第5章 概率（单元自测·基础卷）数学湘教版必修第二册

高一数学单元自测卷 第5章 概率·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　) A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶 【答案】D 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件． 故选：D 2．某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【知识点】抽奖、彩票的概率解释 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 3．掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为S的概率是P，则P最大时S等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】求出点数之和的所有情况，算出出现的次数，即可得解. 【详解】 第一枚第二枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 根据上图可知：点数之和为7时出现的次数最多即概率最大. 故选：B 4．若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每个学生被抽到的概率为，则下列解释正确的是(　　) A．4个人中，必有1个被抽到 B．每个人被抽到的可能性为 C．由于有被抽到与不被抽到两种情况，故不被抽到的概率为 D．以上说法都不正确 【答案】B 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据给定条件，利用古典概率的意义求解作答. 【详解】每个学生被抽到的概率为，由概率的意义知，每个人被抽到的可能性都为，B正确； 指定的4个人中，可能都没有被抽到，也可能被抽到的不只1个人，A不正确； 每个人不被抽到的概率为，C不正确；由于B正确，则D不正确. 故选：B 5．太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立， 若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为. 故选：D. 6．供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 【答案】C 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】根据频率分布直方图逐一计算分析，求出12月份人数最多的一组，判断选项A正确；计算12月份用电不低于20度的频率与频数，判断选项B正确；计算12月份人均用电，判断选项C错误；求出用电量在的频数，再根据概率计算，求出选到的居民用电量在一组的概率，即可判断选项D正确. 【详解】对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是， 有（人），故选项A正确； 对于B：12月份用电量不低于20度的频率是， 有（人），故选项B正确； 对于C：12月份人均用电量为： （度），故选项C错误； 对于D，用电量在的有：人， 所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在一组的概率为，故选项D正确. 故选：C. 7．新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】根据互斥事件的概念判断A；根据对立事件的概念判断C；根据古典概型的概率公式判断BD. 【详解】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间， 共有12个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 对于A，， 则事件，所以事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，故B错误； 对于C，， 则，且，所以事件与事件对立，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误， 故选：C. 8．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型公式及互斥事件概率加法公式逐项求解判断即可. 【详解】从甲袋中任取1球是红球的概率为，故A正确； ，故C错误； ，故D正确； ，故B正确. 故选：ABD. 10．一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，各4张，从扑克牌中随机取出1张，“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，则（    ） A．M与N互斥 B．M与P互斥 C．M与N相互独立 D．N与P对立 【答案】BC 【分析】利用互斥事件、独立事件与对立事件的定义与概率公式逐一判断即可. 【详解】因为“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”， 所以与可以同时发生，与不能同时发生，所以与不互斥，与互斥，故错误，正确； 因为，所以，故C正确； 因为与的并事件不是全事件，所以与不对立，故D错误. 故选：BC. 11．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（    ） A． B． C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ACD 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据古典概型概率公式计算概率判断AB，根据相互独立事件的定义结合概率的求法判断CD. 【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y， 则基本事件总数为，， ，， ，，共36种情形， 满足事件的有，共4种情形，其概率，故A正确； 满足事件的有，共2种情形，其概率，B不正确； 满足事件的有， ，，共18种情形， 其概率， 满足事件的有共2种情形，所以， 则，所以与相互独立，C正确； 满足事件的只有一种情形，所以， 因为，所以与相互独立，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某事件的概率是，下列说法正确的是 ． （1）发生的可能性是； （2）在10000个试验中，事件发生9700次； （3）随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动． 【答案】（1）（3） 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率和概率的定义，依次判断即可． 【详解】事件的概率是，发生的可能性是，（1）正确； 通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则在10000个试验中，应该事件发生9700次左右，不一定发生9700次，（2）错误； 因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大， 频率逐渐趋向于概率的值，随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动．（3）正确； 故答案为：（1）（3）. 13．某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可． 【详解】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即， 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，， 其中两人的成绩都低于的情况有6种， 分别为， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为. 故答案为：． 14．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 【答案】/ 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型的概率公式计算出、，即可求出的值. 【详解】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求第一次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式求解. 【详解】（1）两次取球的基本事件为，，共20个， 所以第一次取到红球的概率. （2）两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件， 由（1）可知两次取到红球的概率， 两次取到黑球的概率， 所以两次取到的球颜色相同的概率. 16．（15分））甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）分甲解出乙没有解出和乙解出甲没有解出两种情况，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （3）分甲、乙两人都解出和只有一人解出，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”， 则. （2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”， 则. （3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”， 则. 17．（15分）某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．          （Ⅰ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率； （Ⅱ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值； （Ⅲ）根据某税收规定，该汽车经销商每月（按30天计）上交税收的标准如下表： 月利润（单位：万元） 在(0,100]内的部分 超过100且不超过150的部分 超过150的部分 税率 1% 2% 4% 若该经销商按上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车3辆，估计其月纯收入（纯收入=总利润-上交税款）的平均值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（万元）;（Ⅲ）（万元）. 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、用频率估计概率 【详解】 （Ⅰ）由题意得采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率为； （Ⅱ）由题意得， ∴采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值为（万元） （Ⅲ）由（Ⅱ）可得根据某税收规定，按上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车3辆，该经销商月利润为， ∴该经销商上交税款为， ∴该经销商月纯收入的平均值为（万元）. 18．（17分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， (1)现分别采用分层挂样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率： (2)根据检测结果确定该指标的一个临界值，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产型手机、型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片会导致每部手机损失300元： 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元：请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】频率分布直方图的实际应用、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解. （2）根据频率分布直方图，计算损失费用与的关系式，即可比较后，判断选择的方案． 【详解】（1）由频率分布直方图及分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和 任取两件的样本空间，共15个样本点， 记事件：指标在和各1件，则，有3个样本点， 所以指标在和内各1件的概率． （2）设将甲、乙两种型号芯片应用于型、型手机时，该科技公司损失为（万元）， ，， 因此当时，；当时，；当时，， 所以当临界值时，选择方案二；当临界值时，选择方案一和方案二均可； 当临界值时，选择方案一． 19．（17分）杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)， (2)淘汰赛赛制和双败赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”,人们“对强者不公平”的质疑是不对的. 【分析】（1）若拿冠军则只需要连赢两场，对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，然后根据独立事件的乘法公式计算即可； （2）根据独立事件的乘法公式分别算出在不同赛制下拿冠军的概率，然后作差进行比较. 【详解】（1）记，拿到冠军分别为事件，， 淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此； 对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜，中的胜者， 因此. （2）记淘汰赛赛制和双败赛制下获得冠军的概率分别为， 则. 而双败赛制下，获得冠军有三种可能性： ①直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军. 因此， 显然， ，. 则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于， . 若时，即， 则双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小， 若时，即， 则双败赛制下，队伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大， 综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低， 更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的. 学科网（北京）股份有限公司10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第5章 概率·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B B D C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（1）（3） 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.(本小题满分13分) 【详解】（1）两次取球的基本事件为，，共20个， 所以第一次取到红球的概率. ( 6分) （2）两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件， 由（1）可知两次取到红球的概率， 两次取到黑球的概率， 所以两次取到的球颜色相同的概率. （13分） 16．(本小题满分15分) 【详解】（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”， 则.（3分） （2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”， 则.（9分） （3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”， 则.（15分） 17.(本小题满分15分) 【详解】 （Ⅰ）由题意得采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率为；（3分） （Ⅱ）由题意得， ∴采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值为（万元）（9分） （Ⅲ）由（Ⅱ）可得根据某税收规定，按上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车3辆，该经销商月利润为， ∴该经销商上交税款为， ∴该经销商月纯收入的平均值为（万元）.（15分） 18.(本小题满分17分) 【详解】（1）由频率分布直方图及分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和 任取两件的样本空间，共15个样本点， 记事件：指标在和各1件，则，有3个样本点， 所以指标在和内各1件的概率．（8分） （2）设将甲、乙两种型号芯片应用于型、型手机时，该科技公司损失为（万元）， ，， 因此当时，；当时，；当时，， 所以当临界值时，选择方案二；当临界值时，选择方案一和方案二均可； 当临界值时，选择方案一．（17分） 19.(本小题满分17分) 【详解】（1）记，拿到冠军分别为事件，， 淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此； 对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜，中的胜者， 因此.（6分） （2）记淘汰赛赛制和双败赛制下获得冠军的概率分别为， 则.（7分） 而双败赛制下，获得冠军有三种可能性： 1 直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军. 因此，（9分） 显然， ，.（11分） 则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于， . 若时，即， 则双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，（14分） 若时，即， 则双败赛制下，队伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大， （16分） 综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低， 更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高一数学单元自测卷 第5章 概率·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　) A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶 2．某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 3．掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为S的概率是P，则P最大时S等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每个学生被抽到的概率为，则下列解释正确的是(　　) A．4个人中，必有1个被抽到 B．每个人被抽到的可能性为 C．由于有被抽到与不被抽到两种情况，故不被抽到的概率为 D．以上说法都不正确 5．太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 6．供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 7．新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 8．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（    ） A． B． C． D． 10．一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，各4张，从扑克牌中随机取出1张，“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，则（    ） A．M与N互斥 B．M与P互斥 C．M与N相互独立 D．N与P对立 11．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（    ） A． B． C．与相互独立 D．与相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某事件的概率是，下列说法正确的是 ． （1）发生的可能性是； （2）在10000个试验中，事件发生9700次； （3）随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动． 13．某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ． 14．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求第一次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率． 16．（15分））甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 17．（15分）某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．          （Ⅰ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率； （Ⅱ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值； （Ⅲ）根据某税收规定，该汽车经销商每月（按30天计）上交税收的标准如下表： 月利润（单位：万元） 在(0,100]内的部分 超过100且不超过150的部分 超过150的部分 税率 1% 2% 4% 若该经销商按上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车3辆，估计其月纯收入（纯收入=总利润-上交税款）的平均值. 18．（17分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， (1)现分别采用分层挂样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率： (2)根据检测结果确定该指标的一个临界值，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产型手机、型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片会导致每部手机损失300元： 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元：请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由． 19．（17分）杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第5章 概率·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　) A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶 2．某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 3．掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为S的概率是P，则P最大时S等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每个学生被抽到的概率为，则下列解释正确的是(　　) A．4个人中，必有1个被抽到 B．每个人被抽到的可能性为 C．由于有被抽到与不被抽到两种情况，故不被抽到的概率为 D．以上说法都不正确 5．太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 6．供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 7．新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 8．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（    ） A． B． C． D． 10．一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，各4张，从扑克牌中随机取出1张，“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，则（    ） A．M与N互斥 B．M与P互斥 C．M与N相互独立 D．N与P对立 11．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（    ） A． B． C．与相互独立 D．与相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某事件的概率是，下列说法正确的是 ． （1）发生的可能性是； （2）在10000个试验中，事件发生9700次； （3）随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动． 13．某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ． 14．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求第一次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率． 16．（15分））甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 17．（15分）某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．          （Ⅰ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率； （Ⅱ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值； （Ⅲ）根据某税收规定，该汽车经销商每月（按30天计）上交税收的标准如下表： 月利润（单位：万元） 在(0,100]内的部分 超过100且不超过150的部分 超过150的部分 税率 1% 2% 4% 若该经销商按上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车3辆，估计其月纯收入（纯收入=总利润-上交税款）的平均值. 18．（17分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， (1)现分别采用分层挂样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率： (2)根据检测结果确定该指标的一个临界值，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产型手机、型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片会导致每部手机损失300元： 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元：请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由． 19．（17分）杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $