第十章 概率（单元自测·提升卷）高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第十章 概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 2．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 4．用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数m，记事件“m能被5整除”，事件“m为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为（   ） A． B． C． D．1 5．甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 6．如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥，A与C相互对立 B． C． D． 7．已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 8．进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（   ） A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C．发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D．当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一台机器每启动一次都随机地出现一个位数字，其中的各位数字，则（    ） A．的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点 B．若的各位数字都等可能地取值0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都等可能地取值0或1，则中各位数字之和是3的概率为 D．若，出现0的概率为，出现1的概率为，则中各位数字恰有两个0的概率为 10．某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（     ） A．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C．“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D．“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 11．小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是（    ） A．抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜 B．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜 C．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷 D．抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知事件两两互斥，若，则__________. 13．由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是______. 14．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为． (1)求袋子中绿球的个数； (2)若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率． 16．（15分） 为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组，第二组，…，第六组.整理数据得到如图所示的频率分布直方图. (1)该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数； (2)若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在内的概率. 17．（15分） 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭投入壶中计算得分，每场投中情况分“有初”、“贯耳”、“散射”、“双耳”、“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”.现有比赛分两轮，第一轮是每人单独进行两场，只要获得筹数之和不为零就可以进入第二轮；第二轮为淘汰赛，两人比赛三场，以获得的总筹数多者为胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同， (1)求乙每场比赛获得的筹数不超过两筹的概率； (2)求甲能进入第二轮的概率； (3)现甲、乙两人均进入第二轮．且比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，求甲获胜的概率． 18．（17分） 甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 19．（17分） 某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略. (1)若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率； (2)若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率； (3)应该在第一局选择哪种策略？为什么？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第十章 概率·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B A C C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）袋子中装有4个红球，m个绿球，从中有放回地随机取出1个球， 则绿球被取出的概率为．（2分） 由题可知，解得， （4分） 故袋子中绿球的个数为2．（5分） （2）由题可知，每次绿球被取出的概率为，则每次红球被取出的概率为， （7分） 且2次取出的球的颜色相互独立． 第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为；（9分） 第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为．（11分） 故2次取出的球的颜色不同的概率为．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由频率分布直方图，可得学生成绩在内的频率为0.04，在内的频率为0.16，（2分） 故估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数为.（4分） （2）学生成绩在内的频率为0.08，在内的频率为0.16， 则抽取的6人中，成绩在内的有2人，在内的有4人.（6分） 记成绩在内的4名学生为a，b，c，d，在内的2名学生为E，F， 则从6人中任选3人，样本空间可记 ，共包含20个样本.（10分） 用事件A表示“这3人中恰有1人成绩在内”，则A={aEF，bEF，cEF，dEF}，A包含4个样本. 故所求概率.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）每场比赛获得的筹数与概率列表如下： 筹数 2 4 5 6 10 0 （3分） 设乙每场比赛获得的筹数不超过两筹为事件，（4分） （2）设甲能进入第二轮为事件B，.（7分） （3）若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹．分以下四种情况： ①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率；（8分） ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率；（10分） ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率；.（12分） ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”， 此情况发生的概率，（14分） 故甲获胜的概率．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）该试验的样本空间为 ，共有8个样本点，（2分） 样本点的概率为，样本点的概率为，（4分） 这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型.（5分） （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9.（6分） 设事件“甲第次投进”，，则 因为.（8分） 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥，（10分） 所以 （14分） 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下：（15分） ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）第一局采取保守策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 若第二局选保守：胜率；败率，进入第三局选择激进策略（胜率）（1分） 若第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率），（2分） 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：，（3分） 由于，第二局应选保守策略，胜率为，（4分） 情况2：A第一局败（概率），此时比分 若第二局选保守：胜率；进入第三局选择激进策略（胜率），（5分） 若第二局选激进：胜率；第三局选择激进策略（胜率），（6分） 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：，（7分） 由于，第二局应选激进策略，胜率为，（8分） 综上，第一局保守策略的总胜率.（9分） （2）第一局采取激进策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 第二局选保守：胜率；败率，则进入第三局选择激进策略（胜率），（10分） 第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率），（11分） 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选保守策略，胜率为，（13分） 情况2：第一局败（概率），此时比分， 因第一局使用激进策略失败，第二局胜率降为 若第三局选保守：胜率，若第三局选激进：胜率，所以第三局选择激进策略，（14分） 综上，第一局激进策略的总胜率：（15分） （3）因为，即第一局选择保守策略最终获胜的概率大于第一局选择激进策略最终获胜的概率，所以应在第一局选择保守策略.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $