精品解析：广东佛山市南海区桂城街道龙湾实验学校2025-2026学年八年级下学期第二学期数学练习（二）

八年级第二学期练习（二） 数学学科 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件为分母不为，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义， ∵分式有意义时分母不能为， ∴， 解得：． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形外角和为固定值，结合多边形内角和公式列方程求解边数，即可得到答案. 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和恒为，且该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形内角和为 ， 又∵边形的内角和公式为， ∴列方程得 ， 解得 ，因此这个多边形是正六边形. 4. 已知， ，则代数式的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，先把所求代数式提取公因式，再把和的值代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 5. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A. 我爱美 B. 中华美 C. 爱我中华 D. 美我中华 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式分解因式，再利用平方差分解因式得到最多因式分解的结果，再根据每个因式对应的字即可得到答案． 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码是由爱，我，中，华这四个字组成的， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 6. 如图，将三角形沿 的方向移至三角形，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（ ） A. 35 B. 40 C. 56 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】由平移的性质可得，求出，再根据阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ， 阴影部分的面积为． 7. 如图，在 中，，是 的中点，过点作 的垂线交 于点，且 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图：连接，利用线段垂直平分线的性质得到，进而得到；再用定理证明得到，即，易得 ，结合直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：如图：连接， ∵是 的中点，， ∴是线段 的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即 ， ∵ ∴． 8. 若关于x的方程有增根，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 9. 目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约 千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据“时间路程速度”的关系，分别表示出两种挖掘方式的用时，再结合用时差列出方程． 【详解】解：设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，硬岩掘进机挖掘速度是传统钻爆法的倍， 硬岩掘进机的挖掘速度为千米/月， 总长度为 千米，且时间总路程速度， 传统钻爆法用时为个月，硬岩掘进机用时为个月， 硬岩掘进机用时缩短约个月，即传统钻爆法用时比硬岩掘进机多个月 可列方程 ． 10. 若不等式组 无解，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】 解不等式，得：； 解不等式，得：； ∵不等式组无解， ∴， 即： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是得出关于a的不等式． 二、填空题（共5小题，每题3分，计15分） 11. 若分式的值为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 分式的值为， ，且， ， 故答案为：． 12. 已知 ，则 __________． 【答案】16 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ ． 13. 如图，一次函数和相交于点且与x轴相交于点，则的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点与不等式的解集问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故答案为：． 14. 如图，在 中，，为 上一点，连接 ，过点作于点．若为 的中点，，的周长为14，则 的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据为线段 的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，设，则，然后根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为 的中点， ∴为线段 的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，， 即，解得， ∴． 15. 如图，在平行四边形中， ，，点为射线上一动点，连接，将绕点 逆时针旋转 得到，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】以 为边向下作等边，连接 ，易证得，于是可得，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，此时，利用勾股定理解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：如图，以 为边向下作等边，连接 ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知： ，， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， 此时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，巧妙添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，计21分） 16. 解方程、因式分解 （1）解方程： ； （2）因式分解： ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，最后检验即可得到分式方程的解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时， ， 是原分式方程的解． 【小问2详解】 解： ． 17. 求不等式组： 的所有整数解． 【答案】，，， 【解析】 【分析】根据运算法则解出不等式后再找整数解即可． 【详解】解：由①可得： ， 由②可得： ， ∴不等式的解集为：， ∴不等式的整数解为：，，，． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上． （1）将 向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）点M、N是x轴上的动点（点M在点N的左边），且，直接写出的最小值______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将 三个顶点向右平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）作出三个顶点关于点O对称的对应点，然后顺次连接即可； （3）作点B关于x轴的对称点，连接，，将向右平移1个单位得到，连接，则，，得到当点，N，C三点共线时，有最小值，最小值为的长度，然后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接，将向右平移1个单位得到，连接，则，， ∴， ∴， ∴当点，N，C三点共线时，有最小值，最小值为的长度， ∴， ∴的最小值为． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，计27分） 19. 如图，在 中，，是 的角平分线，于，点 在边 上，连接，若． （1）求证： ； （2）若， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质可得，进一步可证，得到 ，即可求解； （2）证得 ，结合可得即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是 的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 20. 阅读材料：根据代数式的特征进行如下变形后可将其因式分解． 例如： 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； 【拓展】（1）把代数式因式分解； （2）当时，求出的值． 【答案】【探究】； 【拓展】；或． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解、因式分解法解一元二次方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，利用材料中提供的思路解题． 【探究】读懂材料中的解题思路，根据材料中的解题思路先配方，配成完全平方公式，把多项式中的一部分利用完全平方公式分解因式，然后再利用平方差公式继续分解因式； 【拓展】仿照材料中的解题思路分解因式即可； 根据中分解因式的解果可知，把二元二次方程转化为两个二元一次方程，从而可求的值． 【详解】【探究】解： ； 【拓展】解： ； ， ， 或， 由 可得：， 由可得：， 或． 21. 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天． 素材2 经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高 ．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包? 任务2 探究抽走人数 甲、乙每个车间被抽走了多少人? 任务3 拟定设计方案 甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少?最少需要多少元? 【答案】任务1：甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个；任务2：甲、乙每个车间被抽走了3人；任务3：甲车间安排4天，乙车间安排29天，总费用W最小值为58840元 【解析】 【分析】任务1：设乙车间每天能生成x个旅行包，则甲车间每天能生成2x个旅行包，根据题意列出方程求解即可； 任务2：由题意可求得甲乙两车间的人数，设甲乙车间各被抽走人，根据“策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高 ”列出方程即可； 任务3：设甲工作m天，乙工作n天．由任务2，知：，可得总费用，由，可知，W随的增大而减少，由知为4的倍数，所以最大值为29，因此当时，计算出总费用W即可． 【详解】解：任务1：设乙车间每天能生成x个旅行包，则甲车间每天能生成2x个旅行包，则 由题意得，得，即． 答：甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个． 任务2：由题意知：甲车间共有人，乙车间共有人． 设甲乙车间各被抽走人，则 ， 解得． 答：甲、乙每个车间被抽走了3人． 任务3：设甲工作m天，乙工作n天． 由任务2，知：，即， 总费用． ∵，W随的增大而减少， 由知为4的倍数，所以最大值为29． 因此当时，总费用W最小值为58840元．也就是甲车间安排4天，乙车间安排29天． 【点睛】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数与实际问题，解决问题的关键在于设出未知数，找准等量关系，列出方程和函数关系． 五、解答题（三）（共2小题，22题13分，23题14分，计27分） 22. 阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点 在正方形的边上，斜边交 于点，连接，求证：．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出证明过程； （2）（学以致用）如图，若等腰的直角顶点 在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交 的延长线于点，连接，猜想线段， ，满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角 中，， 为 内部一点，若 ，则的最小值______． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得 ，，，，由“”可证，可得 ，可得结论； （2）由旋转的性质可得 ，，，由“”可证，可得 ，可得结论； （3）由旋转的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，当点，点，点 ，点 四点共线时，有最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，将绕点 顺时针旋转 到， ，，，， ， 点，点，点三点共线， ，， ， ， ， 又，， ， ， ； （2），理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转 到， ，，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ； （3）如图，将绕点顺时针旋转 ，得到，连接，，过点作，交 的延长线于， ，，，， 是等边三角形， ， ， ∴当点，点，点 ，点 四点共线时，有最小值为的长， ，， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 阅读与思考：观察下列式子：，，，， （1）（探索规律）用正整数表示上述式子的规律是______； （2）（问题解决）容器里有升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这升水能否倒完？说明理由； （3）（拓展探究）化简：． 【答案】（1）； （2）不能倒完，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，分式的化简，根据题意找出规律是解题关键． （1）观察所给式子，即可得到规律； （2）根据（1）所得规律，计算第次倒出后剩余的水量，即可得到答案； （3）根据将式子分解，再计算即可． 【小问1详解】 解：观察所给式子可知，等号左边为分数，分子是1，分母为相邻两个整相邻数的积，等号右边为相同的相邻整式的倒数的差， 则用正整数表示上述式子的规律是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：不能倒完，理由如下： 第次倒出后剩余的水量为 ， 即这升水不能倒完； 【小问3详解】 解： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第二学期练习（二） 数学学科 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 4. 已知， ，则代数式的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 5. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A. 我爱美 B. 中华美 C. 爱我中华 D. 美我中华 6. 如图，将三角形沿 的方向移至三角形，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（ ） A. 35 B. 40 C. 56 D. 64 7. 如图，在 中，，是 的中点，过点作 的垂线交 于点，且 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的方程有增根，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 9. 目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约 千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式组 无解，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，计15分） 11. 若分式的值为，则__________． 12. 已知 ，则 __________． 13. 如图，一次函数和相交于点且与x轴相交于点，则的取值范围为___． 14. 如图，在 中，，为 上一点，连接 ，过点作于点．若为 的中点，，的周长为14，则 的长为_______． 15. 如图，在平行四边形中， ，，点为射线上一动点，连接，将绕点 逆时针旋转 得到，连接，则的最小值为_________． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，计21分） 16. 解方程、因式分解 （1）解方程： ； （2）因式分解： ． 17. 求不等式组： 的所有整数解． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上． （1）将 向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）点M、N是x轴上的动点（点M在点N的左边），且，直接写出的最小值______． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，计27分） 19. 如图，在 中，，是 的角平分线，于，点 在边 上，连接，若． （1）求证： ； （2）若， ，求的长． 20. 阅读材料：根据代数式的特征进行如下变形后可将其因式分解． 例如： 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； 【拓展】（1）把代数式因式分解； （2）当时，求出的值． 21. 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天． 素材2 经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高 ．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包? 任务2 探究抽走人数 甲、乙每个车间被抽走了多少人? 任务3 拟定设计方案 甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少?最少需要多少元? 五、解答题（三）（共2小题，22题13分，23题14分，计27分） 22. 阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点 在正方形的边上，斜边交 于点，连接，求证：．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出证明过程； （2）（学以致用）如图，若等腰的直角顶点 在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交 的延长线于点，连接，猜想线段， ，满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角 中，， 为 内部一点，若 ，则的最小值______． 23. 阅读与思考：观察下列式子：，，，， （1）（探索规律）用正整数表示上述式子的规律是______； （2）（问题解决）容器里有升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这升水能否倒完？说明理由； （3）（拓展探究）化简：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $