精品解析：上海市宝山区上海大学附属宝山外国语学校2024-2025学年七年级 下学期期末数学试卷

2024学年第二学期初一年级数学期末考试 时间：90分钟 满分：100分 （本次考试不得使用计算器，请将正确答案填写在答题纸上，写在试卷上无效） 一、选择题（每题3分，共12分） 1. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法，根据即可判定，故可求解． 【详解】解：∵点A、C、E在同一条直线上， ∴， 又由题意得：， ∴， 故选：D． 2. 直角坐标平面内，若点M绕原点逆时针旋转到点．点M绕原点顺时针旋转到点Q，则点Q坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是绕原点旋转或后点的坐标特点，由点M绕原点逆时针旋转到点，点M绕原点顺时针旋转到点Q，可得关于原点对称，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∵点M绕原点逆时针旋转到点，点M绕原点顺时针旋转到点Q， ∴关于原点对称， ∴点Q坐标为. 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A. ①④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用全等三角形的判定方法，将各选项逐一证明判定即可． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，符合题意， 如图，在和中，，且中线，且，则，理由如下： 延长，使得，连接，则， ， ， ， 同理可证， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 又， ； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意； 反例：如下图，在和中，，高， 但和不一定全等； ③两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图： 在和中，，第三边上高都是，两个三角形不全等，是假命题，故不符合题意； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，故本选项符合题意； 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 是中线， ， ， ， ， ， ， ， 则说法正确的是①④， 故选：A． 4. 如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②④；根据和判断③即可． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；故④正确； ，， ， ， ， ，故③错误； 故选：C． 二、填空题（第5到14题每题2分，第15到20题每题3分） 5. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6. 与关于x轴对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 7. 等腰三角形的周长为30，则腰长x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，一元一次不等式组，三角形三边关系的应用等．根据题意用含的代数式表示底边长，继而利用三角形三边关系列出一元一次不等式即可得到本题答案． 【详解】解：∵等腰三角形周长为30，腰长为x， ∴底边为：， 由三角形的三边关系，得 ， 解得， 故答案为：． 8. 等腰三角形的两边长分别为和，则其周长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法运算，分长的边为腰和长为的边为腰，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当长为的边为腰时，周长为； 当长为的边为腰时，周长为； 故答案为：或． 9. 凸六边形共有_______组同旁内角． 【答案】6 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，和，和，共有6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角定义． 10. 如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【答案】56 【解析】 【分析】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，再由角平分线确定，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与分别是外角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 11. 如图，，，用和表示，_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 13. 三角形中最大角是最小角的4倍，则最小角的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理列出不等式是解题的关键． 因为是它的最小角，所以设最大角是，中的角是，则，又．列出不等式组，求解即可． 【详解】因为是它的最小角，所以设最大角是，中的角是，则，又． 由， 可得，即， 可得，即， 所以最小角的取值范围为． 故答案为：． 14. 如图，和是等边三角形且，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边三角形的性质的应用，能求出是解此题的关键，难度适中．根据等边三角形性质得出求出，证，根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可 【详解】解：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 15. 在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．延长到，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，中，，则_______ 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，先根据等腰三角形的性质得出，，设，则，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示出，即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，， 设， 则， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 即， 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为，点B的坐标为．已知点与点A关于x轴对称，点与点B关于y轴对称，是一个等腰直角三角形且，则点A的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质，点的坐标特征，由题意可得，，从而可得，由等腰直角三角形的定义可得、、的纵坐标相等，，从而得出，，联立①②求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点与点A关于x轴对称，点与点B关于y轴对称，点A、点B均在第二象限， ∴，， ∴， 点与点关于轴对称， 故线段垂直于轴。 又因是直角三角形且， 故垂直于， 即平行于轴， 所以点与点的纵坐标相等， ∴， ∵，，、、的纵坐标相等， ∴， ∴， 联立①②解得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，，E、F分别是边、上，若，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由题意可得，，，证明，得出，，即可推出为等腰直角三角形，求出，由勾股定理可得，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是等腰直角三角形，，D是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：． 19. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点．利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 20. 如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出． 【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点， ∵．， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 三、计算题（每题4分，16分） 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减法则进行计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质可得：原式，根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 23. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 24. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式把式子化简，再进行计算． 【详解】解： ． 四、解答题（第25、26题、28题每题6分，27题8分，29题8分） 25. 已知，，求的值． 【答案】23 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形求值，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和分式加减的运算法则．由题意得，，根据二次根式的性质将变形为，然后代入变为，再根据分式加减运算法则和完全平方公式进行变形求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 26. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：（已知）， （①_______）． ，（②_______）， （③_______）， （已知）， ④_______（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤________）， （⑥_______）． 【答案】①两直线平行，内错角相等；②平角定义；③等角的补角相等；④；⑤全等三角形对应角相等；⑥内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．根据推导过程，写出理由即可，再证，可得出，从而． 【详解】解：（已知）， （①两直线平行，内错角相等）． ，（②平角定义）， （③等角的补角相等）， （已知）， ④（等式性质），即． 和中， ， ， （⑤全等三角形对应角相等）， （⑥内错角相等，两直线平行）． 27. 直角坐标系中，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标A、B、C分别为， （1）求三角形的面积 （2）以点C为旋转中心，将三角形旋转得到三角形，直接写出点的坐标． （3）已知，在x轴上找点P使得三角形为等腰三角形，在图中画出点P并写出点P坐标． 【答案】（1） （2）， （3）作图见解析；点P坐标为：，，，． 【解析】 【分析】（1）用割补法求出的面积即可； （2）根据旋转的性质和中点坐标求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵以点C为旋转中心，将三角形旋转得到三角形， ∴点C为的中点，点C为的中点， ∵， ∴，， 即，； 【小问3详解】 解：当时，点P在点和的位置处，如图所示： 此时，； 当时，如图，点P在点位置处，此时点； 当时，如图，点P在点位置处，此时点； 综上分析可知：点P的坐标为：，，，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，利用网格求三角形的面积，等腰三角形的定义，中点坐标公式，坐标与图形综合，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 28. 如图，分别平分过点E．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形，熟练掌握平行线性质，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，余角、补角性质，是解题的关键． 在上截取，连结，利用角平分线的性质和平行线性质证明，，得，即得． 【详解】证明：在上截取，连结， ∵分别是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 29. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，， （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【小问1详解】 解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期初一年级数学期末考试 时间：90分钟 满分：100分 （本次考试不得使用计算器，请将正确答案填写在答题纸上，写在试卷上无效） 一、选择题（每题3分，共12分） 1. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是（ ） A. B. C. D. 2. 直角坐标平面内，若点M绕原点逆时针旋转到点．点M绕原点顺时针旋转到点Q，则点Q坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） ①两边及第三边上中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A. ①④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 4. 如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（第5到14题每题2分，第15到20题每题3分） 5 化简：_______． 6. 与关于x轴对称点的坐标为_______． 7. 等腰三角形的周长为30，则腰长x的取值范围是_______． 8. 等腰三角形的两边长分别为和，则其周长为_______． 9. 凸六边形共有_______组同旁内角． 10. 如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 11. 如图，，，用和表示，_______． 12. 把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___． 13. 三角形中最大角是最小角的4倍，则最小角的取值范围是_______． 14. 如图，和是等边三角形且，则_______°． 15. 在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 16. 如图，中，，则_______ 17. 在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为，点B的坐标为．已知点与点A关于x轴对称，点与点B关于y轴对称，是一个等腰直角三角形且，则点A的坐标为_______． 18. 如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，，E、F分别是边、上，若，，则的面积为_______． 19. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________时，能够使与全等． 20. 如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______． 三、计算题（每题4分，16分） 21. 计算： 22. 计算： 23. 计算： 24. 计算： 四、解答题（第25、26题、28题每题6分，27题8分，29题8分） 25. 已知，，求的值． 26. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：（已知）， （①_______）． ，（②_______）， （③_______）， （已知）， ④_______（等式性质），即． 在和中， ， ， （⑤________）， （⑥_______）． 27. 直角坐标系中，在由边长为1个单位长度小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标A、B、C分别为， （1）求三角形的面积 （2）以点C为旋转中心，将三角形旋转得到三角形，直接写出点的坐标． （3）已知，在x轴上找点P使得三角形为等腰三角形，在图中画出点P并写出点P坐标． 28. 如图，分别平分过点E．求证：． 29. 通过对下面数学模型研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $