精品解析：广东省佛山市萌茵实验学校2025～2026学年第二学期八年级数学期中综合素养跟踪

2025～2026学年第二学期八年级数学期中综合素养跟踪 试卷总分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（本大题共 10 道小题，每题 3 分，共 30 分） 1. 下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标之一是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用x（万亿斤）表示我国今年粮食产量，则x满足的关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知a＞b，下列不等式中，不正确的是（　　） A. a+4＞b+4 B. a﹣8＞b﹣8 C. 5a＞5b D. ﹣6a＞﹣6b 5. 一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20 6. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g，则物体M的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的不等式可变形为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A. 平分 B. C. D. 9. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于D，交于E，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. 8：7：6 B. C. D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 11. 用不等式表示：的2倍与5的差是一个负数：________． 12. 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是___________． 13. 不等式的解集是________． 14. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 15. 如图，在中，，，点D是边上的点，，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则的周长的最小值是__． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7分，共 21分） 16. 解不等式组 ：，并把解集画在数轴上． 17. 如图，点D，E在的边上，，．求证：． 18. 如图，在ABC中，∠C＝90°，PD＝PA． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F． （2）连接DE，判断DE与DP的位置关系，并说明理由． 四．解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19. 年中考来临之际，某学校为加强学生的体育锻炼，准备购买若干个单价相同的排球和单价相同的篮球．已知购买个排球和个篮球共需元，购买个排球和个篮球共需元． （1）每个排球和每个篮球各是多少元？ （2）根据学校的实际需要，需一次性购买排球和篮球共个，要求购买排球和篮球的总费用不超过元，则该校最多可以购买多少个篮球？ 20. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 21. 春风送暖，农事渐忙．南山镇农资商店为助力春耕生产，对热销的“黄金1号”高产玉米种子推出阶梯定价优惠：原价为5元/千克．为鼓励农户批量购买，商店规定：一次性购买不超过6千克的部分，按原价付款；一次性购买6千克以上的，超过6千克的部分按原价的八折销售．当地农户刘叔叔与周叔叔相约一同到店购买种子，希望以最省钱的方式完成采购．请你解决下列问题： （1）若一次性购买3千克“黄金1号”玉米种子，需付款 元，若一次性购买7千克“黄金1号”玉米种子，需付款 元； （2）设购买这种玉米种子千克，付款金额为元，求与之间的函数解析式； （3）刘叔叔要购买5千克，周叔叔要购买10千克，两人采取总花费最少的方式合买再分种子，则刘叔叔应付款 元？ 五．解答题（三）（本大题共 2 小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在不等式的专题拓展学习中，杨老师给出一个新定义：对于同一个未知数的两个不等式，如果它们的解集完全相同，则称这两个不等式为同解不等式．同解不等式在方程、函数、最值问题中有着广泛的作用，是连接等式与不等式的重要桥梁．根据定义，完成下列探究： （1）不等式与______同解不等式；（填“是”或者“不是”） （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，请求出a的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，请求出，的值． 23. 在“综合与实践”数学活动课上，杨老师带领同学们开展“直角三角形拼接与线段探究”的专题研究．同学们用硬纸板制作了两个以点O为公共直角顶点的等腰直角三角形模型，将它们按固定位置拼放在同一平面内：如图，和均为等腰直角三角形．在活动中，同学们先连接线段、，探究两条线段的长度关系与位置关系；再将图形固定，结合中点、特殊角度等条件进行计算推理，请你和同学们一起完成以下探究任务． （1）【问题初探】①如图1，试判断与的数量关系，并说明理由； ②请直接写出与位置关系： ． （2）【解决分析】如图2，若点恰好在上，且为的中点，且，求的长度． （3）【学以致用】如图3，设与的交点为，若，，，请在图3中完成作图，并直接写出的长度为 ．（提示：连接，作交的延长线于点） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期八年级数学期中综合素养跟踪 试卷总分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（本大题共 10 道小题，每题 3 分，共 30 分） 1. 下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 2. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中，  ∴直角三角形两锐角和为，即  又∵  ∴ ． 3. 2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标之一是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用x（万亿斤）表示我国今年粮食产量，则x满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据题意得： x＞1.3． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式．掌握不等式的定义是解题的关键．不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 4. 已知a＞b，下列不等式中，不正确的是（　　） A. a+4＞b+4 B. a﹣8＞b﹣8 C. 5a＞5b D. ﹣6a＞﹣6b 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断，判断出不正确的不等式是哪个即可． 【详解】解：∵a＞b， ∴a＋4＞b＋4， ∴选项A正确； ∵a＞b， ∴a−8＞b−8， ∴选项B正确； ∵a＞b， ∴5a＞5b， ∴选项C正确； ∵a＞b， ∴−6a＜−6b， ∴选项D不正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，要注意在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 5. 一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长是解题关键． 分两种情况讨论：当腰长为4时，不满足三边关系；当腰长为8时，满足三边关系，计算周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为4和8， ∴可能情况：腰为4，底为8；或腰为8，底为4， 当腰为4，底为8时， ∵ ，不符合三角形三边关系， ∴该情况不成立； 当腰为8，底为4时， ∵，，，均满足三边关系， ∴ 周长为． 故选：C． 6. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g，则物体M的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用及不等式组的解集在数轴上的表示方法．通过看图得出具体的信息，从而得出物体M的质量m的取值范围． 【详解】解：∵由左图可知，由右图可知， ∴m的取值范围是：． 在数轴是表示为 故选：C． 7. 关于x的不等式可变形为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式变形后不等号方向的变化，判断x系数的符号，即可求出m的取值范围 【详解】解：∵不等式  变形为  后，不等号方向发生改变， ∴根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴， 解得  8. 如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：依题意，， A. 平分则，根据可以证明和全等 B. ，根据可以证明和全等 C. ，SSA不能证明和全等 D. ，根据可以证明和全等 故选：C． 9. 如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于D，交于E，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．由垂直平分可得，由得，由得，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， ， 等腰中，， ， ， 故选：B． 10. 如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. 8：7：6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过O点分别作、、的垂线、、，利用角平分线性质可以得到，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 【详解】解：如图，过O点分别作、、的垂线、、， ∵是的角平分线， ∴， 同理， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 11. 用不等式表示：的2倍与5的差是一个负数：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干描述得到对应数量关系，结合负数的定义列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，的倍为，与的差为， ∵差是负数，负数小于， ∴可得不等式 ． 12. 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 13. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】按照一元一次不等式的求解步骤，依次进行移项、合并同类项、系数化为1即可得到解集． 【详解】解：， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ． 14. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点D是边上的点，，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，则的周长的最小值是__． 【答案】## 【解析】 【分析】根据折叠得到E、C关于对称，即可知道当点P在点D处时的周长最小，结合直角三角形所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案； 【详解】解：∵沿直线翻折，使点C落在边上的点E处， ∴，，，E、C关于对称， ∴当点P在点D处时的周长最小， ∵，， ∴，， ∴， 设， 在中， ， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查三角形的折叠及勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，解题的关键之找到最小距离和的点． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7分，共 21分） 16. 解不等式组 ：，并把解集画在数轴上． 【答案】，在数轴上表示解集如下： 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，最后确定公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：： 由②得：， 在数轴上表示解集：略 不等式组的解集为． 17. 如图，点D，E在的边上，，．求证：． 【答案】证明：∵，且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据等角对等边证明，再根据证明即可． 【详解】略 18. 如图，在ABC中，∠C＝90°，PD＝PA． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F． （2）连接DE，判断DE与DP的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）DE⊥DP，见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出即可； （2）由等边对等角可得∠PDA＝∠A．根据线段垂直平分线的性质可知EB＝ED，同理由等边对等角可得∠B＝∠EDB．因为∠A+∠B＝90°，即得出∠PDA+∠EDB＝90°，即得出∠PDE＝90°，即证出DE⊥DP． 【小问1详解】 如图，EF为BD所求作的垂直平分线； 【小问2详解】 DE⊥DP． 理由如下：∵PD＝PA， ∴∠PDA＝∠A， ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∵∠PDE+∠PDA+∠EDB＝180°， ∴∠PDE＝90°， ∴DE⊥DP． 【点睛】本题考查作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等是解题关键． 四．解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19. 年中考来临之际，某学校为加强学生的体育锻炼，准备购买若干个单价相同的排球和单价相同的篮球．已知购买个排球和个篮球共需元，购买个排球和个篮球共需元． （1）每个排球和每个篮球各是多少元？ （2）根据学校的实际需要，需一次性购买排球和篮球共个，要求购买排球和篮球的总费用不超过元，则该校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）每个排球元，每个篮球元 （2）该校最多可以购买个篮球 【解析】 【分析】（1）设每个排球元，每个篮球元，由题中等量关系列方程组求解即可； （2）该校最多可以购买个篮球，则该校可以购买个排球，由题中总费用不超过元，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个排球元，每个篮球元，则 ， 解得， 答：每个排球元，每个篮球元； 【小问2详解】 解：该校最多可以购买个篮球，则该校可以购买个排球， ， 解得， 该校最多可以购买个篮球． 20. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 详解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°． ∵D为的AC中点，∴DA=DC． 又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形． 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C． 21. 春风送暖，农事渐忙．南山镇农资商店为助力春耕生产，对热销的“黄金1号”高产玉米种子推出阶梯定价优惠：原价为5元/千克．为鼓励农户批量购买，商店规定：一次性购买不超过6千克的部分，按原价付款；一次性购买6千克以上的，超过6千克的部分按原价的八折销售．当地农户刘叔叔与周叔叔相约一同到店购买种子，希望以最省钱的方式完成采购．请你解决下列问题： （1）若一次性购买3千克“黄金1号”玉米种子，需付款 元，若一次性购买7千克“黄金1号”玉米种子，需付款 元； （2）设购买这种玉米种子千克，付款金额为元，求与之间的函数解析式； （3）刘叔叔要购买5千克，周叔叔要购买10千克，两人采取总花费最少的方式合买再分种子，则刘叔叔应付款 元？ 【答案】（1）， （2） （3）22 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以分别计算出购买3千克和购买7千克种子需要付款的金额； （2）根据题意，可以分别写出和时对应的函数解析式； （3）根据题意，可知刘叔叔和周叔叔一起购买花钱最少，然后算出刘叔叔应付款的金额即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，一次性购买3千克“黄金1号”玉米种子，需要付款：（元）， 一次性购买7千克“黄金1号”玉米种子，需要付款：（元）； 【小问2详解】 解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，； 【小问3详解】 解：由题意可知，刘叔叔和周叔叔一起购买花钱最少， 将代入，得， 此时刘叔叔需要付款：（元）． 五．解答题（三）（本大题共 2 小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在不等式的专题拓展学习中，杨老师给出一个新定义：对于同一个未知数的两个不等式，如果它们的解集完全相同，则称这两个不等式为同解不等式．同解不等式在方程、函数、最值问题中有着广泛的作用，是连接等式与不等式的重要桥梁．根据定义，完成下列探究： （1）不等式与______同解不等式；（填“是”或者“不是”） （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，请求出a的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，请求出，的值． 【答案】（1）是 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义判断即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义列方程求解即可； （3）先分别求出两个不等式的解集，进而得到，的关系，根据，是正整数求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式得， 解不等式得， ∵两个不等式解集相同， ∴不等式与是同解不等式； 【小问2详解】 解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 解得； 【小问3详解】 解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 整理得． ，是正整数， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，结果为或或． 23. 在“综合与实践”数学活动课上，杨老师带领同学们开展“直角三角形拼接与线段探究”的专题研究．同学们用硬纸板制作了两个以点O为公共直角顶点的等腰直角三角形模型，将它们按固定位置拼放在同一平面内：如图，和均为等腰直角三角形．在活动中，同学们先连接线段、，探究两条线段的长度关系与位置关系；再将图形固定，结合中点、特殊角度等条件进行计算推理，请你和同学们一起完成以下探究任务． （1）【问题初探】①如图1，试判断与的数量关系，并说明理由； ②请直接写出与位置关系： ． （2）【解决分析】如图2，若点恰好在上，且为的中点，且，求的长度． （3）【学以致用】如图3，设与的交点为，若，，，请在图3中完成作图，并直接写出的长度为 ．（提示：连接，作交的延长线于点） 【答案】（1）①，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）①由、均为等腰直角三角形，得，，，可推，由证，可得；②结合全等的对应角相等与对顶角相等，可证两线段夹角为，即； （2）由为中点得，证明可得且；结合等腰直角三角形底角为，可证．在中，；在等腰中，解得； （3）由且，得垂直平分，故，在中，根据勾股定理求得，再在含的中算出、．在中由勾股定理解得，即可得到的值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：①略 ②设交于点，交于点，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为中点，， ∴，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 在中，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴ 解得； 【小问3详解】 解：作图如下： 由（1）可得，， 又， 是线段的垂直平分线， ， 由图可得，， ∵，，， ∴ 解得， ， ，且， 在中，，， ∴，即 解得（舍去负根）， 在中，，， ∴， ∴， 在中， 解得（舍去负根）， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， ． 【点睛】本题核心是共顶点双等腰直角三角形的手拉手全等模型，共顶点等角的等腰三角形优先用证全等，可得对应边相等且互相垂直；垂直平分线条件直接转化为线段相等．注意：先标注所有已知角度（避免角度计算错误），构造直角后验证边长关系，解后结合范围取舍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $