第5章 概率(高效培优单元测试·提升卷)高一数学湘教版必修第二册

**基本信息** 高一下学期概率单元提升卷，整合天津、北京等地期末真题，通过基础辨析、情境应用与综合探究的梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象、运算能力与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|互斥对立事件（题1）、古典概型（题2）|结合二部图（题8）考查数学眼光，强化概念辨析| |多选|3/18|分层抽样（题9）、概率综合（题11）|设置球队比赛情境（题11），体现数学思维的严谨性| |填空|3/15|电路样本点（题12）、条件概率（题13）|以并联电路为背景（题12），培养应用意识| |解答|5/77|比赛概率（题16）、综合应用（题18）|设计象棋比赛（题16）、游戏获奖（题18）等真实情境，提升数学语言表达能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高一下学期第5章概率 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.(24-25高一下·天津滨海新区·期末)从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的 两个球同为红色”互斥而不对立的事件是() A.取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B.取出的两个球颜色相同 C.取出的两个球至多有一个是红色 D.取出的两个球至少有个一是红色 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】由事件的关系逐一判断各个选项即可得解 【详解】与事件“取出的两个球同为红色”对立的事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”， 故所求事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色“的子事件，且不能等同于该事件， 对于A,由以上分析可知A正确： 对于BD,由于取出的两个球可能都为红色，故不互斥，故BD不正确： 对于C,由以上分析可知，C选项是事件“取出的两个球同为红色”的对立事件，故C不正确】 故选：A 2.(25-26高一上·北京，期末)从1,2,3,4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（) A月 B. c.8 .立 1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可. 第1页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】从1,2,3,4这四个数中随机选取两个数，用集合表示为： {1,2.{1,3},{1,4,2,3,2,4,3,4,共6种情况， 其中{1,4，{2,3}符合所取两个数之和为5，共2种情况， 所以所取两个数之和为5的概率是号-号 故选：B 3.(2425高一下·重庆期末)已知事件A,B互斥，且事件A发生的概率P(A)=号，且事件B发生的概率P(B)-子 则事件A,B都不发生的概率是() A.是 B.吉 C. 15 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】事件A、B互斥，事件都不发生的对立事件是事件A与B至少有一个发生，由此即可求出答案 【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率P(A)=子，事件B发生的P(B)=》 事件都不发生的对立事件是事件A、B至少有一个发生， 所以事件A,B都不发生的概率为：Pa丽)=1-P(4UB)=1-号言 故选：B. 4.(25-26高二上浙江舟山·期末)一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球， 现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为() A昌 B.月 C. 0.月 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】利用列举法结合古典概率公式即可求解 【详解】对2个红色球，2个绿色球依次编号为1,2，a,b, 从袋中不放回地依次随机摸两个球， 共有(1,2)，(1，a,(1,b),(2,a),(2,b),(a,b),(2,1),(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(b,a共12种， 两个球颜色相同的情况共有(1,2)，(2,1)，(a,b),(b,a)4种， 则两个球颜色相同的概率P=音= 故选：D 5.(23-24高二下浙江舟山期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(A=子P(回)=五P(☑B+ 7 AB=子则P(A+B)=() A品 B. c D. 第2页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为P(=克P回=五故P网=子P(B)=吾 因为AB与AB为互斥事件，故P(AB+AB=P(AB)+P(AB)= P(AB)+P(AB)=P(B),P(AB)+P(AB)=P(A), 所以有P(B)-P(4B)+P(A-P(AB)-音+-2P(AB)= 故P(AB)-青故PA+)=P④+P(O)-P(4B)-+品-吉品 故选：A 6.(25-26高一上江西南昌期末)把标号为1,2,3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲 分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是() A.A∩B是不可能事件 B.A,B是互斥事件 C.AUBUC是必然事件 D.B,C是对立事件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系、确定性事件与随机事件的概 率 【分析】1号卡片只能分给甲、乙、丙中的一个人，因此事件A、B、C之间存在明确的互斥关系，我们可 以据此逐一判断每个选项的正误。 【详解】A选项：事件A(甲得1号)和事件B(乙得1号)不可能同时发生，因此A∩B是不可能事件， A正确 B选项：事件A和B不能同时发生，因此是互斥事件，B正确。 C选项：AUBUC表示“1号卡片分给甲、乙或丙”，这在分卡片时必然发生，因此是必然事件，C正确， D选项：事件B(乙得1号)和C(丙得1号)是互斥事件，但不是对立事件，因为还存在“甲得1号"的情 况（事件A),两者的并集不是必然事件，故D错误. 故选：D 7.（25-26高一全国·寒假作业)将四位数2025的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含 原来的四位数)中两个2不相邻的概率为() A号 B. C. 0.子 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 第3页共14页 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】运用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】将2025各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有： 2205、2250、5220、5022、2025、2520、2052、2502、5202共9个， 所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有： 2025、2520、2052、2502、5202共5个， 所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为， 故选：A 8.(25-26高一上北京期末)若图G的关联结点（加黑的粗点)构成的点集记为V,V可划分为两个子集V1 和V2,V1∩V2=0,V1UV2=V,且图中的每一条边的一个关联结点在V1中，另一个关联结点必在V2中，则 将图G称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是() ☑二区安 (1) (2) (3 (4 A.这两个图都是二部图的概率为 B。这两个图至少有一个是二部图的概率为兰 C.这两个图不都是二部图的概率号 D.这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据二部图的定义得到图(1)与图(4)不是二部图，其他四个图都是二部图.从这六个图中任选两个， 利用列举法列出所有的选择，利用古典概型求出对应的概率 【详解】对于图(1)，图中出现了△ABC,则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图(4)也是如此，所以图(1)与图(4)不是二部图 除了这两个图，其他四个图都是二部图， 例如，对于图(3)，当V1={E,H,K,乃，V2={F,G,1,L时， 图中的每一条边的一个关联结点在V1中，另一个关联结点必在V2中： 对于图(5)，当V1=W,X,V2={T,U,V时， 图中的每一条边的一个关联结点在V,中，另一个关联结点必在V2中， 从这六个图中任选两个，所有的选择为 (1),(2),{(1),(3),(1),(4)},{(1),(5).(1),(6)} (2),(3),{(2),(4)}.{(2),(5),(2).(6).{(3),(4)} {(3),(5)},{(3),(6),{(4④，(5)，{(4)，(6)}，{(5)，(6)}，共15种. 这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种， 这两个图不都是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种， 第4页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故这两个图都是二部图的概率为号 ,故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为 ,故B正确： 这两个图不都是二部图的概率为号一 ,故C错误； 这两个图恰有一个是二部图的概率为 ,故D错误. 故选：B (1) (3) (5) 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（23-24高一下黑龙江期末)学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200 名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确 的是() A.高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B.高三学生被抽到的概率最大 C.高三学生被抽到的概率最小 D.每名学生被抽到的概率相等 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】确定抽样比可得A正确，由分层抽样遵循每个个体被抽到的概率相等的特点可得D正确. 【详解】根据分层抽样比可确定高三学生被抽出的人数为心0而×30=15，即A正确： 抽样方法中，每种抽样方式都遵循每个个体被抽到的概率相等的特点， 每个学生被抽到的机会均为m0o高即选项6GC错误，D正确 故选：AD 10.(24-25高一下.安徽阜阳·阶段检测)若从集合A={-2,-1,1,3}中随机选取一个数记为a,从集合B= {-6,2,5}中随机选取一个数记为b,则() A.ab>0的概率是 B。a+b>0的概率是品 C.直线y=ax+b不经过第一象限的概率是号 D.lna+lnb>1的概率是 12 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】对于选项A,先列出ab>0的情况，然后针对每个情况求出对应的概率，最后相加即是总概率值： 第5页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于选项B,先列出使得a+b>0的情况种数，然后即可计算概率值：对于选项C,先列出使得直线y=ax+b 不经过第一象限的情况种数，然后即可求得概率值：对于选项D,先列出使得la+lnb>1的情况种数， 然后即可求得概率值. 【详解】对于选项A:使得ab>0的情况有： ①a=-2b=-6,此时概率为P:=x号立：②a=-1,b=-6,此时既幸为B,=x @a=1,b=2,此时概率为P;=×京：④a=1,b=5,此时概率为P4=×品 ⑤a=3,b=2,此时概率为Ps=×-告： ×兮立⑥a=3,b=5,此时概率为P。=× 所以使得ab>0的概率为P=P1+P+P3+P4+Ps+P。=立×6=分A正确， 对于选项B:从集合A中随机选取一个数的概率为从集合B中随机选取一个数的概率为号 而使得a+b>0的情况有a=-2,b=5;a=-1,b=2；a=-1,b=5;a=1,b=2;a=1,b=5; a=3,b=2:a=3,b=5共7种 所以使得+b>0的概率为P=××7=品所以B正确， 4 对于选项C:从集合A中随机选取一个数的概率为好，从集合B中随机选取一个数的概率为号， 而使得直线y=ax+b不经过第一象限的情况有：a=-2,b=-6,a=-1,b=-6共2种. 所以使得直线y=ax+b不经过第一象限的概率为：P=××2=名C错误 对于选项D:从集合A中随机选取一个数的概率为左从集合B中随机选取一个数的概率为： 而使得lna+lnb>1的情况有：a=1,b=5;a=3,b=2;a=3,b=5共3种. 所以使得a+lmb>1的概率为P=x兮×3=子所以D错误。 故选：AB 11.(24-25高二下浙江宁波·期中)某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队"“乙队"“丙队"“丁队"进 行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每 队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，且每场比赛结 果相互独立，则在比赛结束时() A.甲队积分为9分的概率为号 B.不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为8 43 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A:举例比赛的各种得 分情况判断B:分甲胜乙、甲败乙、甲平乙，三种情况由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断C: 分甲得4分和6分两种情况可得D. 第6页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于选项A:若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率为发××方故A正确： 对于选项B:四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，故B错误： 对于选项C:每场比赛中两队胜、平、负的概率都为号 甲队胜2场且甲胜乙队2场，甲队胜2场且甲败给乙队或甲队胜2场且甲与乙队平， 则甲队胜2场且乙队胜2场的概率为2×(×子×()+()××2×（目×号+号×(）×()==立 故C正确： 对于选项D:甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，3×子例如是丙甲， 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意： 若甲全赢（概率是（付）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率号 ②若丙两场均平，概率是()， 乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意： ③若两场丙都输，概率是(，乙丁这场比赛只能平，概率是 综上概率为3××()×2×()×号+)+)×对=知故D正确 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(22-23高一下·浙江温州·期末)如图，由A,B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情 况，则事件M=“电路是通路"包含的样本点个数为 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 第7页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由A,B两个元件组成并联电路，至少有一个元件正常，列举出所有的样本点即可得解 【详解】设元件正常为1，失效为0， 由A,B两个元件组成并联电路， 则至少有一个元件正常， 故事件M包含的样本点为(1,1)，(1,0)，(0,1)共3个 故答案为：3. 13.(22-23高一下·吉林长春期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(A0=子，P(8)=,P(A+B)= 则P(AB)= 【答案】0.25 【难度】0.65 【知识点】事件的运算及其含义、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据条件，利用和事件的概率公式求出P(AB),再利用P(AB)+P(AB)=P(A)即可求出结果。 【详解】因为P☑+B)=P④+P⑧)-PA回=子又PA)=子P(B)= 得到P4团=是又因为P(4B)+P4⑧)=P(A,所以P(AB)=号吾- 故答案为：是 14.(23-24高一下.浙江宁波.期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件，记A,B为事件A,B的对立事件， 且P(A)=0.6,P(B=0.3,P(AB+AB=0.5,则P(AB)= 【答案】03始 【难度】0.4 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、概率的基本性质、事件的运算及其含义 【分析】先求出P(B)=0.7,根据AB∩AB=0得到P(AB)+P(AB=0.5,结合P(B)=P(4B)+P(AB)=0.7, P(A)=P(AB)+P(AB=0.6求出P(AB)=0.4,从而得到P(AB)=P(B)-P(AB)=0.3. 【详解】由题意得P(B)=1-P(B=0.7,AB,AB为互斥事件， 即ABnAB=0, P(AB +AB)=P(AB)+P(AB)-P(AB nAB)=P(AB)+P(AB)=0.5. 又P(B)=P(AB)+P(AB)=0.7①，P(A)=P(AB)+P(AB=0.6②， 式子①②相加得2P(AB)+P(AB)+P(AB=1.3, 故2P(AB)=1.3-P(AB)-P(AB=0.8, 所以P(AB)=0.4,则P(AB)=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3. 故答案为：0.3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(24-25高一下·全国·课后作业)从一批100件的产品中每次取出一个（取出后不放回），假设 第8页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 100件产品中有5件是次品，用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件： (1)三次全取到次品；(2)只有第一次取到次品；(3)三次中至少有一次取到次品； (4)三次中恰有两次取到次品；(5)三次中至多有一次取到次品. 【答案】(1)A1A2A3;(2)A1A2A3;(3)A1UA2UA3:(4)A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3: (5)AA2A3 UA1A2A3 UA1A2A3 UA1A2A3 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、概率的基本性质 【分析】(1)(2)(3)(4)(5)由对立事件的性质和概率的基本运算求解即可. 【详解】(1)由题意得三次全取到次品为A1A2A3 (2)由题意得只有第一次取到次品为A1A2A, (3)由题意得三次中至少有一次取到次品为A1UA2UA3 (4)由题意得三次中恰有两次取到次品为A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3· (5)由题意得三次中至多有一次取到次品为A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3UA1A2A3: 16.(15分)(24-25高一下·河北期末)象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中 华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象 棋比赛比赛分为初赛和决赛.初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学 生，记录他们的分数，将数据分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率 分布直方图： 频率 个组距 0.042 0.012 0.008 5060708090100成绩/分 (1)根据直方图，求α的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数x: (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局 两胜制若甲每局比赛获胜的概率均为号，且各轮比赛结果相互独立求甲最终获胜的概率。 【答案】a=003,78:(2号 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、补全频率分布直方图、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、 由频率分布直方图估计平均数 【分析】(1)根据频率分布直方图各组频率之和等于1求出a,由频率分布直方图估算平均数计算得解； (2)由题，甲最终获胜，比分可能是2：0,2：1，分别求出概率，再根据互斥事件的概率公式求解. 第9页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解(1)由频率分布直方图，[50,60)的频率为0.08，[60,70)的频率为0.12，[80,90)的频率为0.42，[90,100] 的频率为0.08， 所以[70,80)的频率为1-0.08-0.12-0.42-0.08=0.3， 所以a=器=0.03， 根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 元=55×0.08+65×0.12+75×0.3+85×0.42+95×0.08=78分 (2)因为甲最终获胜，比分可能是2：0,2：1， 设甲2：0获胜为事件A,2:1获胜为事件B, 若甲2：0获胜，则概率为PA=()=青 若甲2：1获胜，则概率为P®)=×()+号××号号 又A,B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为P(④+P(B)=碧 17.(15分)(23-24高一下·天津.期末)抽取某车床生产的8个零件，编号为A1,A2,,A8,测得其直径 （单位：cm)分别为：1.51,1.49,1.49,1.51,1.49,1.48,1.47,1.53，其中直径在区间[1.49,1.51]内的 零件为一等品 (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2 个零件直径相等的概率， 【答案】(1后：(2结果见解析， 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果： (2)根据条件，列出样本空间点和事件B的样本点，利用古典概率公式，即可求出结果 【详解】(1)由所给数据可知，一等品零件共有5个 设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A,则P(4)=吾 所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为 (2)一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个， 所有可能的结果有：0={(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A2,A1),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5), (A3,A1),(A3,A2,(A3,A4,(A3,A5),(A4,A1),(A4A2),(A4,A3),(A4,A5),(A5,A1),(A5,A2)(A5,A3),(A5,A4} 共20种. 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件B,所有可能结果有： B={(A1,A4),(A2,A3),(A2,A5),(A3,A5),(A4A1),(A3,A2),(A5,A2),(A5,A3)},共有8种 所以，P8)=品=号 第10页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(17分)(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球， 其中黑球编号为1,2,3，白球编号为4,5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件A=“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件B=“不放回地依 次取出时，取出小球编号之和为n”,当n=5时，分别求事件A,B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结 果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜： 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜： 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， ()当n=3时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ ()当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1P(0=若P(B)=(2)①：(iD5,6,7 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)利用列举法求出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解： (2)()利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二获得书签的概率P(M=品+品P(⑧)，再根 据当n=3时，P(B)=二即可得答案； 10 (D同(D,求得先玩游戏三获得书签的概率PW=号P(B),从而得到P(B)>言满足题意，再结合(1)， 讨论满足的n的解即可. 【详解】(1)解：对于事件A,有放回地依次取出两个球的样本空间2={(x,y)x,y∈{1,2,3,4,5)}， 则n()=25,因为A={(4,4,(4,5),(5,4),(5,5)},所以n(A)=4, 所以P④-恩=若 对于事件B,不放回地依次取出两个球的样本空间 22={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4).(4,1),(1,5),(5,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2), (2,5),(5,2),(3,4,(43),(3,5),(5,3).(4,5).(5,4)} 则n(02)=20,因为B={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)},所以n(B)=4, 所以P(®)=品-吉专 (2)解：()设M=“先玩游戏二时，获得书签”，N=“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件C=“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，C的样本空间为23={1,2,3,4,5， 则na)=5.C=45mO=2,所以P0-品- 则M=CAB U CABUCAB.CAB,CAB,CAB互斥，A,B,C相互独立， 第11页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(M)=P(CAB U CAB U CAB)=P(CAB)+P(CAB)+P(CAB) 8.12 =P(G)P(A1-P(B]+P(AP(B)P(9+[1-P(OJP(4P(B)=i25+2P(B) 由①知，当n=3时，B=,2Q,以.P0)-品-总-前 PM=品s+品P(B)=品+品×0=器=” 所以当肌=3时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为二 (D由（①知P(M=品+品P(8, 同理，N=CBA UCBAUCBA,CBA,CBA,CBA互斥，A,B,C相互独立， P(N)=P(CBA U CBA UCBA)=P(CBA)+P(CBA)+P(CBA). =P(C)P(B)[1-P(A)]+P(A)P(B)P(C)+[1-P(C)]P(B)P(A) 62 =1z5P(B) 因为PW>PM,所以品P®)>品+品PB),解得P(B)>若 仿照1)中的方法得，当n=3时，B=,2.(21以.P(9)=渴-品=品 当n=4时，B=1,3.81,P回)=瑞=品-品 当n=5时，B={(1,4④，(41)，(2,3)，3,2，P(B)=m=±= n(02)205 当n=6时，8=，55,1(2利.42.P@=品=音专 当n=7时，B=2.(526到.(430P=溜-奇=专 当n=8时，B=8,5(5,3:P8)=品=品=六 当n=9时，B=4.64P@)=品=号=品 所以，当n=5,67对应的P(B)均为大于云满足题意： n=3,489对应的P(B)均为行小于若不满足题意. 4 因此，符合题意的n的取值为5,6,7. 19.(17分)(24-25高一上辽宁大连.期末)将连续正整数1,2,3，…，n(n∈N)从小到大排列构成一个数123… n,F(n)为这个数的位数.例如：当n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，则F(12)=15.现 从这个数中随机取一个数字，P()为恰好取到0的概率. (1)求P(101): (2)当n≤2025时，求F(n)的表达式： (3)令f(n)为这个数中数字9的个数，g(n)为这个数中数字0的个数，h(n)=f(n)-g(m),S={nlh(n)= 1,n≤100，n∈N},求当n∈S时P(m)的最大值. 第12页共14页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n,1≤n≤9 【答案】(1 2n-9,10≤n≤99 :(2)F(n) 3n-108,100≤n≤999 :哈 4n-1107,1000≤n≤2025 【难度】0.15 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)由题意F(101)=9+90×2+3×2=195,其中数字0有12个，即可得概率： (2)考虑1≤n≤9,10≤n≤99,100≤n≤999,1000≤n≤2025，依次计算得结果： (3)考虑n=b(1≤b≤9，beN),n=10k+b(1≤k≤9,1≤b≤9，k∈N*,b∈N*),n=100三种情况， 得gm),f(n)的解析式，进而有S=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},再求概率的最值： 【详解】(1)当n=101时，有F(101)=9+90×2+3×2=195,即这个数字共有195个数字， 其中数字0的个数有1卫个，所以恰好取得0的概率P101)一品-高 (2)当1≤n≤9，这个数由n个1位数组成，F(n)=n: 当10≤n≤99，这个数由9个一位数，n-9个两位数组成，F(n)=2n-9: 当100≤n≤999，这个数由9个一位数，90个两位数，n-99个三位数组成，F(n)=3n-108: 当1000≤n≤2025，这个数由9个一位数，90个两位数，900个三位数，n-999个四位数组成，F(n)= 4n-1107: n,1≤n≤9 综上，F(n) 2n-9,10≤n≤99 3n-108,100≤n≤999 4-1107,1000≤n≤2025 (3)当n=b(1≤b≤9，beN)时，g(m)=0: 当n=10k+b(1≤k≤9,1≤b≤9，k∈N*,b∈N时，g(n)=k: 当n=100时，g(n)=11, 0,1≤n≤9 所以g(n) k,n=10k+b(1≤k≤9,1≤b≤9，keN*,b∈N*), 11,n=100 0,1≤n≤8 同理f(n) k,n=10k+b-1(1≤k≤8,1≤b≤9，k∈N*,b∈N*) n-80,89≤n≤98 20,n={99,100} 所以h(n)=f(m)-g(m)=1,则n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 当n≤100，则S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}, 当n=9,P(9)=0, 当n=90,P(90=品=高 当n=10k+91≤k≤8k∈N),P0m=0=,k k fm=2n9=20k+9 y=点品一务×关于k单调递增， 当n=10k+91≤k≤8k∈N):Pm最大值为P(89)=& 第13页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又8<所以neS时P(m最大值为号 第14页共14页 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一下学期 第5章 概率 (高效培优单元测试·提升卷) 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 高一下学期第5章概率 (高效培优单元测试提升卷)答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 n 意事 体工整、笔迹清晰。 0 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 123 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 1234 23 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 123456789 5 破。 6 5.正确填涂 789 6789 6789 56789 6789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 单选题（共8小题， 每小题5分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][BI[C][D] 艾廨 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][BI[C][D] 多选题（共3小题，每小题6分， 共18分) 9[A][B[C][D] 10[A][BI[C][D 11[A[B[C][D] 三、填空题（共3小题， 每小题5分，共15分) 12 13 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 频率 组距 0.042 0.012 0.008 5060708090100成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一下学期 第5章 概率 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.（24-25高一下·天津滨海新区·期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是（    ） A．取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B．取出的两个球颜色相同 C．取出的两个球至多有一个是红色 D．取出的两个球至少有个一是红色 2.（25-26高一上·北京·期末）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·重庆·期末）已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·浙江舟山·期末）一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 5.（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（   ） A．是不可能事件 B．A，B是互斥事件 C．是必然事件 D．B，C是对立事件 7.（25-26高一·全国·寒假作业）将四位数2025的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·北京·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（23-24高一下·黑龙江·期末）学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（    ） A．高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每名学生被抽到的概率相等 10.（24-25高一下·安徽阜阳·阶段检测）若从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则（    ） A．的概率是 B．的概率是 C．直线不经过第一象限的概率是 D．的概率是 11.（24-25高二下·浙江宁波·期中）某区四所高中各自组建了排球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（22-23高一下·浙江温州·期末）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为______________.    13.（22-23高一下·吉林长春·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 14.（23-24高一下·浙江宁波·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)（24-25高一下·全国·课后作业）从一批100件的产品中每次取出一个（取出后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件表示第次取到次品（，2，3），试用，，表示下列事件： (1)三次全取到次品；(2)只有第一次取到次品；(3)三次中至少有一次取到次品；(4)三次中恰有两次取到次品；(5)三次中至多有一次取到次品． 16.(15分)（24-25高一下·河北·期末）象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛.初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数； (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 17．(15分)（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 18．(17分)（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 19．(17分)（24-25高一上·辽宁大连·期末）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 数学 第4页(共6页) 数学 第5页(共6页) 数学 第6页(共6页) 数学 第1页(共6页) 数学 第2页(共6页) 数学 第3页(共6页) 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期 第5章 概率 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.（24-25高一下·天津滨海新区·期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是（    ） A．取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B．取出的两个球颜色相同 C．取出的两个球至多有一个是红色 D．取出的两个球至少有个一是红色 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】由事件的关系逐一判断各个选项即可得解. 【详解】与事件“取出的两个球同为红色”对立的事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”， 故所求事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”的子事件，且不能等同于该事件， 对于A，由以上分析可知A正确； 对于BD，由于取出的两个球可能都为红色，故不互斥，故BD不正确； 对于C，由以上分析可知，C选项是事件“取出的两个球同为红色”的对立事件，故C不正确. 故选：A. 2.（25-26高一上·北京·期末）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可. 【详解】从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，用集合表示为： ，共种情况， 其中符合所取两个数之和为5，共种情况， 所以所取两个数之和为5的概率是. 故选：B 3.（24-25高一下·重庆·期末）已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】事件A、B互斥，事件都不发生的对立事件是事件与至少有一个发生,由此即可求出答案. 【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率，事件B发生的， 事件都不发生的对立事件是事件A、B至少有一个发生, 所以事件，都不发生的概率为：. 故选：B. 4.（25-26高二上·浙江舟山·期末）一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】利用列举法结合古典概率公式即可求解. 【详解】对2个红色球，2个绿色球依次编号为， 从袋中不放回地依次随机摸两个球， 共有共12种， 两个球颜色相同的情况共有4种， 则两个球颜色相同的概率. 故选：D 5.（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 6.（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（   ） A．是不可能事件 B．A，B是互斥事件 C．是必然事件 D．B，C是对立事件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系、确定性事件与随机事件的概率 【分析】1 号卡片只能分给甲、乙、丙中的一个人，因此事件 A、B、C 之间存在明确的互斥关系，我们可以据此逐一判断每个选项的正误. 【详解】A选项：事件A（甲得1号）和事件B（乙得1号）不可能同时发生，因此 是不可能事件，A正确. B选项：事件A和B不能同时发生，因此是互斥事件，B正确. C选项： 表示“1号卡片分给甲、乙或丙”，这在分卡片时必然发生，因此是必然事件，C正确. D选项：事件B（乙得1号）和C（丙得1号）是互斥事件，但不是对立事件，因为还存在“甲得1号”的情况（事件A），两者的并集不是必然事件，故D错误. 故选：D 7.（25-26高一·全国·寒假作业）将四位数2025的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】运用列举法求古典概型的概率即可． 【详解】将2025各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有： 2205、2250、5220、5022、2025、2520、2052、2502、5202共9个， 所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有： 2025、2520、2052、2502、5202共5个， 所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为． 故选：A． 8.（25-26高一上·北京·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据二部图的定义得到图与图不是二部图，其他四个图都是二部图.从这六个图中任选两个，利用列举法列出所有的选择，利用古典概型求出对应的概率. 【详解】对于图，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图也是如此，所以图与图不是二部图. 除了这两个图，其他四个图都是二部图. 例如，对于图，当时， 图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中； 对于图，当时， 图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中. 从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种. 这两个图都是二部图的选择共有种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有种， 这两个图不都是二部图的选择共有种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C错误； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：B. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（23-24高一下·黑龙江·期末）学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（    ） A．高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每名学生被抽到的概率相等 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】确定抽样比可得A正确，由分层抽样遵循每个个体被抽到的概率相等的特点可得D正确. 【详解】根据分层抽样比可确定高三学生被抽出的人数为，即A正确； 抽样方法中，每种抽样方式都遵循每个个体被抽到的概率相等的特点， 每个学生被抽到的机会均为，即选项BC错误，D正确. 故选：AD 10.（24-25高一下·安徽阜阳·阶段检测）若从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则（    ） A．的概率是 B．的概率是 C．直线不经过第一象限的概率是 D．的概率是 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】对于选项A，先列出的情况，然后针对每个情况求出对应的概率，最后相加即是总概率值；对于选项B，先列出使得的情况种数，然后即可计算概率值；对于选项C，先列出使得直线不经过第一象限的情况种数，然后即可求得概率值；对于选项D，先列出使得的情况种数，然后即可求得概率值. 【详解】对于选项A：使得的情况有： ①，此时概率为；②，此时概率为； ③，此时概率为；④，此时概率为； ⑤，此时概率为；⑥，此时概率为； 所以使得的概率为，A正确. 对于选项B：从集合中随机选取一个数的概率为，从集合中随机选取一个数的概率为， 而使得的情况有；；；；； ；共7种. 所以使得的概率为，所以B正确. 对于选项C：从集合中随机选取一个数的概率为，从集合中随机选取一个数的概率为， 而使得直线不经过第一象限的情况有：共2种. 所以使得直线不经过第一象限的概率为：，C错误. 对于选项D：从集合中随机选取一个数的概率为，从集合中随机选取一个数的概率为， 而使得的情况有：共3种. 所以使得的概率为，所以D错误. 故选：AB. 11.（24-25高二下·浙江宁波·期中）某区四所高中各自组建了排球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；分甲胜乙、甲败乙、甲平乙，三种情况由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断C；分甲得4分和6分两种情况可得D. 【详解】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率为，故A正确； 对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，故B错误； 对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为， 甲队胜2场且甲胜乙队2场，甲队胜2场且甲败给乙队或甲队胜2场且甲与乙队平， 则甲队胜2场且乙队胜2场的概率为，故C正确； 对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（22-23高一下·浙江温州·期末）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为______________.    【答案】 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】由A，B两个元件组成并联电路，至少有一个元件正常，列举出所有的样本点即可得解. 【详解】设元件正常为，失效为， 由A，B两个元件组成并联电路， 则至少有一个元件正常， 故事件包含的样本点为共个. 故答案为：. 13.（22-23高一下·吉林长春·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】事件的运算及其含义、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据条件，利用和事件的概率公式求出，再利用即可求出结果. 【详解】因为，又，， 得到，又因为，所以. 故答案为：. 14.（23-24高一下·浙江宁波·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 【答案】0.3/ 【难度】0.4 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、概率的基本性质、事件的运算及其含义 【分析】先求出，根据得到，结合，求出，从而得到. 【详解】由题意得，为互斥事件， 即， ， 又①，②， 式子①②相加得， 故， 所以，则. 故答案为：0.3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)（24-25高一下·全国·课后作业）从一批100件的产品中每次取出一个（取出后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件表示第次取到次品（，2，3），试用，，表示下列事件： (1)三次全取到次品；(2)只有第一次取到次品；(3)三次中至少有一次取到次品； (4)三次中恰有两次取到次品；(5)三次中至多有一次取到次品． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； (5) 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、概率的基本性质 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）由对立事件的性质和概率的基本运算求解即可. 【详解】（1）由题意得三次全取到次品为. （2）由题意得只有第一次取到次品为. （3）由题意得三次中至少有一次取到次品为. （4）由题意得三次中恰有两次取到次品为. （5）由题意得三次中至多有一次取到次品为. 16.(15分)（24-25高一下·河北·期末）象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛.初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数； (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 【答案】(1)，78；(2) 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、补全频率分布直方图、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率之和等于1求出，由频率分布直方图估算平均数计算得解； （2）由题，甲最终获胜，比分可能是，，分别求出概率，再根据互斥事件的概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为， 所以， 根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. （2）因为甲最终获胜，比分可能是，， 设甲获胜为事件A，获胜为事件， 若甲获胜，则概率为， 若甲获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为. 17．(15分)（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 【答案】(1)；(2)结果见解析， 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果； （2）根据条件，列出样本空间点和事件的样本点，利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个. 设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则. 所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为. （2）一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个， 所有可能的结果有：， ， 共20种. 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有： ，共有8种. 所以，. 18．(17分)（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1)，；(2)（i）；（ii）5，6，7 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用列举法求出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）（i）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二获得书签的概率，再根据当时，即可得答案； （ii）同（i），求得先玩游戏三获得书签的概率，从而得到满足题意，再结合（1），讨论满足的的解即可. 【详解】（1）解：对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以， 所以. 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ， 则，因为，所以， 所以. （2）解：（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为， 则，所以． 则互斥，相互独立， 所以 由（1）知，当时，，， , 所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为. （ii）由（i）知． 同理，互斥，相互独立， ． 因为，所以，解得． 仿照（1）中的方法得，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，当对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意． 因此，符合题意的的取值为5，6，7． 19．(17分)（24-25高一上·辽宁大连·期末）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【难度】0.15 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意，其中数字0有12个，即可得概率； （2）考虑，依次计算得结果； （3）考虑，，三种情况，得的解析式，进而有，再求概率的最值； 【详解】（1）当时，有，即这个数字共有195个数字， 其中数字0的个数有12个，所以恰好取得0的概率； （2）当，这个数由n个1位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数，个四位数组成，； 综上，. （3）当时，； 当时，； 当时，， 所以， 同理， 所以，则， 当，则， 当，， 当，， 当，， 由关于单调递增， 当，最大值为， 又，所以时最大值为. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高一下学期第5章概率 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.(24-25高一下·天津滨海新区·期末)从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的 两个球同为红色”互斥而不对立的事件是() A.取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B.取出的两个球颜色相同 C.取出的两个球至多有一个是红色 D.取出的两个球至少有个一是红色 2.(25-26高一上北京，期末)从1,2,3,4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是() A B. c 3.(2425高一下重庆期末)已知事件A,B互斥，且事件A发生的概率P(A)=号，且事件B发生的概率P(B)=子 则事件A,B都不发生的概率是() A B言 C. 15 0. 4.(25-26高二上·浙江舟山期末)一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球， 现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为() A号 B.3 c 0. 5.(23-24高二下浙江舟山期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(A=P(⑧=五，P(AB+ AB=则P(A+B)=() A品 B.号 c吕 D. 第1页共6页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26高一上江西南昌·期末)把标号为1,2,3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲 分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是() A.A∩B是不可能事件 B.A,B是互斥事件 C.AUBUC是必然事件 D.B,C是对立事件 7.(25-26高一全国寒假作业)将四位数2025的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含 原来的四位数)中两个2不相邻的概率为() A号 B. C. 0. 8.(25-26高一上北京期末)若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V,V可划分为两个子集V1 和V2,V1nV2=0,V1UV2=V,且图中的每一条边的一个关联结点在V1中，另一个关联结点必在V2中，则 将图G称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是() ☑日回☆☐ (1) (2) (3 (4 6 A.这两个图都是二部图的概率为 B。这两个图至少有一个是二部图的概率为普 C.这两个图不都是二部图的概率为 D.这两个图恰有一个是二部图的概率为 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.(23-24高一下·黑龙江·期末)学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200 名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确 的是() A.高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B.高三学生被抽到的概率最大 C.高三学生被抽到的概率最小 D.每名学生被抽到的概率相等 10.(24-25高一下·安徽阜阳·阶段检测)若从集合A={-2,-1,1,3}中随机选取一个数记为a,从集合B= {-6,2,5}中随机选取一个数记为b,则() A.ab>0的概率是 B.a+b>0的概率是品 c.直线y=Qx+b不经过第一象限的概率是胃 D.1a+hb>1的概率是品 11.(24-25高二下·浙江宁波·期中)某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队"“乙队”“丙队”“丁队"）进 第2页共6页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每 队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，且每场比赛结 果相互独立，则在比赛结束时() A.甲队积分为9分的概率为始 B.不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为号 D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(22-23高一下·浙江温州期末)如图，由A,B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情 况，则事件M=“电路是通路"包含的样本点个数为 13.(22-23高一下吉林长春期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=子，P(B)=,P(A+B)= 则P(AB)= 14.（23-24高一下·浙江宁波期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件，记A,B为事件A,B的对立事件， 且P(A)=0.6,P(B=0.3,PAB+AB=0.5,则P(AB)= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(24-25高一下·全国·课后作业)从一批100件的产品中每次取出一个（取出后不放回），假设 100件产品中有5件是次品，用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件： (1)三次全取到次品；(2)只有第一次取到次品；(3)三次中至少有一次取到次品： (4)三次中恰有两次取到次品；(5)三次中至多有一次取到次品. 第3页共6页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(15分)(24-25高一下河北期末)象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中 华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象 棋比赛比赛分为初赛和决赛.初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学 生，记录他们的分数，将数据分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率 分布直方图： (1)根据直方图，求a的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数x: (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局 两胜制若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立求甲最终获胜的概率 频率 个组距 0.042 Q 0.012 0.008 5060708090100成绩/分 17.(15分)(23-24高一下·天津.期末)抽取某车床生产的8个零件，编号为A1,A2,,Ag,测得其直径 (单位：cm)分别为：1.51,1.49,1.49,1.51,1.49,1.48,1.47,1.53，其中直径在区间[1.49,1.51]内的 零件为一等品 (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率： (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2 个零件直径相等的概率. 第4页共6页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(17分)(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球， 其中黑球编号为1,2,3，白球编号为4,5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件A=“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件B=“不放回地依 次取出时，取出小球编号之和为n”,当n=5时，分别求事件A,B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结 果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜： 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜： 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， (i)当n=3时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ (ⅱ)当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 第5页共6页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分)(24-25高一上辽宁大连·期末)将连续正整数1,2,3，…，n(n∈N)从小到大排列构成一个数123… n,F(n)为这个数的位数.例如：当n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，则F(12)=15.现 从这个数中随机取一个数字，P()为恰好取到0的概率. (1)求P(101): (2)当n≤2025时，求F(n)的表达式： (3)令f(n)为这个数中数字9的个数，g(n)为这个数中数字0的个数，h(n)=f(n)-g(n),S={nlh(n)= 1,n≤100，n∈N},求当m∈S时P(m)的最大值. 第6页共6页 高一下学期 第5章 概率 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.（24-25高一下·天津滨海新区·期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是（    ） A．取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B．取出的两个球颜色相同 C．取出的两个球至多有一个是红色 D．取出的两个球至少有个一是红色 2.（25-26高一上·北京·期末）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·重庆·期末）已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·浙江舟山·期末）一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 5.（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（   ） A．是不可能事件 B．A，B是互斥事件 C．是必然事件 D．B，C是对立事件 7.（25-26高一·全国·寒假作业）将四位数2025的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·北京·期末）若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（23-24高一下·黑龙江·期末）学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（    ） A．高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每名学生被抽到的概率相等 10.（24-25高一下·安徽阜阳·阶段检测）若从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则（    ） A．的概率是 B．的概率是 C．直线不经过第一象限的概率是 D．的概率是 11.（24-25高二下·浙江宁波·期中）某区四所高中各自组建了排球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（22-23高一下·浙江温州·期末）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为______________.    13.（22-23高一下·吉林长春·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 14.（23-24高一下·浙江宁波·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)（24-25高一下·全国·课后作业）从一批100件的产品中每次取出一个（取出后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件表示第次取到次品（，2，3），试用，，表示下列事件： (1)三次全取到次品；(2)只有第一次取到次品；(3)三次中至少有一次取到次品； (4)三次中恰有两次取到次品；(5)三次中至多有一次取到次品． 16.(15分)（24-25高一下·河北·期末）象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛.初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数； (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 17．(15分)（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 18．(17分)（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 19．(17分)（24-25高一上·辽宁大连·期末）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一下学期第5章概率 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生 务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 月 2.回答第|卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。 典 写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1.(24-25高一下·天津滨海新区·期末)从装有3个红球和2个黑球的口 袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事 艾响 N 件是() A.取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B.取出的两个球颜色相同 C.取出的两个球至多有一个是红色 D.取出的两个球至少有个一是红色 2.（25-26高一上北京期末)从1,2,3,4这四个数中随机选取两个数， 所取两个数之和为5的概率是() 帝 A. B. C. 0. 相 3.(24-25高一下·重庆期末)己知事件A,B互斥，且事件A发生的概率 P(A)=,且事件B发生的概率P(B)=子则事件A,B都不发生的概率是 () A. c 烂 4.(（25-26高二上浙江舟山·期末)一个袋中有大小和质地都相同的4个 球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2 个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为() A.ξ 6.3 c.月 D. 数学第1页（共6页） 5.(23-24高二下.浙江舟山·期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件， 且P(M=克P(间=五P(AB+A=子则P(M+B)=() A.2 7 B.c.告0. 6.（25-26高一上江西南昌·期末)把标号为1,2,3的三张卡片分发给 甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得 1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是() A.A∩B是不可能事件 B.A,B是互斥事件 C.AUBUC是必然事件 D.B,C是对立事件 7.(25-26高一全国·寒假作业)将四位数2025的各个数字打乱顺序重新 排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的 概率为() A.号 B.4 C. 0. 8.(25-26高一上北京·期末)若图G的关联结点（加黑的粗点)构成的 点集记为V,V可划分为两个子集V1和V2,V1nV2=,V1UV2=V,且 图中的每一条边的一个关联结点在V1中，另一个关联结点必在V2中，则 将图G称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正 确的是() (1) (2) (3) 4) A.这两个图都是二部图的概率为 B。这两个图至少有一个是二部图的概率为若 C.这两个图不都是二部图的概率为 D.这两个图恰有一个是二部图的概率为 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分. 9.（23-24高一下·黑龙江·期末)学校对高中三个年级的学生进行调查， 其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学 生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确 数学第2页（共6页） 的是() A.高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B.高三学生被抽到的概率最大 C.高三学生被抽到的概率最小 D.每名学生被抽到的概率相等 10.(24-25高一下.安徽阜阳-阶段检测)若从集合A={-2,-1,1,3}中随 机选取一个数记为a,从集合B={-6,2,5}中随机选取一个数记为b,则() A.ab>0的概率是 B。a+b>0的概率是品 C.直线y=ax+b不经过第一象限的概率是 D.lna+lnb>1的概率是 2 11.(24-25高二下·浙江宁波期中)某区四所高中各自组建了排球队（分别 记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队)进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他 各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队 胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、 负的概率都为，且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（) A.甲队积分为9分的概率为号 B.不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为分 D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为，8 243 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(22-23高一下浙江温州期末)如图，由A,B两个元件组成并联电 路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M=“电路是通路”包含的 样本点个数为 13.（22-23高一下·吉林长春期末)设A,B是一个随机试验中的两个事件， 且P(A)=子，P(B)=2P(A+B)=则P(AB)= 数学第3页（共6页） 14.（23-24高一下.浙江宁波.期末)设A,B是一个随机试验中的两个事 件，记A,B为事件A,B的对立事件，且P(A)=0.6,P(B=0.3,P(AB+ AB=0.5,则PAB)= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 15.(13分)(24-25高一下·全国课后作业)从一批100件的产品中每次 取出一个（取出后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件Ak 表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件： (1)三次全取到次品；(2)只有第一次取到次品；(3)三次中至少有一次取到 次品：(4)三次中恰有两次取到次品：(5)三次中至多有一次取到次品， 16.(15分)(24-25高一下.河北期末)象棋是中华民族优秀的传统文化 遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生 活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象 棋比赛比赛分为初赛和决赛初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学 生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组： [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如图频率分布 直方图： (1)根据直方图，求a的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数x: (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙 进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制若甲每局比赛获胜的概率均为， 且各轮比赛结果相互独立求甲最终获胜的概率」 频率 个组距 0.042… 0.012 0.008- 5060708090100成绩/分 数学第4页（共6页） 17.(15分)(23-24高一下.天津.期末)抽取某车床生产的8个零件，编 号为A1,A2,,A8,测得其直径（单位：cm)分别为：1.51,1.49,1.49， 1.51,1.49,1.48,1.47,1.53,其中直径在区间[1.49,1.51]内的零件为一 等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列 出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 18.(17分)(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)不透明的盒子里装有除颜色 外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1,2,3，白球编号 为4,5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件A=“有放回地依次取出时，取 到两个白球”，事件B=“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”， 当n=5时，分别求事件A,B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个 游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得 一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜： 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜： 数学第5页（共6页） 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜， 小明同学决定先玩游戏一， (i)当n=3时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ ()当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更 大？ 19.(17分)（24-25高一上辽宁大连·期末)将连续正整数1,2,3，…，n(m∈ N)从小到大排列构成一个数123…n,F(n)为这个数的位数.例如：当 n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，则F(12)=15.现 从这个数中随机取一个数字，P()为恰好取到0的概率. (1)求P(101): (2)当n≤2025时，求F(n)的表达式： (3)令f(n)为这个数中数字9的个数，g(n)为这个数中数字0的个数， h(n)=f(n)-g(n),S={lh(n)=1,n≤100，n∈W},求当n∈S时 P(n)的最大值. 数学第6页（共6页）