【人教A版专题11】2026年高一数学必修第二册期末综合限时小卷（一）

**基本信息** 聚焦必修第二册核心模块，以限时训练整合复数、向量、立体几何及统计概率知识，通过多样化题型发展抽象能力、空间观念与数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|1单|纯虚数概念辨析|从定义到参数求解，强化概念应用| |平面向量|2单1填|投影向量、夹角（钝角）计算|向量运算与几何意义结合，突出数量积应用| |立体几何|1单1多1解|线面关系判断、正方体截面及线面角|从空间直观到逻辑推理，构建判定-证明-计算链条| |统计与概率|1单1多1解|方差计算、频率分布直方图及概率|数据处理与随机思想融合，体现统计应用价值|

2026年高一数学必修第二册期末综合限时小卷（一） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册全册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数为纯虚数，则实数的值为(    ) A. B. 或 C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查纯虚数的定义，属于基础题． 根据纯虚数的定义，得到需满足的式子，求解即可． 【解答】 解：复数为纯虚数， 则，解得． 故选：． 2.已知，，，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【详解】由得，，设与的夹角为，且，则，解得， 所以在上的投影向量为故选C． 3.不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是(    ) A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查平面平行的判断所应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 利用平面平行的判定定理，对四个选项分别进行判断，能够得到正确答案． 【解答】 解：由不同的直线和，不同的平面，，，知： 若，，，则与相交或平行，故A不正确； 若，，，则由平面平行的判定定理知，故B正确； 若，，则与相交或平行，故C不正确； 若，，，则与相交或平行，故D不正确． 故选B． 4.已知一组数据的平均数是，方差是，且这组数据的平方和是这组数据和的平方的，则这组数据的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查平均数，方差的应用，属于中档题． 根据平均数，方差的计算公式，结合已知列式求解即可． 【解答】 解：设这组数据分别为，，，，则，，从而因为这组数据的平方和是这组数据和的平方的，所以，解得． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是(    ) A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式，属于较难题． 利用互斥事件的概率公式可判断选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断选项；利用独立事件的概念可判断选项；由交事件的定义可判断选项． 【解答】 解：对于选项，若与互斥，则，对； 对于选项，若与相互独立，则， 所以，，对； 对于选项，若，且， 所以，事件与相互独立，对； 对于选项，若，则，所以，，错． 故选：． 6.如图，已知正方体的棱长为，，，，分别为，，，的中点，则(    ) A. 平面 B. 平面 C. 点，到平面的距离相等 D. 平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】ACD  【解析】【分析】本题主要考查正方体的结构特征，线面垂直的判定定理，线面平行的判定，截面问题，属于中档题． 根据正方体的结构特征，结合各选项，逐项判断即可． 【解答】 解：如图，取中点，中点，中点，则平面即平面， 连接，平面，平面，，，，，平面，，，，同理可证，，，平面，平面，故A正确； 根据，关于截面对称，所以，点，到平面的距离相等，故C正确； 此平面为正六边形，面积为，D正确． 对于，若平面，平面，平面平面，而与 不平行，所以与平面不平行行， B错误． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量坐标运算与数量积及夹角的运算，属于基础题． 根据向量夹角为钝角列不等式，再排除方向相反时的值，即可得到答案． 【解答】 解：，且为钝角，所以，解得， 当时，，此时与夹角为，不成立， 且． 故答案为． 8.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平面图形的直观图与原平面图形之间的关系应用问题，是基础题． 把的直观图还原出原平面图形，根据直观图的画法规则求出、，利用勾股定理求出的值． 【解答】 解：把的直观图还原出原平面图形，如图所示： 根据直观图的画法规则知，，， 所以， 所以的周长为． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查现从参与者中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示． 求样本中数据落在的频率； 求样本数据的第百分位数； 若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率． 【答案】解：解：依题意，样本中数据落在的频率为 解：样本数据的第百分位数落在第四组， 且第百分位数为 ． 与两组的频率之比为， 现从和两组中用分层抽样的方法抽取人， 则组抽取人，记为，， 组抽取人，记为，，，． 所有可能的情况为，，，，，，，，，， ，，，，，共种． 其中至少有人的年龄在的情况有，，，，，，， ，，共种， 记“抽取的人中至少有人的年龄在组”为事件， 则．  【解析】本题考查频率分布直方图、百分位数和古典概型的计算和应用． 利用概率和为求解 由题意可得样本数据的第百分位数落在第四组，再按百分数位定义求解即可 先求出抽取人数中年龄在的有人，在的有人，用列举法求解即可． 10.本小题分 如图，在四棱锥，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，   设，分别为，的中点，求证：平面；   求证：平面；   求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】证明：如图： 证明：连接，由题意得，， 又由，得， 平面，平面， 平面； 证明：取棱中点，连接， 依题意得， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， 又，， 平面，平面， 平面； 解：连接，由中平面， 知是直线与平面所成角， 是等边三角形，，且为中点， ， 又平面，， ， 在中，． 直线与平面所成角的正弦值为．  【解析】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于拔高题． 连接，由题意得，，由，得，由此能证明平面； 取棱中点，连接，推导出，从而平面，进而，再上，能证明平面； 连接，由平面，知是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学必修第二册期末综合限时小卷（一） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册全册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数为纯虚数，则实数的值为(     ) A. B. 或 C. D. 2.已知，，，则在上的投影向量为(     ) A. B. C. D. 3.不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是(     ) A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 4.已知一组数据的平均数是，方差是，且这组数据的平方和是这组数据和的平方的，则这组数据的个数是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是(     ) A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 6.如图，已知正方体的棱长为，，，，分别为，，，的中点，则(     ) A. 平面 B. 平面 C. 点，到平面的距离相等 D. 平面截该正方体所得截面的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是           ． 8.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查现从参与者中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示． 求样本中数据落在的频率； 求样本数据的第百分位数； 若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率． 10.本小题分 如图，在四棱锥，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，   设，分别为，的中点，求证：平面；   求证：平面；   求直线与平面所成角的正弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学必修第二册期末综合限时小卷（一） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册全册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数为纯虚数，则实数的值为(     ) A. B. 或 C. D. 2.已知，，，则在上的投影向量为(     ) A. B. C. D. 3.不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是(     ) A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 4.已知一组数据的平均数是，方差是，且这组数据的平方和是这组数据和的平方的，则这组数据的个数是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是(     ) A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 6.如图，已知正方体的棱长为，，，，分别为，，，的中点，则(     ) A. 平面 B. 平面 C. 点，到平面的距离相等 D. 平面截该正方体所得截面的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是           ． 8.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查现从参与者中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示． 求样本中数据落在的频率； 求样本数据的第百分位数； 若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率． 10.本小题分 如图，在四棱锥，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，   设，分别为，的中点，求证：平面；   求证：平面；   求直线与平面所成角的正弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $