精品解析：宁夏回族自治区银川市湖畔中学2025-2026学年中考前模拟考试 九年级数学 试卷

银川市湖畔中学2025-2026学年第三次模拟考试 九年级数学 试卷 （时间120分钟，总分120分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年9月3日，“打击范围覆盖全球”的东风-5C液体洲际战略核导弹亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风-5C洲际导弹的照片及其示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系内的点，P点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 下列判断正确的是（ ） A. 命题“如果，那么”是真命题 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 D. 的立方根是 8. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 河南省政府新闻办2026年1月21日通报，根据地区生产总值统一核算结果，2025年河南省地区生产总值（）达5697亿元，按不变价格计算，同比增长．其中数据“5697亿”用科学记数法表示为___________ 10. 如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 11. 如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 12. 如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的概率为_______． 13. 设方程的正根介于整数与之间，则____________． 14. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 15. 观察下列图形中的数字排列规律，b，c满足的关系式为______________________． 16. “银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为63m．某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B，此时B到水平台MN的距离恰好为95.5m，则轿厢所经过的路径（即劣弧AB）长度为 __________ m．（结果保留） 三、解答题（本题共10小题，其中1722题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算∶ 18. 先化简，再从－2，0，2中选择一个合适的值代入求值． 19. 实验活动：仅用一把圆规作图． （1）【任务阅读】如图1，仅用一把圆规在内部画一点P，使点P在的平分线上． 小明的作法如下： 如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，则点P为所求点． 理由：如图3，连接、、，由作图可知，，又因为，所以            ，所以，所以平分，即点P为所求点． （2）【实践操作】如图4，已知直线及其外一点P，只用一把圆规画一点Q，使点P、Q所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 21. 豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动中随机抽取了 个豌豆荚，图中    ． （2）所调查豆子粒数的中位数落在 类中．（只填写字母） （3）若这批豌豆荚共有800个，估计豆子粒数不少于6粒的豌豆荚共有多少个？ （4）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由． 22. “塞上江南·神奇宁夏”文旅活动火热开展，某研学机构组织学生前往镇北堡西部影城研学，计划统一采购枸杞礼盒和滩枣礼盒作为伴手礼．已知购买2盒枸杞礼盒、3盒滩枣礼盒共需240元；购买3盒枸杞礼盒、1盒滩枣礼盒共需220元． （1）求每盒枸杞礼盒、每盒滩枣礼盒的售价分别是多少元？ （2）该机构准备一次性采购两种礼盒共80盒，且枸杞礼盒数量不少于滩枣礼盒数量的2倍．该机构怎样购买最省钱？最低购买费用是多少元？ 23. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图1直接写出不等式的解集为______． （4）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为______． 24. 如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，，相交于点．是上一点，交于点，且，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 25. 2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． （1）求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； （2）若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） （3）若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 26. 综合与实践 折纸是一种常见的游戏，综合实践小组以“正方形的折叠”为主题开展活动． 操作判断 操作一：如图，将正方形纸片折叠，使得折痕，把纸片展平． 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，连接，把纸片展平． 操作三：连接并延长交于点，连接交于点，若． 根据以上操作，回答下列问题： （1）下列结论正确的是______． ①平分； ②； ③是等腰三角形． （2）如图1，当时，的度数为______，与的数量关系为______． （3）如图2，当时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展应用 （4）如图3，在矩形中，点在边上，把沿翻折得，点在边上，平分，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市湖畔中学2025-2026学年第三次模拟考试 九年级数学 试卷 （时间120分钟，总分120分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板的应用，平行线的性质，根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：如答图， 由题意，得， ， ， ， ， ． 故选：B． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项法则，幂的乘方，完全平方公式逐一判断选项的正误； 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变指数相加，可得 ，∴A正确. 与不是同类项，不能合并，∴B错误. 根据幂的乘方法则，，∴C错误. 根据完全平方公式，，∴D错误； 4. 2025年9月3日，“打击范围覆盖全球”的东风-5C液体洲际战略核导弹亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风-5C洲际导弹的照片及其示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：东风-5C洲际导弹的俯视图为． 5. 平面直角坐标系内的点，P点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，列出不等式组，通过判断不等式组是否有解，确定点不可能所在的象限． 【详解】解：A、若点在第一象限，则，解不等式得，解不等式得，故该不等式组无解，因此点不可能在第一象限； B、若点在第二象限，，解不等式得，解不等式得，故该不等式组的解为，因此点可能在第二象限； C、若点在第三象限，，解不等式得，解不等式得，故该不等式组的解为，因此点可能在第三象限； D、若点在第四象限，则，解不等式得，解不等式得，故该不等式组的解为，因此点可能在第四象限． 6. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 7. 下列判断正确的是（ ） A. 命题“如果，那么”是真命题 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 D. 的立方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，用到平方的性质、矩形的判定、三角形外心的性质和立方根的定义，逐一判断各选项即可得出结论； 【详解】解： 可得 或 ，举反例：时，满足 ，但 ，该命题是假命题，A错误； 只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的任意四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形， B错误； 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心， C错误； ， 的立方根是 ，D正确； 8. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 河南省政府新闻办2026年1月21日通报，根据地区生产总值统一核算结果，2025年河南省地区生产总值（）达5697亿元，按不变价格计算，同比增长．其中数据“5697亿”用科学记数法表示为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先将带单位“亿”的数换算为标准形式，再根据科学记数法的定义写出正确结果即可； 【详解】解：亿，亿； 10. 如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 11. 如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【答案】 ##36度 【解析】 【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 12. 如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定空白小正方形的总个数，作为所有等可能结果的总数；然后根据正方体展开图的结构特征，找出能与阴影部分组成正方体展开图的空白小正方形的个数；最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：网格中共有个小正方形，阴影部分有个小正方形， 则空白小正方形共有个， 即共有种等可能的结果， 根据正方体展开图的特征， 若选择第一行第列的空白小正方形，与阴影部分组成“”型正方体展开图，符合题意； 若选择第二行第列的空白小正方形，与阴影部分组成“”型正方体展开图，符合题意； 若选择第一行第列、第二行第列、第三行第列的空白小正方形，均会出现“田”字型结构，不能组成正方体展开图； 若选择第一行第列、第三行第列的空白小正方形，图形不连通，不能组成正方体展开图； ∴能与阴影部分组成正方体展开图的空白小正方形有个， 则所求概率 13. 设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 14. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 15. 观察下列图形中的数字排列规律，b，c满足的关系式为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给个数，发现三个位置数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为，，，，， 所以； 因为，，，，， 所以， 则， 所以， 即，的关系为． 16. “银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为63m．某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B，此时B到水平台MN的距离恰好为95.5m，则轿厢所经过的路径（即劣弧AB）长度为 __________ m．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据摩天轮最高点高度和圆心高度求出圆的半径，然后过点作圆心所在水平线的垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出圆心角的一部分，结合点的位置求出的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设摩天轮的圆心为，半径为，由题意可知，最高点离水面平台的距离为，圆心到的距离为， ∴， 过点作水平线过点B作于点C， ∵点B离水面平台的距离为，圆心到的距离为， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵点为最低点， ∴， ∴ ∴劣弧的长度为． 三、解答题（本题共10小题，其中1722题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算∶ 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识进行计算即可． 【详解】解： 18. 先化简，再从－2，0，2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ． ∵，－2， ∴． ∴原式． 19. 实验活动：仅用一把圆规作图． （1）【任务阅读】如图1，仅用一把圆规在内部画一点P，使点P在的平分线上． 小明的作法如下： 如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，则点P为所求点． 理由：如图3，连接、、，由作图可知，，又因为，所以            ，所以，所以平分，即点P为所求点． （2）【实践操作】如图4，已知直线及其外一点P，只用一把圆规画一点Q，使点P、Q所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2）解：如图，为所求： 证明：连接， 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 【解析】 【分析】（1）根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； （2）以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下： ∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动中随机抽取了 个豌豆荚，图中    ． （2）所调查豆子粒数的中位数落在 类中．（只填写字母） （3）若这批豌豆荚共有800个，估计豆子粒数不少于6粒的豌豆荚共有多少个？ （4）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由． 【答案】（1）， （2）C （3） （4）解：不能， 理由是： 样本容量太小，样本不具有代表性，且两个样本容量不一样，没有可比性． 【解析】 【分析】（1）根据B类的数量和对应的百分比即可求出总数，再根据对应的百分比和总量减部分即可求出答案； （2）根据中位数的定义进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想求解即可； （4）根据选取样本的特点进行分析即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，（个） ． 【小问2详解】 解：由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数， ∵， ∴所调查豆子粒数的中位数落在C类中； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴这批豌豆荚共有800个，估计豆子粒数不少于6粒的豌豆荚共有个． 【小问4详解】 略 22. “塞上江南·神奇宁夏”文旅活动火热开展，某研学机构组织学生前往镇北堡西部影城研学，计划统一采购枸杞礼盒和滩枣礼盒作为伴手礼．已知购买2盒枸杞礼盒、3盒滩枣礼盒共需240元；购买3盒枸杞礼盒、1盒滩枣礼盒共需220元． （1）求每盒枸杞礼盒、每盒滩枣礼盒的售价分别是多少元？ （2）该机构准备一次性采购两种礼盒共80盒，且枸杞礼盒数量不少于滩枣礼盒数量的2倍．该机构怎样购买最省钱？最低购买费用是多少元？ 【答案】（1）每盒枸杞礼盒售价60元，每盒滩枣礼盒售价40元 （2）购买54盒枸杞礼盒，26盒滩枣礼盒最省钱，最低购买费用是4280元 【解析】 【分析】（1）设每盒枸杞礼盒售价元，每盒滩枣礼盒售价元.根据题意，得：，解答即可； （2）设购买滩枣礼盒盒，则购买枸杞礼盒盒，购买礼盒支付的总费用为y元，根据题意得，且，解答即可． 【小问1详解】 解：设每盒枸杞礼盒售价元，每盒滩枣礼盒售价元， 根据题意，得：， 解得：． 答：每盒枸杞礼盒售价60元，每盒滩枣礼盒售价40元； 【小问2详解】 解：设购买滩枣礼盒盒，则购买枸杞礼盒盒，购买礼盒支付的总费用为y元， 根据题意得， 解得， 由m是正整数， 故的值为， 根据题意，得， ， 故y随m的增大而减小， 故时，y取得最小值，此时（元），， 故购买54盒枸杞礼盒，26盒滩枣礼盒最省钱，最低购买费用是4280元 23. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图1直接写出不等式的解集为______． （4）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为______． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）的面积为 （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得的值，再将代入，可求出的值，最后结合点、的坐标求出一次函数表达式即可； （2）先求出点的坐标，利用，即可求解； （3）直接观察图像即可得出答案； （3）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数上， 代入得，解得， 故反比例函数表达式为， ∵点也在反比例函数上， ∴，解得， 故点， 将点，代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数表达式为， 故反比例函数表达式为，一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数表达式为， ∴点， ∴， （式中、表示点、到轴的距离） 故的面积为． 【小问3详解】 解：直接观察图象即可， 当或时，， 故答案为或． 【小问4详解】 解：过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足分别为和，如下图所示： 由旋转的性质可知： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 令点坐标为， ∴， ， 故得点的坐标为， ∵点在反比例函数上， ∴， 解得或（舍去） ∴点的坐标为， 故答案为：． 24. 如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，，相交于点．是上一点，交于点，且，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用得，根据同弧所对圆周角相等可得，再根据三角形外角性质，完成证明； （2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得，进一步代入数据求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ， 又， ， ， ． 由（1）知，， 又， ， ． ， ， ， ， ， ， ． ∵，， ∴． 25. 2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． （1）求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； （2）若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） （3）若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】（1） （2）足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． （3）能 【解析】 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【小问1详解】 解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． 【小问3详解】 解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 26. 综合与实践 折纸是一种常见的游戏，综合实践小组以“正方形的折叠”为主题开展活动． 操作判断 操作一：如图，将正方形纸片折叠，使得折痕，把纸片展平． 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，连接，把纸片展平． 操作三：连接并延长交于点，连接交于点，若． 根据以上操作，回答下列问题： （1）下列结论正确的是______． ①平分； ②； ③是等腰三角形． （2）如图1，当时，的度数为______，与的数量关系为______． （3）如图2，当时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展应用 （4）如图3，在矩形中，点在边上，把沿翻折得，点在边上，平分，若，请直接写出的值． 【答案】（1）①②③ （2）30； （3） 猜想为，理由如下： 由（2）得，， ∴， ∵、， ∴，即； ∵， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）由正方形与折叠性质得，，用证，得平分、，结合折叠得；由推等角得，进而即可判断①②③； （2）当时，，在中，，得；由得，结合，即可得解； （3）由（2）得，故；由折叠得，结合得，再根据，即可求解． （4）过点作于点，由折叠得，由得，设、；由角平分线性质与相似得，结合勾股定理得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形； 在中，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、， ∴，即； ∵， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴， ∵，且， ∴， 设，则， 设， 过点作于点，如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、、， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴ ； ∵x、y为线段长度，均为正数， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 【点睛】本题以正方形、矩形的折叠为核心载体，融合折叠性质、全等与相似三角形判定、角平分线性质、勾股定理等知识，通过线段与角度的转化推导结论，体现了转化化归、数形结合的核心数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $