2026年中考数学真题完全解读（河南卷）

该初中数学中考复习资料覆盖数与式、函数、图形的性质等核心模块，通过考点细目表构建知识网络，结合核心复习策略分模块突破，真题解读含案例分析与知识总结，助力学生系统梳理考点并突破难点。 亮点在于真实情境与文化融合，如团扇弧长计算渗透几何直观，长征研学背景强化模型观念，新定义“黄金搭档点”题培养推理能力。设避坑提醒与分层练习，5分钟限时测试提升效率，帮助教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

2026年河南省中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年河南省中考数学试卷共23题，满分120分，考试时间100分钟。试卷延续“选择题10题+填空题5题+解答题8题”的稳态结构，分值分布为30分、15分、75分。整体难度以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，突出对数学核心素养的全面考查。选择题第1~10题覆盖有理数加法、正方体展开图、调查方式选择、一元二次方程根、轴对称与勾股定理、平行线性质、整式运算、科学记数法与倍数、矩形平移与坐标、团扇弧长等核心知识，其中第10题以传统团扇为背景考查弧长计算，体现文化浸润。填空题第11~15题分别考查正比例函数、分式方程、圆周角定理、概率（钢琴二度音程）、等腰直角三角形与一次函数综合，梯度清晰。解答题第16~23题中，第16题为实数运算与解不等式组，第17题以投篮机器人测试成绩为背景考查统计分析，第18题以近视防控“一尺一拳一寸”为背景考查二元一次方程组，第19题考查尺规作图与平行四边形性质，第20题以红军长征胜利90周年研学活动为背景考查反比例函数与图象分析，第21题以地下车库入口改造为综合与实践情境考查解直角三角形，第22题以抛物线“黄金搭档点”为新定义考查二次函数综合，第23题以菱形旋转为背景考查几何探究与证明。全卷对运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识均有覆盖，尤其强调真实情境中的数学建模、数据分析和文化传承。 试题亮点 1. 河南特色情境与文化符号有机融入，育人导向鲜明：第2题以六五环境日“全面绿色转型，共建美丽中国”主题为情境考查正方体展开图；第10题以中国传统团扇为背景，结合切线性质求弧长，将传统文化与圆的知识自然融合；第20题以红军长征胜利90周年研学活动为背景，用反比例函数描述学生步行速度与时间关系，厚植爱国情怀。这些情境既贴近时代又具有河南卷的育人辨识度。 2. 综合与实践题型凸显真实问题解决能力：第17题以学校科创社团选拔投篮机器人为背景，要求学生分析测试成绩统计量并做出决策；第18题以近视防控中的“一尺一拳一寸”为背景建立二元一次方程组；第21题以地下车库入口改造为项目主题，设置“采集信息—设计方案—完成任务”的完整实践流程，考查解直角三角形和工程应用意识。这些题目引导学生用数学工具分析和解决真实问题。 3. 新定义压轴与几何探究强化思维品质考查：第22题定义抛物线的“黄金搭档点”，要求学生理解定义、建立坐标关系、进行分类讨论求参数，是函数压轴题；第23题以菱形旋转为背景，设置“观察猜想—探究证明—拓展延伸”三问，从特殊角度到一般角度探究线段关系和角度变化，并求旋转角。两题合计20分，是顶尖区分度载体，突出逻辑推理和探究能力。 命题趋势 一、河南卷结构保持稳定，解答题分值分布体现能力梯度：2026年河南卷继续采用10+5+8的题量结构，选择题30分、填空题15分、解答题75分，解答题分值依次为10,9,9,9,9,9,10,10，压轴题（第22、23题）合计20分。第16~19题为常规计算、统计、方程、尺规作图，第20~21题为函数与解直角三角形的实际应用，第22~23题为新定义与几何探究。未来河南卷大概率延续这一结构，通过题位固定和能力分层实现稳定选拔。 二、真实情境与本土文化将持续入题，应用意识考查常态化：第2题环境日主题、第10题传统团扇、第17题科创社团、第18题近视防控、第20题长征研学、第21题地下车库改造，均取材于社会热点、传统文化、校园生活和城市建设。未来河南卷将继续选取具有时代意义和本土特色的素材，引导学生在真实情境中建立数学模型，体现数学服务生活、传承文化的价值。 三、新定义与探究性设问成为压轴主流，思维过程考查持续强化：第22题“黄金搭档点”和第23题菱形旋转探究，分别以函数和几何为载体设置新情境和递进式问题。第22题需要学生即时学习定义、建立坐标关系、分类讨论；第23题需要观察猜想、证明全等或等边三角形、分类求旋转角。未来压轴题将继续淡化复杂计算、强化思维过程和数学表达规范。 四、基础题“送分到位”但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：选择题第1~7题和填空题第11~12题总体保持较低难度，但第3题调查方式选择需要辨析普查与抽样的适用场景，第5题轴对称与勾股定理综合，第7题整式运算需准确运用平方差公式，第9题矩形平移需结合坐标与几何性质。这些题目提示未来基础题将继续通过“反套路”设计检验学生是否真正理解概念本质。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→有理数→有理数加法的实际应用 运算能力 2 单选 3 图形的性质→立体图形→正方体的展开图 空间观念、几何直观 3 单选 3 统计与概率→统计调查→普查与抽样调查的选择 数据观念 4 单选 3 方程与不等式→一元二次方程→一元二次方程的根 运算能力 5 单选 3 图形的变化→轴对称→轴对称性质与勾股定理 推理能力、几何直观 6 单选 3 图形的性质→相交线与平行线→平行线性质与角度计算 几何直观、推理能力 7 单选 3 数与式→整式→多项式乘法与平方差公式 运算能力 8 单选 3 数与式→科学记数法→科学记数法与倍数关系 运算能力、应用意识 9 单选 3 图形的变化→图形的平移→矩形平移与坐标变化 几何直观、运算能力 10 单选 3 图形的性质→圆→切线性质与弧长计算 推理能力、几何直观 11 填空 3 函数→一次函数→正比例函数的图象性质 运算能力 12 填空 3 方程与不等式→分式方程→分式方程的解法 运算能力 13 填空 3 图形的性质→圆→圆周角定理 推理能力、几何直观 14 填空 3 统计与概率→概率→用树状图求概率 数据观念、推理能力 15 填空 3 图形的性质→三角形→等腰直角三角形与一次函数综合 推理能力、运算能力 16 解答 10 数与式→实数与不等式→实数运算与一元一次不等式组 运算能力 17 解答 9 统计与概率→统计量→中位数、众数、方差与决策 数据分析、推理能力 18 解答 9 方程与不等式→二元一次方程组→二元一次方程组的实际应用 模型观念、运算能力 19 解答 9 图形的变化→尺规作图→尺规作图与平行四边形 推理能力、几何直观 20 解答 9 函数→反比例函数→反比例函数与一次函数图象分析 模型观念、几何直观 21 解答 9 图形的性质→解直角三角形→解直角三角形的实际应用 模型观念、几何直观 22 解答 10 函数→二次函数→新定义：黄金搭档点与分类讨论 创新意识、推理能力 23 解答 10 图形的性质→菱形→菱形旋转与几何探究 推理能力、创新意识 考点模块占比分析 数与式模块（约19%，23分）：重点考查有理数加法、整式运算、科学记数法、实数运算等基础概念与运算，对应第1、7、8、16题。该模块强调运算准确性和概念辨析。 函数模块（约24%，29分）：重点考查正比例函数、反比例函数、一次函数图象、二次函数新定义综合，对应第11、20、22题。第22题以“黄金搭档点”为载体，综合考查二次函数性质与分类讨论。 图形的性质模块（约28%，34分）：重点考查正方体展开图、轴对称、平行线、圆、圆周角、切线、弧长、三角形、菱形、解直角三角形等几何图形的性质与推理，对应第2、5、6、10、13、21、23题。该模块是河南卷分值最大的板块之一，突出几何直观与逻辑推理。 图形的变化与综合实践模块（约17%，21分）：重点考查图形平移、轴对称、尺规作图、菱形旋转和综合实践活动，对应第3、9、19、21、23题。第21题以地下车库入口改造为项目情境，第23题以菱形旋转设置探究证明。 统计与概率模块（约12%，14分）：重点考查调查方式、众数、中位数、方差、概率计算等统计观念，对应第3、14、17题。第17题以投篮机器人测试成绩为背景，要求学生综合运用统计量进行决策分析。 核心复习策略 1. 夯实运算与概念基础，提升运算准确性 （1）系统梳理有理数、整式、分式方程、二次根式、实数运算的运算法则，强化运算步骤的规范表达，减少非智力失分。 （2）深入理解普查与抽样、正比例函数、圆周角定理、切线性质等基本概念，通过变式训练识别“反套路”设计。 2. 强化几何推理与动态几何能力 （1）系统掌握三角形、四边形、圆的核心性质与判定，熟练添加常见辅助线，掌握全等、相似、勾股定理在综合几何问题中的综合运用。 （2）加强图形平移、旋转、轴对称等变换问题的训练，培养动态几何观念，提升在复杂图形中提取关键信息的能力。 3. 提升情境建模与统计分析能力 （1）多关注社会热点、传统文化、校园生活、城市建设等真实情境，训练从文字、表格、图像中提取信息并建立函数、方程、不等式模型的能力。 （2）熟悉统计调查完整流程和综合与实践题型，重视“问题情境—建立模型—求解验证—反思表达”的完整过程。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。 ×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。 ×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。 ×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：有理数加法的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以某地一天早晨和中午的气温变化为背景，考查有理数加法。 （2）问题设计：已知早晨气温和升高温度，求中午气温，考查正负数加法的实际意义。 （3）考查目标：考查运算能力和对有理数加法实际意义的理解。 答案与解析 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法的实际应用，解题思路为用早晨的气温加上升高的气温，计算得到结果即可选出正确选项. 【详解】解：由题意得 ： ． 知识总结 ① 核心概念：有理数加法法则：同号两数相加取相同符号，异号两数相加取绝对值较大数的符号。② 解题要点：将早晨气温与升高温度相加，注意符号和绝对值的运算。③ 拓展关联：有理数运算广泛应用于温度、海拔、财务收支等实际情境。 2．今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．将“共建美丽中国”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“建”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．美 B．丽 C．中 D．国 命题透视 ►核心考点：正方体的展开图 ►命题分析： （1）情境创设：以六五环境日“共建美丽中国”主题为背景，将六个汉字写在正方体表面，考查展开图中相对面。 （2）问题设计：给出正方体的一种展开图，要求判断与“建”字相对的面上的汉字。 （3）考查目标：考查空间观念和几何直观，以及对正方体展开图相对面规律的理解。 答案与解析 【答案】B 【分析】根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“建”字所在面相对面上的汉字是“丽”． 知识总结 ① 核心概念：正方体展开图中，相对的面之间通常相隔一个正方形；常见的“一四一”“二三一”“三三”“二二二”型展开图都有固定相对面规律。② 解题要点：在展开图中找与目标面间隔一个正方形的面即为相对面。③ 拓展关联：正方体展开图与三视图、立体图形表面积和体积计算密切相关。 3．下列调查中，适宜用全面调查（普查）的是（      ） A．检查某载人飞船的零部件质量 B．检测一条河流的水质情况 C．了解某市中学生的课外阅读时间 D．调查一批玉米种子的发芽率 命题透视 ►核心考点：普查与抽样调查的选择 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查统计调查方式的选择，属于基础统计概念题。 （2）问题设计：给出四个不同调查情境，要求学生判断哪个适宜用全面调查（普查）。 （3）考查目标：考查数据观念和对普查与抽样调查适用场景的理解。 答案与解析 【答案】A 【分析】本题考查全面调查(普查)和抽样调查的选择，掌握普查的适用场景是解题关键，当调查要求结果准确，无破坏性，事关安全或调查对象范围可控时适宜用普查． 【详解】解：A载人飞船零部件质量关系飞行安全，每个零件都必须检查，不能出错，因此适宜用普查； B检测整条河流的水质，范围较大，不需要逐处检测，因此适宜用抽样调查； C某市中学生数量较多，全面调查工作量大，因此适宜用抽样调查； D调查玉米种子发芽率，检测过程会对种子造成破坏，具有破坏性，因此适宜用抽样调查． 知识总结 ① 核心概念：普查是对总体中每一个个体进行调查，结果准确但工作量大；抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，适用于总体大、有破坏性或没必要普查的情况。② 解题要点：判断调查是否要求结果准确、事关安全、范围可控；本题载人飞船零部件质量事关安全，必须普查。③ 拓展关联：统计调查方式的选择是数据分析的基础，与实际决策密切相关。 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 命题透视 ►核心考点：一元二次方程的根 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查一元二次方程根的定义，属于基础代数题。 （2）问题设计：已知方程的一个根，求参数的值，将根代入方程即可。 （3）考查目标：考查运算能力和对方程根概念的理解。 答案与解析 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得 ， 整理得 ， 移项得 ， 两边同除以，得 知识总结 ① 核心概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。② 解题要点：将已知根代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，再求解。③ 拓展关联：方程的根与根与系数关系、函数零点等知识联系紧密。 5．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：轴对称性质与勾股定理 ►命题分析： （1）情境创设：以两个三角形关于直线对称为背景，结合勾股定理求线段长度。 （2）问题设计：已知三角形三边中部分长度和对称关系，利用轴对称性质和勾股定理求目标线段。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 知识总结 ① 核心概念：轴对称图形中对应线段相等、对应角相等；勾股定理a²+b²=c²适用于直角三角形。② 解题要点：利用轴对称性质得到对应边相等，再构造或识别直角三角形，用勾股定理求未知边。③ 拓展关联：轴对称常与全等、相似、等腰三角形结合考查。 6．如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平行线性质与角度计算 ►命题分析： （1）情境创设：以高铁线路高压线支撑结构为实际背景，考查平行线性质。 （2）问题设计：给出结构中平行线和已知角度，要求求某个角的度数。 （3）考查目标：考查几何直观和推理能力，以及对平行线性质的应用。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 知识总结 ① 核心概念：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。② 解题要点：识别图中的平行线和截线，利用平行线性质进行角度转化，必要时结合三角形内角和或对顶角。③ 拓展关联：平行线性质是平面几何的基础，常与三角板、三角形综合考查。 7．下列式子中，运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：多项式乘法与平方差公式 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查整式运算，属于基础代数计算题。 （2）问题设计：四个选项分别给出不同的整式运算，要求学生判断哪个结果等于目标表达式。 （3）考查目标：考查运算能力和对乘法公式的掌握。 答案与解析 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法运算，只需将各选项展开后，与目标结果对比即可得到答案，可利用平方差公式简化计算． 【详解】解：选项A，，不符合要求； 选项B，，不符合要求； 选项C，根据平方差公式，，符合要求； 选项D，，不符合要求． 知识总结 ① 核心概念：平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²；完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²；单项式乘多项式法则。② 解题要点：逐项展开各选项，与目标结果对比；可优先识别能用平方差公式的选项。③ 拓展关联：整式乘法公式是后续因式分解、分式化简的基础。 8．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 命题透视 ►核心考点：科学记数法与倍数关系 ►命题分析： （1）情境创设：以我国自主研发的T1000级超高强度碳纤维为背景，考查科学记数法和倍数计算。 （2）问题设计：给出超高强度碳纤维和普通钢材的拉伸强度，求前者是后者的多少倍。 （3）考查目标：考查运算能力和应用意识，以及在科技情境中处理大数据的能力。 答案与解析 【答案】D 【详解】解：由题意得． 知识总结 ① 核心概念：科学记数法a×10^n；求一个数是另一个数的多少倍用除法。② 解题要点：将两个数统一形式后相除，注意10的幂次运算。③ 拓展关联：科学记数法广泛应用于科技、经济、环境等领域的大数据表达。 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：矩形平移与坐标变化 ►命题分析： （1）情境创设：以平面直角坐标系中矩形的平移为背景，考查坐标平移规律。 （2）问题设计：矩形向左平移，当某点落在y轴上时，求另一点平移后的坐标。 （3）考查目标：考查几何直观、推理能力和运算能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 知识总结 ① 核心概念：平面直角坐标系中，点向左平移a个单位，横坐标减a，纵坐标不变；矩形对角线互相平分且相等。② 解题要点：先利用矩形性质求出相关点坐标，再确定平移距离，最后求目标点平移后的坐标。③ 拓展关联：坐标平移与函数图象平移、图形变换密切相关。 10．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：切线性质与弧长计算 ►命题分析： （1）情境创设：以中国传统团扇为背景，考查圆的切线性质和弧长计算。 （2）问题设计：已知团扇边缘为圆弧，扇柄经过圆心，过扇柄端点作圆的切线，求装饰弧的长。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力，体现传统文化与数学的融合。 答案与解析 【答案】B 【分析】连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴的长为：． 知识总结 ① 核心概念：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理；弧长公式l=(nπr)/180。② 解题要点：连接半径，利用切线性质得到直角；证明三角形全等或利用切线长求出圆心角；代入半径和圆心角求弧长。③ 拓展关联：圆的知识常与三角形、四边形、相似结合，是中考几何的重点。 二、填空题 11．请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________． 命题透视 ►核心考点：正比例函数的图象性质 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查正比例函数的图象性质，属于基础函数题。 （2）问题设计：要求写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式。 （3）考查目标：考查运算能力和对正比例函数性质的理解。 答案与解析 【答案】（答案不唯一） 【分析】正比例函数的一般形式为，由图象经过第一、三象限可得，写出一个满足条件的表达式即可． 【详解】解：取，满足， 因此图象经过第一、三象限的正比例函数表达式为（答案不唯一）． 知识总结 ① 核心概念：正比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k<0时图象经过第二、四象限。② 解题要点：只需取一个正数作为k即可，如y=x、y=2x等。③ 拓展关联：正比例函数是一次函数的特殊形式，与反比例函数、正比例关系密切相关。 12．方程的解为_________． 命题透视 ►核心考点：分式方程的解法 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查分式方程的求解，属于基础计算题。 （2）问题设计：给出一个分式方程，要求学生求解并检验。 （3）考查目标：考查运算能力和对分式方程解法的掌握。 答案与解析 【答案】 【分析】先去分母得，再解整式方程，最后检验即可得出结果． 【详解】解：去分母得， 解得， 当时，， ∴ 方程的解为． 知识总结 ① 核心概念：解分式方程需去分母化为整式方程，解后必须检验，排除使分母为零的增根。② 解题要点：找最简公分母，两边同乘去分母；解整式方程；将解代入最简公分母检验。③ 拓展关联：分式方程可转化为工程、行程、浓度等实际问题中的模型。 13．如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 命题透视 ►核心考点：圆周角定理 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查圆周角定理，属于基础几何题。 （2）问题设计：已知直径和圆周上两点，以及某个圆心角或弧的度数，求圆周角的度数。 （3）考查目标：考查推理能力和对圆周角定理的掌握。 答案与解析 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 知识总结 ① 核心概念：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角。② 解题要点：识别所求圆周角所对的弧，利用圆周角与圆心角的关系或直径所对直角求解。③ 拓展关联：圆周角定理是圆的核心性质之一，常与三角形内角和、勾股定理综合考查。 14．在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 命题透视 ►核心考点：用树状图求概率 ►命题分析： （1）情境创设：以钢琴键盘相邻白色琴键构成二度音程为背景，考查概率计算。 （2）问题设计：从四个白色琴键中随机选两个同时弹奏，求构成二度音程的概率。 （3）考查目标：考查数据观念和推理能力，以及在音乐情境中运用概率知识的能力。 答案与解析 【答案】 【分析】先画出树状图，然后求出概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种， ∴发出的声音构成二度音程的概率为． 知识总结 ① 核心概念：概率P(A)=事件A发生的结果数÷所有等可能结果总数；用树状图或列表法可列举所有等可能结果。② 解题要点：画树状图或列表列举所有选法，找出相邻琴键的组合数，再求概率。③ 拓展关联：概率与统计密切联系，常与游戏公平性、决策分析等实际问题结合。 15．如图，在中，，，是角平分线．点为边上一点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 命题透视 ►核心考点：等腰直角三角形与一次函数综合 ►命题分析： （1）情境创设：以等腰直角三角形和角平分线为背景，结合一次函数和分类讨论求线段长度。 （2）问题设计：题目条件复杂，需要通过勾股定理、角平分线性质、等面积法、建立坐标系、求直线解析式、分类讨论等多个步骤求解。 （3）考查目标：考查推理能力、运算能力和几何直观，是填空题压轴题。 答案与解析 【答案】或 【分析】先结合勾股定理以及等腰三角形的性质得，运用角平分线的性质以及等面积法得，根据解直角三角形的相关运算得，再建立平面直角坐标系，故，，，，再求出直线的解析式为，然后进行分类讨论，得出当的坐标为时，则直线的解析式为；当的坐标为时，直线的解析式为，再联立方程组，最后根据两点距离公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， 过作于， ∴， 由勾股定理得 则， 分别过点作， ∵是的角平分线， ∴， 则， ∴， 则 ∴ ∴ 以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系： 即，，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得 解得 ∴直线的解析式为， ∵E在（x轴）上， 设， ∵，， ∴， 解得或， 当的坐标为时， 则设直线的解析式为 把,分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 依题意，得， 解得， ∴， ∴； 当的坐标为时，如图所示： 则设直线的解析式为 把,分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 依题意，得， 解得， ∴， ∴， 综上：的长为或． 知识总结 ① 核心概念：等腰直角三角形两锐角为45°，斜边上的高等于斜边的一半；角平分线上的点到角两边距离相等；一次函数y=kx+b由两点确定。② 解题要点：根据等腰直角三角形和角平分线性质求关键线段长；建立平面直角坐标系，求出相关直线解析式；联立方程求交点坐标，分类讨论E点位置。③ 拓展关联：坐标法与几何法结合是解决复杂几何问题的重要策略。 三、解答题 16．按要求解答下列问题： (1)计算：． (2)解不等式组： 完成以下解答过程． （ⅰ）解不等式①，得_________． （ⅱ）解不等式②，得_________． （ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． （ⅳ）所以，原不等式组的解集是_____． 命题透视 ►核心考点：实数运算与一元一次不等式组 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查实数混合运算和解一元一次不等式组，属于基础计算题。 （2）问题设计：第(1)问进行综合实数运算，第(2)问解不等式组并要求完成解答过程的四个步骤。 （3）考查目标：考查运算能力和对不等式组解法的掌握。 答案与解析 【答案】(1)1 (2)（i） （ii） （iii） （iv） 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，然后计算加减即可； （2）根据解不等式组的步骤作答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）略． 知识总结 ① 核心概念：实数运算包括零指数幂、负整数指数幂、算术平方根等；一元一次不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。② 解题要点：运算题注意顺序和符号；解不等式组时分别求解每个不等式，再借助数轴确定公共解集。③ 拓展关联：实数运算和不等式是代数学习的基础，与方程、函数联系紧密。 17．加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径．某学校科创社团组装了甲、乙两个投篮机器人，准备从中选一个参加青少年科技创新大赛．为此，该社团对两个投篮机器人分别进行了组测试（每组测试投篮次，以投进次数作为测试成绩），并对测试成绩整理、描述、分析如下． 测试成绩统计表 统计量 甲 乙 平均数 中位数 7 众数 8 方差 根据以上信息，回答下列问题． (1)表中的值为_________，的值为_________，_________（填“”“”或“”）． (2)你认为科创社团应选哪个投篮机器人参加青少年科技创新大赛？请说明理由． 命题透视 ►核心考点：中位数、众数、方差与决策 ►命题分析： （1）情境创设：以学校科创社团选拔投篮机器人参加青少年科技创新大赛为背景，考查统计量的应用。 （2）问题设计：给出甲、乙两个机器人测试成绩的统计表和折线图，要求求中位数、众数、比较方差，并做出选择决策。 （3）考查目标：考查数据分析、推理能力和决策意识。 答案与解析 【答案】(1)7；9； (2)应选甲投篮机器人．理由如下： 因为甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数相同，中位数相同，但甲的方差小于乙的方差，说明甲投篮机器人的成绩更稳定． 【分析】（1）按照中位数和众数的定义和计算方法即可求得，的值，再根据折线统计图可知乙成绩的波动大于甲成绩，进而可判断，的大小． （2）在甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数，中位数相同的情况下，比较两者方差即可． 【详解】（1）解：将甲的成绩从小到大顺序排列为：， ∵甲的成绩一共个数据，其中第5个与第6个数据分别为， 中位数． ∵乙的成绩为：，其中9出现的次数最多， ． 根据折线统计图可知：乙成绩的波动大于甲成绩， ． （2）略 知识总结 ① 核心概念：中位数是将数据排序后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数；方差反映数据波动程度，方差越小越稳定。② 解题要点：根据数据求中位数和众数；通过折线图直观判断波动大小或计算方差；决策时说明理由。③ 拓展关联：统计量的分析是数据观念的核心，广泛应用于质量评估、比赛选拔等领域。 18．近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？ 命题透视 ►核心考点：二元一次方程组的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以近视防控“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势为背景，考查二元一次方程组。 （2）问题设计：根据书长与拳长的两个数量关系，设未知数并列方程组求解。 （3）考查目标：考查模型观念、运算能力和应用意识。 答案与解析 【答案】这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺 【分析】设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺，根据“一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺”列出二元一次方程组求解． 【详解】解：设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 知识总结 ① 核心概念：当问题中有两个未知量且能找到两个等量关系时，可设二元一次方程组求解。② 解题要点：设书长和拳长为未知数，根据“书长+拳长=1尺”和“2×书长-3×拳长=1尺”列方程组，求解并检验。③ 拓展关联：方程组模型广泛应用于配比、行程、工程、利润等实际问题。 19．如图，在中，点为边上一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)判断线段与（1）中得到的线段的数量关系，并给出证明． 命题透视 ►核心考点：尺规作图与平行四边形 ►命题分析： （1）情境创设：以平行四边形为背景，考查作一个角等于已知角的尺规作图和相关证明。 （2）问题设计：第(1)问用无刻度直尺和圆规作角等于已知角；第(2)问判断并证明两条线段的数量关系。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观和尺规作图能力。 答案与解析 【答案】(1)如图所示即为所求： (2)，证明如下： ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略． （2）略． 知识总结 ① 核心概念：作一个角等于已知角的尺规作图依据是SSS全等；平行四边形对边平行且相等。② 解题要点：按“三弧法”作等角；利用平行四边形性质和全等三角形证明线段相等。③ 拓展关联：尺规作图是几何学习的重要内容，与全等、角平分线、垂直平分线等知识密切相关。 20．今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 命题透视 ►核心考点：反比例函数与一次函数图象分析 ►命题分析： （1）情境创设：以红军长征胜利90周年研学活动为背景，考查反比例函数和一次函数图象的实际应用。 （2）问题设计：第(1)问求速度关于时间的反比例函数表达式；第(2)问求时间不超过某值时的最小速度；第(3)问根据函数图象判断三个说法的正确性。 （3）考查目标：考查模型观念、几何直观和数据分析能力，体现红色教育主题。 答案与解析 【答案】(1) (2)学生步行的平均速度至少为 (3)②③ 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 知识总结 ① 核心概念：反比例函数y=k/x(k≠0)，k=vt为定值；一次函数图象可描述匀速运动过程。② 解题要点：根据路程一定，设v=k/t，代入已知点求k；根据时间范围求速度范围；结合图象分析李老师行程中的停留、速度、路程等关键信息。③ 拓展关联：函数图象分析是中考应用题的重要考查形式。 21．某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，． ②斜坡的长为，． ③车库限高． 设计方案 如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使． 完成任务 任务一：求的长． 任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数） 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）． 命题透视 ►核心考点：解直角三角形的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以学校地下车库入口改造为综合与实践情境，考查解直角三角形的实际应用。 （2）问题设计：任务一求斜坡某线段长度；任务二根据点到斜坡的距离确定限高标志的最大数值。 （3）考查目标：考查模型观念、几何直观和运算能力，突出数学在工程设计中的应用。 答案与解析 【答案】任务一：的长约为．任务二：． 【分析】任务一：作，垂足为，利用解直角三角形，求出、，由即可求解； 任务二：采用去尾法求近似数即可． 【详解】任务一： 解：如图，作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴在中，， ， ∴在中，， ∴． 任务二： 解：点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为． 知识总结 ① 核心概念：解直角三角形利用锐角三角函数和勾股定理；坡度、坡角与三角函数关系密切。② 解题要点：作辅助线构造直角三角形，利用已知坡度和坡长求竖直高度和水平距离；根据点到斜坡距离和去尾法确定限高。③ 拓展关联：解直角三角形广泛应用于测量、建筑、交通、坡度等领域。 22．定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． (1)点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值． (2)点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”． ①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标． ②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值． 命题透视 ►核心考点：新定义：黄金搭档点与分类讨论 ►命题分析： （1）情境创设：以抛物线“黄金搭档点”为新定义情境，考查二次函数综合与分类讨论。 （2）问题设计：第(1)问根据定义求抛物线解析式中的参数；第(2)①问求纵坐标相等时两点的横坐标；第(2)②问根据最高点和最低点到x轴距离之和为5，分类讨论求参数。 （3）考查目标：考查创新意识、推理能力和运算能力，是函数压轴题。 答案与解析 【答案】(1)； (2)①点的横坐标为，点的横坐标为；②或 【分析】（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，根据题意建立方程求解即可； ②根据题意得出对称轴为：，顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为，点的横坐标为：，，然后分情况分析：当，时，当，时，当时，，结合图象建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“黄金搭档点”， ，点的纵坐标为12， ∴， ∵点和点在抛物线上， ∴， 解得：； （2）解：①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为， 由（1）得， ∵点，的纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴， ∴点的横坐标为，点的横坐标为； ②由（1）得， 对称轴为：， 当时，， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴ 解得：， ∴抛物线与x轴的交点为， ∵点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时， ∴点的横坐标为：，， 当时，， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点， ∵即， 即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴， ∴即， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 知识总结 ① 核心概念：新定义题需先准确理解定义，再按定义进行计算和推理；抛物线y=ax²+bx+c的顶点、对称轴、与x轴交点是分析图象的关键。② 解题要点：理解“黄金搭档点”即横坐标相差3；用待定系数法求解析式；根据抛物线开口方向、对称轴、区间位置分类讨论最高点和最低点。③ 拓展关联：新定义题常与函数、几何、数列等知识交汇，考查即时学习能力。 23．在菱形中，，．将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．作射线，在射线上取一点，使，连接． (1)【观察猜想】 当时，如图1，的度数为_________，的长为_________． (2)【探究证明】 当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展延伸】 当时，若的面积为，请直接写出此时旋转角的度数． 命题透视 ►核心考点：菱形旋转与几何探究 ►命题分析： （1）情境创设：以菱形一边绕顶点旋转为背景，设置“观察猜想—探究证明—拓展延伸”三问。 （2）问题设计：第(1)问在特殊旋转角下猜想角度和线段长度；第(2)问证明一般旋转角下结论仍然成立；第(3)问已知三角形面积求旋转角。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观和创新意识，是几何压轴题，突出从特殊到一般的探究过程。 答案与解析 【答案】(1)； (2)两个结论仍然成立．证明如下： 四边形是菱形，，， ，， ， ， ， ，则， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，则， ， ，， ， ， ． (3)或． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，由旋转的性质，三角形内角和定理得到，是等腰直角三角形，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （2）根据菱形的性质，旋转的性质得到，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （3）结合（1），（2）的解析分类讨论：当点H在左边时，如图所示，过点作延长线于点，由面积公式得到，根据解直角三角形的计算得到，由平角的定义即可求解；当点H在右边时，如图所示，同理得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设交于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，则是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由上述证明得到，，， ∴，， 第一种情况，当点H在左边时，如图所示，过点作延长线于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，； 第二种情况，当点H在右边时，如图所示， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，旋转的性质，等腰三角形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的计算等知识，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． 知识总结 ① 核心概念：菱形四边相等、对角相等、对角线互相垂直平分；旋转保持对应边相等、对应角相等；等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质。② 解题要点：抓住旋转前后对应元素相等；证明三角形全等或等边三角形推导线段关系；第(3)问分类讨论点H在左侧和右侧两种情况，利用面积公式和解直角三角形求旋转角。③ 拓展关联：旋转综合题常与全等、相似、特殊四边形结合，是中考几何压轴题的主流形式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $