云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

马关县第一中学2026年春季学期高二年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则复数的虚部为 A． B． C． D． 2．已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为 A．120 B．15 C．25 D．90 3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取30名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）种． A． B． C． D． 4．已知集合，，则 A． B． C． D． 5．下列求导正确的是 A． B． C． D． 6．设等比数列的前项和为，若，，则 A．2 B．4 C．8 D．16 7．某中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（ ）种． A．68 B．98 C．100 D．120 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 A． B．的零点个数为 C．的极值点个数为 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知函数，下列说法正确的是 A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．在区间内单调递增 D．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图象关于原点成中心对称 10．五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有 A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 11．已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是 A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 13．数列为等差数列，为其前项和，已知，，则的最小值为__________． 14．已知，，若，则的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足． （1）求； （2）若，，求边上的高． 16．（本小题满分15分） 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列； （2）设，为数列的前项和，求． 17．（本小题满分15分） 如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆的下顶点为，左、右焦点分别为，，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长． （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线与相交于，两点，直线，分别与相交于，两点． ①证明：直线与直线的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2026年春季学期高二年级第一次月考试卷 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A D B C D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BC CD ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由正弦定理，有，有， 通分后，有，有． 因为，则． 又由，有，可得， 又由，可得．（7分） （2）设边上的高为， 由及余弦定理，有， 的面积为， 则．（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：由题意，，则， ，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列．（7分） （2）解：由（1）可知，则． 由，则， 所以．（15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：因为平面平面，， 且平面平面，平面， 所以平面，平面，所以． 又，，，平面， 所以平面．（7分） （2）解：由平面和，可建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，． 因为，，，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 平面与平面夹角的余弦值为．（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）当时，， 所以，所以． 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即．（4分） （2）由题意得， 函数的定义域为． 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（10分） （3）由（2）可知当时，有极小值， 极小值为，此时极小值也是最小值． 由，可得，， 又，所以． 令，求导得， 所以在上单调递减． 又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围为．（17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：已知抛物线中，令，解得，所以． 因为椭圆上的点到距离的最小值为，则，所以， 从而， 椭圆的方程为：．（5分） （2）①证明：直线的斜率显然存在，设方程为． 由整理得． 设，，则，，， 由已知，所以，的斜率分别为， ，故， 所以直线与直线的斜率之积为定值．（10分） ②解：设直线：，显然，由解得或， ，则． 由①知，直线：，则， 由得，解得或， ，则． 由①知，直线：，， 则 ， 当且仅当时等号成立，即最小值为．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $