精品解析：上海市宝山实验学校2025-2026学年第二学期 七年级期末考试数学试卷

上海市宝山区2025-2026学年第二学期宝山实验学校七年级期末考试数学试卷 2025学年第二学期七年级数学期末测试卷 一、单选题（每题2分） 1. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点，不包含用空心点解答即可． 【详解】解：由数轴图可知，该不等式组的解集是． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 两个全等三角形的周长相等 C. 面积相等的两个三角形一定全等 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 3. 如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 4. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 5. 已知在中，，D为上一点，且，要在线段的延长线上求作一点E，使得，垂足为C．下面选项中尺规作图的痕迹错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．由作法可知，符合题意； B．由作法可知， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； C．由作法可知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由B可知，，符合题意； D．由作法可知，由此作法无法说明，故不符合题意． 6. 如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用折叠对应角相等、等腰三角形底角相等，结合三角形外角与内角和定理建立方程，化简推导两角数量关系即可． 【详解】解：设，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 在中，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 二、填空题（每题3分） 7. 已知，则_______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质对已知不等式进行变形，即可比较两个代数式的大小． 【详解】解：，不等式两边同时乘以，根据不等式的性质，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加上，根据不等式的性质，不等号方向不变，得． 8. 在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】确定两个角对应的对边，利用大角对大边即可比较边长大小． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：在同一个三角形中，大角对大边． 的对边为，的对边为， 已知， 可得，即． 9. 如图，直线是起跳线，脚印是小明跳入沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段________的长度作为小明此次的跳远成绩． 【答案】 【解析】 【分析】根据跳远成绩的测量规则，即测量后脚脚后跟落地点到起跳线的垂直距离，结合图形中的垂直符号确定对应的线段． 【详解】解：根据跳远运动的规则，成绩是后脚脚后跟落地点到起跳线的垂直距离． 由图可知，线段垂直于起跳线，线段不垂直于起跳线，点P不是后脚脚后跟， 因此，体育老师测得线段的长度作为小明此次的跳远成绩． 10. 如图，直线，相交于点，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角相等得到，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ． 11. 如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】举反例说明其为假命题即可． 【详解】解：取，，符合， 此时， ∴如果，那么，这个命题是假命题． 12. 等腰三角形的两边a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：，且，， ， 解得， 该三角形是等腰三角形， 三边长为或， ，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去， 等腰三角形的周长为． 13. 如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有3个整数解， ∴这3个整数解为，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解题的关键． 16. 如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 【答案】4或11 【解析】 【分析】根据中线的性质可得，然后分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． 17. 如图，中，，，，，E、F分别为、上两动点，连接，，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到点关于直线对称，利用对称点的性质，将求的最小值转化为求的最小值，再利用点到直线垂线段最短求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ， ∵，，， ∴， 即， 解得， ∵， ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴点关于直线对称， ∴， ∴的最小值为． 18. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据等腰△ABC的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为x，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用x表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用x表示出三个内角的度数，再分三种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解x． 【详解】∵，， ∴， ∵折叠， ∴，设， ∴，，， 又∵， ∴； 且平分， ∴， 结合， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为、或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠变换的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想相关知识点，其中利用折叠性质和角平分线定义推导线段角的关系、证明三角形全等，再结合分类讨论思想分析等腰三角形的不同情况是解题的关键． 三、解答题（19题5分，20、22题6分，21、24题8分，23题7分，25题12分） 19. 解不等式． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 不等式两边同乘4，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20. 解不等式组：，并写出满足不等式组的所有整数解． 【答案】；整数解为，，，， 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式，再取公共部分得到不等式的解集，最后在解集中写出所有整数解即可. 【详解】 解不等式①，得 解得， 解不等式②，得 解得， 原不等式组的解集为 不等式组的所有整数解为，，，，． 21. 为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． （1）求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1520元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元； （2）学校共有3种购买方案，分别是：方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种图书的单价为未知数，根据题干给出的两种购买总花费列出二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设购买甲种图书的数量，根据题目中的购买限制条件列出一元一次不等式组，取范围内的正整数即可得到所有购买方案． 【小问1详解】 解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元． 根据题意得， 解得， 答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元； 【小问2详解】 解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本． 根据题意得， 解不等式，得； 解不等式，得； 解不等式得，； ∴不等式组的解集为． ∵为正整数， ∴的取值为． 答：学校共有3种购买方案，分别是：方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本．方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本．方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本． 22. 如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】是角平分线可得，已知，且两个三角形有公共边．所以可根据判定定理证明．由全等三角形对应角相等，可得，如果，那么，即可推出． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，平分交于点D，且，求证：． 【答案】证明：如图，在边上取点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】在边上取点，使，连接，由角平分线的定义可得，再利用证明，可得，，，再结合三角形外角的定义及性质得出，推出，即可得证． 【详解】略． 24. 综合与实践． 【了解定义】如图1，在和中，，，点，在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． （1）【探究性质】小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小明利用图1给出如下已知、求证，请帮助小明完成证明． 已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． （2）【探究运用】如图 2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【答案】（1）证明：和是同位等腰三角形， ． ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是同位等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）利用同位等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． （1）直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； （2）当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； （3）连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； （4）当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 【答案】（1），， （2）存在， （3）当运动时间为秒时直线平分四边形的面积 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转、轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的定义等知识． （1）根据旋转、轴对称的性质求解即可； （2）已知，，要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，只需，列出方程求解即可； （3）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论，用含的方程表示出左侧梯形的面积，解方程即可； （4）分点在上运动和点在边上运动两种情况讨论：当点在上运动时，是以为底的等腰三角形；当点在边上运动时，只可能是以为底的等腰三角形，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵绕斜边的中点旋转得到， ∴， ∴，，． 又∵沿翻折得到， ∴，且共线， ∴． 当点在边上运动时， ∵，，∴. 当点在边上运动时，从点到点的运动时间为秒，速度为个单位长度/秒， ∴． 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：当在边上运动时，，，. ∵，， ∴要使点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 只需，即，解得； 【小问3详解】 解：如图，当点在上运动时，直线交于点,，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 易得四边形的面积为， ∴当直线平分四边形的面积时， 四边形的面积为，即，解得=； 如图，当点在边上运动时，，，， ∴， 四边形的面积为，即，解得=(不满足题意)． 综上，当运动时间为秒时直线平分四边形的面积； 【小问4详解】 解：由（3），当点在上运动时，，△是以为底的等腰三角形； 当点在边上运动时，∵，， ∴△只可能是以为底的等腰三角形，． 如图，连接，过点作，则，， 在和中，， ∴， ∴，即，解得． 综上，当满足或时，，是以为底或以为底的等腰三角形． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市宝山区2025-2026学年第二学期宝山实验学校七年级期末考试数学试卷 2025学年第二学期七年级数学期末测试卷 一、单选题（每题2分） 1. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 两个全等三角形的周长相等 C. 面积相等的两个三角形一定全等 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 3. 如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 5. 已知在中，，D为上一点，且，要在线段的延长线上求作一点E，使得，垂足为C．下面选项中尺规作图的痕迹错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分） 7. 已知，则_______．（填“”、“”或“”） 8. 在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 9. 如图，直线是起跳线，脚印是小明跳入沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段________的长度作为小明此次的跳远成绩． 10. 如图，直线，相交于点，，，则的度数为______． 11. 如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 12. 等腰三角形的两边a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 13. 如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 14. 如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 15. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________． 16. 如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 17. 如图，中，，，，，E、F分别为、上两动点，连接，，则的最小值为_______． 18. 如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 三、解答题（19题5分，20、22题6分，21、24题8分，23题7分，25题12分） 19. 解不等式． 20. 解不等式组：，并写出满足不等式组的所有整数解． 21. 为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． （1）求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1520元，请问学校共有哪几种购买方案？ 22. 如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，，连接．求证：． 23. 如图，在中，平分交于点D，且，求证：． 24. 综合与实践． 【了解定义】如图1，在和中，，，点，在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． （1）【探究性质】小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小明利用图1给出如下已知、求证，请帮助小明完成证明． 已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． （2）【探究运用】如图 2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 25. 如图，在中，∠=，，，，将绕斜边中点旋转得到，再将沿翻折得到．动点从出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，动点从出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，再沿以每秒个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒()． （1）直接写出线段的长为 ；用含的式子表示：当点在边上运动时，的长为 ，当点在边上运动时，的长为 ； （2）当点在边上运动时， 是否存在值，使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，求出符合条件的值，若不存在，请说明理由； （3）连接，当直线平分四边形的面积时，求的值； （4）当满足 条件时，是以为底或以为底的等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $