为，取的中点，连接， 设顶点在底面的射影为，则是底面的重心， 连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，，则， 所以， 在直角中，，即， 即，得，得（舍或. 故选：D 【解题反思】已知正棱锥的底面外接圆半径为，高为，则正棱锥的外接球半径为 ． 证明：已知正棱锥，在底面的射影为底面的外接圆圆心， 则底面，易得球心在垂线上，如图所示 ； 化简得 . 【巩固练习】（2026年新高考2卷第14题）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 【详解】由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接，设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，，解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），所以，由三角形面积公式，. 例3.【垂面模型】在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、，所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为面面，面面， 面，所以面， 同理：面， 设等边△SDA的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则面，面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 方法1：等边△SDA的外接圆半径 方法2：在等边△SDA中由正弦定理得，解得：， 又因为，所以， 所以四棱锥外接球表面积为.故选：C. 【解题反思】如图所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 【拓展】若面与面的二面角为，球心到面与面的距离分别为，面与面的交线为，记长为，则外接球半径 证明：如图所示，四面体，已知二面角大小为， 设和的外接圆圆心分别为和． 分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． 过作的垂线，垂足记为，连接，则． 则四边形的四个顶点在以为直径的圆上． 在四棱锥中，平面，连接 在中，由余弦定理可得 由正弦定理可得：四边形的外接圆直径 所以 例4.【对棱相等模型】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：  设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：．故选：A． 【解题反思】题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，， 列方程组，， 补充：如图中，. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 【巩固练习】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，设长方体的长、宽、高分别为， 则，，，解得，，． 所以三棱锥外接球的半径． 三棱锥外接球的体积． （选讲***）例5.【二面角模型】在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，E是AB的中点，所以，又，， 所以为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形， 取的中点为，则，因为，又，，所以 同理可得，又，所以，取的中点为，连接， 则，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为，，， 所以为等边三角形，取的中点为，则， 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面， 因为为直角三角形，为斜边， 所以，所以为的外接圆的圆心， 设为三棱锥外接球的球心，则平面， 设，三棱锥外接球的半径为，则， 若球心和点位于平面的两侧，延长到点，使得， 因为平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，， 所以，所以， 所以，， 所以三棱锥外接球的表面积， 若球心和点位于平面的同侧，因为平面，平面，所以，过点作，则四边形为平行四边形， 所以，， 所以， 所以，所以，舍去 ，故选：A. 【解题反思】题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图所示) 第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找 出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 注：易知四点共面且四点共圆，证略（其实垂面模型是二面角模型的特殊情况，在这里作为为一个拓展，基础好的同学要认真去研究一下）. 【巩固练习】已知中，为边上的高线，以为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球半径为__________. 【答案】 【解析】由题意，可得，为二面角的平面角，即，在中，， 由余弦定理，可得， 又由且平面， 所以平面，设外接圆的半径为，圆心为， 则，可得，即， 设三棱锥的外接球的半径为，球心为， 可得，即， 所以三棱锥的外接球半径为. 例6【旋转体模型】轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】轴截面如图所示，设内切球的半径为，则， 由题意可得，， 在中，， 所以，即， 所以内切球体积为，故选：D 【解题反思】旋转体的外接球或内切求 主要利用轴截面，把空间问题转化为平面问题 【巩固练习1】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】如图所示：依题意得 ， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为 ， 所以 ， 所以 设球的半径为，所以 则，得 设球的半径为，则，又 得 所以球的表面积为 【巩固练习2】与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 . 【答案】 【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 【巩固练习3】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高，由球的表面积，得， 又，得，所以圆柱的体积.故选：C. 【解题反思】旋转体的外接球 主要利用轴截面，把空间问题转化为平面问题. 模型一 圆锥外接球 如图1，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．当时，球心在圆锥内部，如图2.当时，球心在圆锥外部,如图3（与本文正四棱锥外接球问题本质相同），图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图11和图12可知，或，故，所以． ( 图 1 图 2 图 3 ) 模型二 圆柱外接球 如图4-6，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足（与本文一条侧棱垂直于底面模型本质相同） ( 图 4 图 5 图 6 ) 模型三 圆台外接球 ，其中分别为圆台的上底面圆半径、下底面圆半径和高．如图7和图8所示（与圆锥外接球情形类似） ( 图 7 图 8 ) 总之，立体几何中的外接球问题，包括多面体和旋转体.解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体顶点的距离等于球的半径．特别注意多面体的有关几何元素与球半径之间的关系，即化归寻模和定义法求解.其解题实质是通过几何体的空间结构特征，寻找球心与半径，核心是几何对称性分析与代数条件的系统化运用.而旋转体外接球主要采用轴截面法，把空间问题转化为平面问题，其本质和求多面体外接球相同.所以不管是外接球还是内切求，其价值不仅在于求得球心与半径，更在于培养同学们三维空间的问题解决能力，这正是数学核心素养中“直观想象”与“数学建模”的深度融合 【巩固练习】 1.（2026·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点， 又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上， 因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，， 因为平面，与平面所成的角为， 则，从而， 设球O的半径为R，在中，，则，解得， 所以球O的表面积为. 故选：B． 2．（25-26高三上·广东湛江·月考）（多选）下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（   ） A．底面半径为1，高为2的圆锥 B．底面半径为1，高为2的圆柱 C．上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D．半径为1的球 【答案】BD 【详解】对于A，圆锥的体积为，表面积为， 所以，故A错误； 对于B，圆柱的体积为，表面积为， 所以，故B正确； 对于C，圆台的体积为， 表面积为：， 所以，故C错误； 对于D，球的体积为：，表面积为：， 所以，故D正确． 故选：BD． 3．（2026高二上·山东枣庄·学业考试）底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【详解】由题意，该正四棱柱的体对角线为外接球的直径，设外接球半径为R， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故答案为： 4.（2026·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为 ． 【答案】 【详解】设正三角形的外接圆半径为. 根据正弦定理可得，，所以. 设球O的半径为，则，. 所以球O的体积为. 故答案为：. 5.（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，已知正三棱柱的外接球球心为，平面平面是的中点．    求正三棱柱外接球的体积； 【答案】 【详解】（1）如图，设上、下底面的中心分别为，则为的中点． 因为，且平面平面， 所以平面， 设平面平面平面，所以． 取与的中点，连接则，所以， 所以为二面角的平面角， 因为平面平面，所以， 由对称性可知， 连接，因为，所以，所以， ，正三棱柱外接球的半径， 所以正三棱柱外接球的体积． 6.（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面， 可得， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以， 设此时球的半径为R，则， 即，解得， 所以球的体积V的最大值为. 故选：C 7.（2026·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 【答案】A 【详解】 因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到 所以外接球半径， ∵，∴ 因此圆锥外接球的表面积为48π. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $