1.1《集合的概念经典题型》分类训练-2026-2027学年高一上学期数学人教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合概念核心素养，以六大题型构建从基础到综合的系统化训练，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的概念|4题|判断对象能否构成集合|围绕集合确定性本质，夯实概念基础| |元素的特性|9题|元素互异性、无序性应用|深化集合元素基本属性，衔接方程求解| |元素与集合关系|6题|元素归属判断及参数计算|建立元素与集合的关联，培养推理意识| |集合的表示方法|9题|列举法与描述法互化|训练数学语言表达，强化符号意识| |新定义问题|5题|集合运算与孤立元素分析|拓展集合应用场景，提升创新思维| |综合问题|3题|含参方程与集合性质综合|整合知识模块，培养综合解题能力|

《集合的概念经典题型》分类训练 （六大题型，共36小题） 题型一：集合的概念 1．下列元素所组成的总体，能表示集合的是（　　） A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科 C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生 2．下列各组对象能组成集合的是（　　） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 3．下列各组对象能组成集合的是（　　） ①我校高一年级所有聪明的学生； ②所有的平行四边形； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 4．下列各组对象能构成集合的是（　　） A．所有游泳高手 B．2024年高考数学难题 C．某校所有高个子的男生 D．小于π的正整数 题型二：集合中元素的特性 5．“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（　　） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 7．集合{3，x，x2﹣2x}中，x应满足的条件是（　　） A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠﹣1且x≠0且x≠3 D．x≠﹣1或x≠0或x≠3 8．集合{2a，a2}中实数a的取值范围是（　　） A．{a|a＝0，或a＝2} B．{a|a＝0，且a＝2} C．{a|a≠0，或a≠2} D．{a|a≠0，且a≠2} 9．给出下列说法，其中正确的有（　　） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 10．（多选）若集合A＝{a2+2a，3a+2，8}，则实数a的取值可以是（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．5 11．数集{1，a，a2﹣a}中的元素a不能取的值是 　 　 ． 12．由单词“deepseek''中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素共有　 　 个． 13．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，求a2016+b2017的值． 题型三：元素与集合的判断及应用 14．给出下列关系：①|﹣2|∉N*；②0∉Z；③；④；⑤1.21∈Q．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．已知2∈{0，a﹣1，a+1}，则实数a的值是（　　） A．3 B．1 C．0 D．3或1 16．下列关系中，正确的是（　　） A．﹣2∈N+ B．π∈Q C．0∈N D． 17．已知集合A＝{m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．﹣1或 18．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a． 19．已知集合A＝{x|x＝mn，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且∈A}． （1）判断2，0，7+4中的哪些元素属于B； （2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B； （3）证明：若x＝mn∈B，则m2﹣3n2＝1． 题型四：集合的表示方法 20．方程x2＝x的所有实数根组成的集合用列举法表示为（　　） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{0，1，﹣1} 21．已知集合，则用列举法表示A＝（　　） A．{﹣2，0，1，2，4} B．{﹣2，0，2，4} C．{0，2，4} D．{2，4} 22．第一象限的点组成的集合可以表示为（　　） A．{（x，y）|xy＞0} B．{（x，y）|xy≥0} C．{（x，y）|x＞0且y＞0} D．{（x，y）|x＞0或y＞0} 23．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（　　） A．{x|x＝8k，k∈N} B．{x|x＝8k+8，k∈N} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8} 24．用描述法表示函数y＝3x+1图象上的所有点的是（　　） A．{x|y＝3x+1} B．{y|y＝3x+1} C．{（x，y）|y＝3x+1} D．{y＝3x+1} 25．下列各组集合中，表示同一集合的是（　　） A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{3，2}，N＝{2，3} C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} D．M＝{（3，2）}，N＝{3，2} 26．集合“正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（　　） A．{x|x＝2n，n∈N*} B．{x|x＝2n﹣1，n∈N*} C．{x|x＝2n，n∈Z} D．{x|x＝2n+1，n∈Z} 27．（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（　　） A．奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z} B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x＜10} C．{x|x＞2}表示大于2的全体实数 D．不等式x2﹣1＞0的解集表示为{x|x2﹣1＞0} 28．用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式2x﹣3＞5的解集； （3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合； （4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合； （5）集合{1，3，5，7，9}． 题型五：集合的概念中的新定义问题 29．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，定义集合A、B之间的运算，A*B＝{x|x∈A且x∉B}，则集合A*B等于（　　） A．{1，2，3} B．{2，4} C．{1，3} D．{2} 30．定义集合运算：A⊗B＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，则A⊗B＝　 　 ． 31．（多选）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A是U的子集，当x∈A时，x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（　　） A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素 B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素 C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个 D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个 32．集合A＝{1，2，3，5}，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素为 　 　 ． 33．设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab∈P，且若b≠0，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．则下列说法正确的是　 　 _______________（写出所有正确说法的序号）． （1）数域必含有0，1两个数 （2）整数集是数域 （3）若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 （4）数域中有无限多个元素 题型六：集合的含义与表示的综合问题 34．已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0，x∈R}． （1）A中只有一个元素，求a的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 35．已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R，x∈R}． （1）若1∈A，求a的值； （2）若A中只有一个元素，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 36．设实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S，②若a∈S，则∈S （1）求证：若a∈S，则1∈S； （2）若2∈S，则在S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； （3）求证：集合S中至少有三个不同的元素． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《集合的概念经典题型》分类训练 （六大题型，共36小题） 题型一：集合的概念 1．下列元素所组成的总体，能表示集合的是（　C　） A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科 C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生 【解析】 高一年级打篮球好的学生标准不明确，不能形成集合，A错误；高一年级比较难的学科，标准不明确，对象不确定，不能形成集合，B错误；高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，C正确；高一年级写字好的学生，对象不确定，不能形成集合，D错误． 2．下列各组对象能组成集合的是（　C　） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【解析】 “羽毛球打得好”，“幽默的学生”，“学生感兴趣的学科”，都没有一个判断标准，对象不确定，不能组成集合，故A错误，B错误，D错误；对于C：2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 3．下列各组对象能组成集合的是（　C　） ①我校高一年级所有聪明的学生； ②所有的平行四边形； ③所有不小于3的正整数； ④的所有近似值 A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【解析】 ①聪明的学生不具有确定性，不能组成集合；②所有的平行四边形可以明确定义，可以组成集合；③所有不小于3的正整数可以明确定义，可以组成集合；④的近似值，因为没有明确精确度，违背了集合中元素的确定性，不能组成集合 4．下列各组对象能构成集合的是（　D　） A．所有游泳高手 B．2024年高考数学难题 C．某校所有高个子的男生 D．小于π的正整数 【解析】 所有游泳高手，不具有确定性，不能构成集合，A不正确；2024年高考数学难题，不具有确定性，不能构成集合，B不正确；某校所有高个子的男生，不具有确定性，不能构成集合，C不正确； 小于π的正整数，具有确定性，能构成集合，D正确． 题型二：集合中元素的特性 5．“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（　C　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】 因为“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e，其构成的集合为{m，o，n，c，a，k，e}，有7个元素． 6．英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（　A　） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【解析】 interesting的所有字母组成的集合为{i，n，t，e，r，s，g}，共有7个元素． 7．集合{3，x，x2﹣2x}中，x应满足的条件是（　C　） A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠﹣1且x≠0且x≠3 D．x≠﹣1或x≠0或x≠3 【解析】 集合{3，x，x2﹣2x}中，x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3 解得：x≠3且x≠﹣1且x≠0 8．集合{2a，a2}中实数a的取值范围是（　D　） A．{a|a＝0，或a＝2} B．{a|a＝0，且a＝2} C．{a|a≠0，或a≠2} D．{a|a≠0，且a≠2} 【解析】 由题意可知，2a≠a2，解得a≠0且a≠2，故所求a的取值范围为{a|a≠0，且a≠2}． 9．（多选）给出下列说法，其中正确的有（　AC　） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 【解析】 对于A：中国的所有直辖市，元素具备确定性，可以构成集合，A正确；对于B：较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；对于C：正偶数的全体，元素具备确定性，可以构成集合，C正确；对于D：大于2023且小于2030的所有整数，元素具备确定性能构成集合，D错误． 10．（多选）若集合A＝{a2+2a，3a+2，8}，则实数a的取值可以是（　BD　） A．2 B．3 C．﹣4 D．5 【解析】 由元素的互异性可得，，解得a≠﹣4，a≠2，a≠﹣1，观察四个选项可知，BD符合． 11．数集{1，a，a2﹣a}中的元素a不能取的值是 　　 ．0，1，2， 【解析】 由集合中的元素满足互异性可知，解得a≠1且且a≠2且a≠0． 12．由单词“deepseek''中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素共有　　 个．5 【解析】 由元素的确定性、互异性和无序性可知，集合A＝{d，e，p，s，k}，所以集合A中的元素共有5个． 13．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，求a2016+b2017的值． 【解析】 由，可得a≠0，a≠1（否则不满足集合中元素的互异性）．因为含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a+b，0}，所以或解得或 经检验a＝﹣1，b＝0满足题意．所有a2016+b2017＝（﹣1）2016＝1． 题型三：元素与集合的判断及应用 14．给出下列关系：①|﹣2|∉N*；②0∉Z；③；④；⑤1.21∈Q．其中正确的个数是（　B　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 因为N*，Z，Q，R分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集；对于①，|﹣2|＝2是正整数，即|﹣2|∈N*，故①错误；对于②，0是整数，即0∈Z，故②错误；对于③，是无理数，所以Q，故③错误；对于④，是实数，所以，故④正确；对于⑤，1.21是有理数，所以1.21∈Q，故⑤正确． 15．已知2∈{0，a﹣1，a+1}，则实数a的值是（　A　） A．3 B．1 C．0 D．3或1 【解析】 因为2∈{0，a﹣1，a+1}，所以a﹣1＝2或a+1＝2，解得a＝3或a＝1，当a＝3时，集合为{0，2，4}，符合题意，当a＝1时，不满足元素的互异性，舍去，所以实数a的值是3． 16．下列关系中，正确的是（　C　） A．﹣2∈N+ B．π∈Q C．0∈N D． 【解析】 因为﹣2不是正整数，所以﹣2∉N+，故选A错误；因为π是无理数，所以π∉Q，故B错误； 因为0是自然数，所以0∈N，故C正确；因为不是整数，所以，故D错误． 17．已知集合A＝{m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为（　B　） A．1 B． C．1或 D．﹣1或 【解析】 ∵3∈A，∴m+2＝3时，m＝1，此时不满足集合元素的互异性，即m≠1；2m2+m＝3时，解得m或1（舍去），即m． 18．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a． 【解析】 ∵﹣3∈A；∴a﹣2＝﹣3，或2a2+5a＝﹣3；∴；∵a＝﹣1时，A＝{﹣3，﹣3，12}，不满足集合元素的互异性；而a时，；∴． 19．已知集合A＝{x|x＝mn，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且∈A}． （1）判断2，0，7+4中的哪些元素属于B； （2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B； （3）证明：若x＝mn∈B，则m2﹣3n2＝1． 【解析】 （1）因为，所以；因为，所以；因为0没有倒数，所以0∉B；因为，所以；综上可得，； （2）证明：若x∈A，y∈A，则xy∈A；设，，S，t，p，q为整数，所以，由于sp+3tq，sq+tp 都是整数，所以xy∈A，当x∈B，y∈B时，，，所以，所以 xy∈B； （3）证明：因为，所以，所以都是整数，所以为整数， 所以m2﹣3n2＝±1，假如m2﹣3n2＝﹣1，则m2+1＝3n2，则m2+1应为3的倍数，设k为整数，若 m＝3k，则m2+1＝9k2+1不是3的倍数；若 m＝3k+1，则m2+1＝9k2+6k+2＝3（3k2+2k）+2不是3的倍数；若 m＝3k+2，则m2+1＝9k2+12k+5＝3（3k2+4k+1）+2不是3的倍数；所以m2﹣3n2≠﹣1即m2﹣3n2＝1． 题型四：集合的表示方法 20．方程x2＝x的所有实数根组成的集合用列举法表示为（　A　） A．{0，1} B．{0} C．{1} D．{0，1，﹣1} 【解析】 方程x2﹣x＝x（x﹣1）＝0的实数根伟0或1，所以方程x2＝x的所有实数根组成的集合用列举法表示为{0，1}． 21．已知集合，则用列举法表示A＝（　B　） A．{﹣2，0，1，2，4} B．{﹣2，0，2，4} C．{0，2，4} D．{2，4} 【解析】 因为集合，由题意可得x﹣1可为±1、±3，即x可为0，2，﹣2，4，即A＝{﹣2，0，2，4}． 22．第一象限的点组成的集合可以表示为（　C　） A．{（x，y）|xy＞0} B．{（x，y）|xy≥0} C．{（x，y）|x＞0且y＞0} D．{（x，y）|x＞0或y＞0} 【解析】 第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，即x＞0且y＞0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{（x，y）|x＞0且y＞0}． 23．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（　B　） A．{x|x＝8k，k∈N} B．{x|x＝8k+8，k∈N} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8} 【解析】 能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，所以C，D错误；选项A，当k＝0时，x＝0，即集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A错误，因此B正确． 24．用描述法表示函数y＝3x+1图象上的所有点的是（　C　） A．{x|y＝3x+1} B．{y|y＝3x+1} C．{（x，y）|y＝3x+1} D．{y＝3x+1} 【解析】 根据集合描述法定义可得函数y＝3x+1图象上的所有点的集合是{（x，y）|y＝3x+1}， 25．下列各组集合中，表示同一集合的是（　B　） A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{3，2}，N＝{2，3} C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} D．M＝{（3，2）}，N＝{3，2} 【解析】 根据集合的定义，依次分析选项可得：对于A：M、N都是点集，（2，3）与（3，2）是不同的点，则M、N是不同的集合，故不符合；对于B：M、N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求；对于C：M是点集，表示直线x+y＝1上所有的点，而N是数集，表示函数x+y＝1的值域，则M、N是不同的集合，故不符合；对于D：M是点集，N是数集，表示3，2两个数，则M、N是不同的集合，故不符合。 26．集合“正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（　A　） A．{x|x＝2n，n∈N*} B．{x|x＝2n﹣1，n∈N*} C．{x|x＝2n，n∈Z} D．{x|x＝2n+1，n∈Z} 【解析】 正偶数的全体为x＝2n，n∈N*，故集合“正偶数的全体”可描述为{x|x＝2n，n∈N*}． 27．（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（　ACD　） A．奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z} B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x＜10} C．{x|x＞2}表示大于2的全体实数 D．不等式x2﹣1＞0的解集表示为{x|x2﹣1＞0} 【解析】 对于A：奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z}，故A正确；对于B：“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x∈Z|x＜10}，故B错误；对于C：{x|x＞2}表示大于2的全体实数，故C正确；对于D：不等式x2﹣1＞0的解集表示为{x|x2﹣1＞0}，故D正确． 28．用描述法表示下列集合： （1）所有被3整除的整数组成的集合； （2）不等式2x﹣3＞5的解集； （3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合； （4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合； （5）集合{1，3，5，7，9}． 【解析】 （1）所有被3整除的整数组成的集合为{x|x＝3k，k∈Z}； （2）不等式2x﹣3＞5的解集为{x|x＞4，x∈R}； （3）方程x2+x+1＝0的所有实数解组成的集合为{x|x2+x+1＝0，x∈R}； （4）抛物线y＝﹣x2+3x﹣6上所有点组成的集合为{（x，y）|y＝﹣x2+3x﹣6}； （5）集合{1，3，5，7，9}为{x|x＝2n﹣1，1≤n≤5且n∈N*}． 题型五：集合的概念中的新定义问题 29．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，定义集合A、B之间的运算，A*B＝{x|x∈A且x∉B}，则集合A*B等于（　C　） A．{1，2，3} B．{2，4} C．{1，3} D．{2} 【解析】 由题意知，A*B＝{x|x∈A且x∉B}，当A＝{1，2，3}，B＝{2，4}时，A*B＝{1，3}． 30．定义集合运算：A⊗B＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，则A⊗B＝　 {1，2，3，4，5}　 ． 【解答】 解：由题意，A⊗B＝{1，2，3，4，5}． 31．（多选）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A是U的子集，当x∈A时，x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（　ABD　） A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素 B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素 C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个 D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个 【解析】 对于A：由题意，孤立元素不相邻，集合U中最多同时找出3个孤立元素，故A正确；对于B：若A中只有1个元素，则必为孤立元素，故B正确；对于C：易知这样的集合A有{0，2}，{0，3}，{0，4}，{0，5}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}共10个，故C项错误；对于D：不含“孤立元素”且包含有4个元素的集合有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个，故D正确． 32．集合A＝{1，2，3，5}，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素为 　　 ．5 【解析】 对于元素1，1+1＝2∈A，故不满足孤立元素的定义，对于元素2，2+1＝3∈A，故不满足孤立元素的定义，对于元素3，3﹣1＝2∈A，故不满足孤立元素的定义，对于元素5，5﹣1＝4∉A，5+1＝6∉A，故满足孤立元素的定义． 33．设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab∈P，且若b≠0，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．则下列说法正确的是　　 ______________（写出所有正确说法的序号）．（1）（4） （1）数域必含有0，1两个数 （2）整数集是数域 （3）若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 （4）数域中有无限多个元素 【解析】 对于（1），由题意得，任取a，b∈P，b≠0，令a＝b，则a﹣b＝0∈P，1∈P，∴数域必含有0，1两个数，故（1）正确；对于（2），令a＝1，b＝2，则a，b∈Z，但，故（2）错误； 对于（3），令M＝Q∪{}，取a＝1，b，a+b＝1∉M，故（3）错误；对于（4），∵数域必含0，1两个数，由加法封闭性得可生成1+1＝2，1+2＝3，……，再由除法封闭性可生成，2，……，等，会生成无穷多个元素，∴数域中有无限多个元素，故（4）正确． 题型六：集合的含义与表示的综合问题 34．已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0，x∈R}． （1）A中只有一个元素，求a的取值范围； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）当a＝0时，A＝{x|3x+1＝0}＝{}，符合条件；当a≠0时，方程ax2+3x+1＝0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，则方程ax2+3x+1＝0只有一个实数解，所以Δ＝9﹣4a＝0⇒a．所以，a的值为0或． （2）若A中至多只有一个元素，则A中只有一个元素，或A＝∅．由（1）知：若A中只有一个元素，a的值为0或；若A＝∅，则方程ax2+2x+1＝0无实数解，所以Δ＝9﹣4a＜0⇒a．所以，a或a＝0． 35．已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R，x∈R}． （1）若1∈A，求a的值； （2）若A中只有一个元素，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【解析】 集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R，x∈R}， （1）由于1∈A，所以x＝1是ax2+2x+1＝0的实数根，故a+2+1＝0，故a＝﹣3 （2）当a＝0时，原方程变为2x+1＝0，此时，符合题意；当a≠0时，Δ＝4﹣4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝﹣1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，A只有一个元素． （3）若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素或只有一个元素，由（1）知当a＝0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2+2x+2＝0为一元二次方程，Δ＝4﹣4a＜0，即a＞1时，A为空集；Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的根，A中有一个元素．A中最多有一个元素，{a|a＝0或a≥1} 36．设实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S，②若a∈S，则∈S （1）求证：若a∈S，则1∈S； （2）若2∈S，则在S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； （3）求证：集合S中至少有三个不同的元素． 【解析】 （1）证明：若a∈S，则∈S ∴∈S，∴1∈S； （2）若2∈S，则1∈S，则∈S，所以另外两个数是﹣1和． （3）证明：由（1）得：1∈S；令1a，即a2﹣a+1＝0，此时判别式Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无解，同理1也无解，故集合S中至少有三个不同的元素：a，1，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $