精品解析：宁夏回族自治区银川市第六中学2026年中考前模拟考试数学试题

银川市第六中学2026年中考第三次模拟考试数学试卷 闭卷 考试时间120分钟 总分120分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是二次根式，则实数x可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，原点为位似中心．已知点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程有增根，则的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 8. 已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 不少于2个但有限个 D. 无数个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在脑机接口技术中，研究人员可以通过植入式电极采集神经元活动产生的微弱电信号．某次实验中，设备检测到一段与运动意图相关的神经信号，其电压幅度为0.000000462伏特．将数字0.000000462用科学记数法可以表示为________． 10. 爱好收藏的张同学将收集到的500张关于宁夏十大景点的卡片（它们分别是沙湖、沙坡头、须弥山石窟、水洞沟、镇北堡影城、西夏王陵、六盘山森林公园、贺兰山岩画、黄河楼、承天寺塔）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“承天寺塔”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“承天寺塔”卡片张数是________． 11. 计算：=________． 12. 我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 13. 如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为的正方形，左视图是宽为的矩形，俯视图是直径为的半圆，这个几何体的表面积是________． 14. 数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 15. 如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 16. 如图，在中，，是的内切圆，半径为，连接，，过点任意作一条直线交边于点，交边于点，图中阴影部分的面积和为________． 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． （1）将先向右平移4个单位，再向上平移4个单位后得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为，，）； （2）以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出（点，，的对应点分别为，，）； （3）请用无刻度直尺在上画出点D，使（保留必要的画图痕迹）． 19. 《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； （3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 20. 阅读材料：对实数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． 解决问题： （1）______；______； （2）已知，且，求的值； （3）对于有理数a，满足关系式时，求a的值． 21. 2026年3月23日，歼首飞成功28年，近年来，歼家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元，可购买多张代金券，但是不到100元的部分不能使用代金券抵扣． 方案二：购买航模的费用一律打八折． 若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． （1）请写出，关于的函数表达式； （2）通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求的值． 22. 如图，在中，点E，F分别是， 的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成以下基本作图：作角平分线，交的延长线于点G，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． （1）当时，自变量的取值范围为________； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 24. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 25. 完成项目化学习：《观景拱桥的设计》． 《观景拱桥的设计》 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画观景拱桥的横截面？ 2、如何铺设台阶地毯，保证观景拱桥的实惠性？ 3、如何安装脚手架，保证脚手架的安全性？ 4、如何设计射灯位置，保障观景拱桥的采光性？ 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点（长度单位：m），直接写出抛物线的解析式： 任务2 利用模型 （2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元，求购买地毯需多少元？ 任务3 利用模型 （3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离. 任务4 分析计算 （4）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 26. 在中，，点是的中点，点在边上，过点作的垂线，交直线于点． （1）【特例感知】如图①，当点与点重合时，，请说明理由． 【提出问题】如图②，当点与点不重合时，还成立吗？ 【解决问题】答：图②中的依然成立； （2）下面是针对点在线段上的情形进行的一种证明，请你补充完整： 如图③，取中点，连接，，． ， ． 点是的中点， ， ．______________（填依据） ，点是的中点， ． ， 即点，，，在以____为直径的圆上； ____． 由【特例感知】可知，． ． （3）【拓展应用】如图④，若，，，点为线段上的动点，点为线段上的动点，以为斜边构造等腰直角三角形，则的最小值为____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第六中学2026年中考第三次模拟考试数学试卷 闭卷 考试时间120分钟 总分120分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出每个选项中数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到答案． 【详解】解：先计算各数的绝对值：，，， ∵ ∴ 绝对值最大的是． 2. 若是二次根式，则实数x可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数必须为非负数，求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵是二次根式 ∴根据二次根式的性质，被开方数为非负数，可得 解不等式得 选项中，，都小于，只有D选项的满足，符合要求． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的性质分别计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：选项A：∵， ∴ A错误，该选项不符合题意； 选项B：∵表示的算术平方根，结果为，不是， ∴ B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵由立方根的性质，可得， ∴C正确，该选项符合题意； 选项D：∵， ∴ D错误，该选项不符合题意． 4. 测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据各统计量的定义，判断修改最低数据后哪一个统计量不发生变化，即可得到答案． 【详解】解：∵一共有5个各不相同的数据，将数据从小到大排序后，中位数是排序后第3个数据， 由于新数据58仍为该组数据中的最小值，不改变中间第3位数据的大小和位置，故中位数不受影响； ∵平均数的计算与所有数据有关，修改后数据总和改变，因此平均数改变； ∵方差计算依赖平均数，因此方差改变； 极差为最大值减最小值，修改后最小值发生改变，因此极差改变； 综上，只有中位数不受影响． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，原点为位似中心．已知点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点，的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，原点为位似中心， 点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点E的坐标为，即． 6. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 7. 若关于的分式方程有增根，则的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】方程两边同乘，得到整式方程，由于原分式方程有增根，则且当时，，据此求出m的值即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理，得， ∵原分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴当时，， 解得． 8. 已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 不少于2个但有限个 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不定方程问题，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是反证法的应用． 由直线，可得，如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，可得，都是整数，即可得，都是偶数，与中13为奇数矛盾，即可得出答案． 【详解】解：由直线， 得， 如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点， 得，都是整数， 得，都是偶数， 与中13为奇数矛盾， 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在脑机接口技术中，研究人员可以通过植入式电极采集神经元活动产生的微弱电信号．某次实验中，设备检测到一段与运动意图相关的神经信号，其电压幅度为0.000000462伏特．将数字0.000000462用科学记数法可以表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 爱好收藏的张同学将收集到的500张关于宁夏十大景点的卡片（它们分别是沙湖、沙坡头、须弥山石窟、水洞沟、镇北堡影城、西夏王陵、六盘山森林公园、贺兰山岩画、黄河楼、承天寺塔）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“承天寺塔”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“承天寺塔”卡片张数是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用频率的稳定值估计概率，再用总卡片数乘以对应概率，可得目标卡片的数量． 【详解】解：根据用频率估计概率，抽到“承天寺塔”卡片的频率稳定在， 因此抽到“承天寺塔”卡片的概率估计值为． 已知总卡片数为，因此估计“承天寺塔”卡片的张数为． 11. 计算：=________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形与等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ， 由题意知：， 在中，， 在中，， ∴， ． 13. 如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为的正方形，左视图是宽为的矩形，俯视图是直径为的半圆，这个几何体的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图特征得到该几何体为底面半径、高为的半圆柱，进而求出这个几何体的表面积． 【详解】解：由三视图可得，该几何体是底面为半圆的半圆柱， 底面半圆直径为，因此半径；由主视图为边长的正方形，可知半圆柱的高（母线长）， 半圆柱的表面积由三部分组成： 两个半圆形底面：两个半圆可拼接为个完整的圆， 面积：， 曲面侧面积：等于完整圆柱侧面积的一半， 面积：， 轴截面（矩形平面）：即半圆柱的截面，长为圆柱的高，宽为底面直径， 面积：， 总表面积：． 14. 数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是，且对称轴是，则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是， 所以方程的负实数根可能是． 15. 如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有4个整数解可以是，，，，即可得到，解得即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有4个整数解， 这4个整数解是，，，， ， 解得：． 16. 如图，在中，，是的内切圆，半径为，连接，，过点任意作一条直线交边于点，交边于点，图中阴影部分的面积和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内切圆的性质得出、分别平分、，根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出，则，然后根据阴影部分可以拼接成圆心角为，半径为3的扇形求解即可. 【详解】解：是的内切圆， ∴、分别平分、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和为. 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． （1）将先向右平移4个单位，再向上平移4个单位后得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为，，）； （2）以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出（点，，的对应点分别为，，）； （3）请用无刻度直尺在上画出点D，使（保留必要的画图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质找出点，，，再连线即可； （2）根据旋转的性质找出点，，，再连线即可； （3）根据勾股定理逆定理构造等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所作； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所作． 19. 《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； （3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 【答案】（1）50，见解析 （2）78，108 （3）小敏能参加决赛，见解析 【解析】 【分析】（1）用E组人数除以E组所占的百分比即可求得抽取学生数，再求出B等级人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义可求得中位数，用D组所占的比例乘以即可求得D组扇形所对应圆心角的度数； （3）按照规则计算最后得分即可解答． 【小问1详解】 解：此次活动共抽取学生数为：名； ∴B等级的人数为：名， 补全频数直方图如下， ． 【小问2详解】 解：∵抽取学生数为50人， ∴中位数为数据从小到大排列后的第25和26位数的平均数，即C等级最后两位数的平均数， ∴中位数为， ∴D组扇形所对应圆心角的度数是． 【小问3详解】 解：小敏最后得分：， 小敏能参加决赛． 20. 阅读材料：对实数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． 解决问题： （1）______；______； （2）已知，且，求的值； （3）对于有理数a，满足关系式时，求a的值． 【答案】（1）2；5； （2）16； （3）或 【解析】 【分析】题考查的是新定义运算，利用平方根的含义解方程，理解新定义的运算法则是解本题的关键． （1）利用新定义计算解题即可； （2）根据，且，可得，再根据题意求解即可； （3）根据，得出，结合义的定义求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：； ； 故答案为：2，5； 【小问2详解】 ∵，且 ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 综上可得：或． 21. 2026年3月23日，歼首飞成功28年，近年来，歼家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元，可购买多张代金券，但是不到100元的部分不能使用代金券抵扣． 方案二：购买航模的费用一律打八折． 若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． （1）请写出，关于的函数表达式； （2）通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求的值． 【答案】（1）， （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接列出函数关系式即可； （2）分两种情况分别分析两种方案的优惠价格，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意，， ； 【小问2详解】 解：由已知，两种方案费用相差8元，分两种情况计算：当 时， 代入得， 解得， 不符合，舍去， 当时， 代入得， 解得， 符合， 因此的值为260． 22. 如图，在中，点E，F分别是， 的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成以下基本作图：作角平分线，交的延长线于点G，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形． 【答案】（1）如图所示即为所求； （2）证明：是的角平分线， ． 点E，F分别是 ， 的中点， ． ． ． ， ． ∵点E，F分别是， 的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形 ，， ． ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线，然后延长即可得到交点； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到，则，所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． （1）当时，自变量的取值范围为________； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【答案】（1）或 （2）一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 （3） 【解析】 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可确定平移后的函数解析式，再由一次函数的平移即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； 【小问2详解】 解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； 【小问3详解】 解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 24. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵所对的弧为， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理可得，则，从而有，得到，从而求证； （）连接，由圆周角定理可得，根据三角函数可得，又四边形是的内接四边形，则，则有，所以，然后根据，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在Rt中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，圆内接四边形，切线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 完成项目化学习：《观景拱桥的设计》． 《观景拱桥的设计》 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画观景拱桥的横截面？ 2、如何铺设台阶地毯，保证观景拱桥的实惠性？ 3、如何安装脚手架，保证脚手架的安全性？ 4、如何设计射灯位置，保障观景拱桥的采光性？ 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点（长度单位：m），直接写出抛物线的解析式： 任务2 利用模型 （2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元，求购买地毯需多少元？ 任务3 利用模型 （3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离. 任务4 分析计算 （4）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 【答案】（1）；（2）900元；（3）；（4）米 【解析】 【分析】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形分析并解决问题是解题关键． （1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，可得地毯的总长度为：，再求解即可； （3）设点G的坐标为，根据题意得，，由， 可得，解方程即可求解； （4）作直线的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H，作，垂足为G，设直线l的解析式为，联立直线与抛物线解析式，，整理得，由方程只有一个根，可得，再求解即可． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，由题意得： ，解得， 所以抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）由（1）知，， 令，即，解得； ∴地毯的总长度为：， ∴， 答：购买地毯需要900元． （3）设点G的坐标为， 根据题意得，， ∵， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴， ∴，． （4）作直线的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H，作，垂足为G，如图所示， ∵， 设直线l的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得 ∵直线l与抛物线相切， ∴方程只有一个根， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∵射灯射出的光线与地面成角， ∴， ∵， ， ∴， ∴光线与抛物线之间的距离为米． 26. 在中，，点是的中点，点在边上，过点作的垂线，交直线于点． （1）【特例感知】如图①，当点与点重合时，，请说明理由． 【提出问题】如图②，当点与点不重合时，还成立吗？ 【解决问题】答：图②中的依然成立； （2）下面是针对点在线段上的情形进行的一种证明，请你补充完整： 如图③，取中点，连接，，． ， ． 点是的中点， ， ．______________（填依据） ，点是的中点， ． ， 即点，，，在以____为直径的圆上； ____． 由【特例感知】可知，． ． （3）【拓展应用】如图④，若，，，点为线段上的动点，点为线段上的动点，以为斜边构造等腰直角三角形，则的最小值为____． 【答案】（1）证明：当点与点重合时， ，点是的中点， ， ． （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；； （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质以及等边对等角即可证明； （2）取中点，连结，，，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、四点共圆的判定与性质、圆周角定理得到，再利用【特例感知】的结论解答即可； （3）连接，取中点，连接，先根据直角三角形斜边中线的性质得到点在以点为圆心，为直径的圆上，则，故当时，取得最小值，在解直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图③，取中点，连接，，， ， ， 点是的中点， ， ，__直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半_（填依据） ，点是的中点， ， ， 即点，，，在以_____为直径的圆上， ___． 由【特例感知】可知，， ． 【小问3详解】 解：∵等腰直角， ∴， 连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴当时，取得最小值， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $