第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（思维导图+2知识点+4大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间中直线的方向向量 题型02 平面的法向量 题型03 利用空间向量解决平行及其探索性问题 题型04 利用空间向量解决垂直及其探索性问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.直线的方向向量 2.平面的法向量 3.用空间向量研究直线、平面的位置关系 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养. 2. 掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系,提升逻辑推理的核心素养. 3. 培养作图能力和空间想象能力,增强应用数学的意识,强化直观想象的核心素养. 学习重点：会求直线的方向向量平面的法向量 学习难点：能用空间向量解决直线、平面的位置关系 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的方向向量、平面的法向量 一、用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 二、平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: （1）设向量：设平面的法向量为 （2）选向量：选取两不共线向量 （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组：解方程组 （5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取) （6）得结论：得到平面的一个法向量. 即时即练 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 1、直线的方向向量 (1)直线的方向向量为非零向量. (2)直线的方向向量有无数个,如果a是直线的方向向量,则λa(λ≠0)必是直线的方向向量.求一条直线的方向向量,可以在直线上取两点a,b,则即为直线的一个方向向量. 2、平面的法向量的求解方法 (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 知识点02 空间向量在直线、平面的平行与垂直中的应用 1、空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 2、空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 即时即练 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 2．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【方法总结】 1、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.具体方法有如下两种. (1)坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. (2)基向量法:取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证明它们共线. 2、利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 4、用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. (2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 5、用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 6、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 题型01 空间中直线的方向向量 1．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 4．（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高二上·河南濮阳·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 直线的方向向量 (1)直线的方向向量为非零向量. (2)直线的方向向量有无数个,如果a是直线的方向向量,则λa(λ≠0)必是直线的方向向量.求一条直线的方向向量,可以在直线上取两点a,b,则即为直线的一个方向向量. 题型02 平面的法向量 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 6．（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 【技巧归纳】 平面的法向量的求解方法 (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 题型03 利用空间向量解决平行及其探索性问题 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 2．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 5．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【技巧归纳】 1、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.具体方法有如下两种. (1)坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. (2)基向量法:取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证明它们共线. 2、利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 题型04 利用空间向量解决垂直及其探索性问题 1．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【技巧归纳】 1、用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. (2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 2、用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 3、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 4．（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高二上·湖南·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高二上·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则______. 9．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 10．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 11．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    12．（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． (1)求证：平面； (2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 13．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个探究题，如图1，点分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接后就得到一个“刍甍”，如图2所示．若是四边形对角线的交点，试用向量方法证明：平面． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间中直线的方向向量 题型02 平面的法向量 题型03 利用空间向量解决平行及其探索性问题 题型04 利用空间向量解决垂直及其探索性问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.直线的方向向量 2.平面的法向量 3.用空间向量研究直线、平面的位置关系 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养. 2. 掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系,提升逻辑推理的核心素养. 3. 培养作图能力和空间想象能力,增强应用数学的意识,强化直观想象的核心素养. 学习重点：会求直线的方向向量平面的法向量 学习难点：能用空间向量解决直线、平面的位置关系 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的方向向量、平面的法向量 一、用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 二、平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: （1）设向量：设平面的法向量为 （2）选向量：选取两不共线向量 （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组：解方程组 （5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取) （6）得结论：得到平面的一个法向量. 即时即练 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 【方法总结】 1、直线的方向向量 (1)直线的方向向量为非零向量. (2)直线的方向向量有无数个,如果a是直线的方向向量,则λa(λ≠0)必是直线的方向向量.求一条直线的方向向量,可以在直线上取两点a,b,则即为直线的一个方向向量. 2、平面的法向量的求解方法 (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 知识点02 空间向量在直线、平面的平行与垂直中的应用 1、空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 2、空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 即时即练 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 2．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【方法总结】 1、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.具体方法有如下两种. (1)坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. (2)基向量法:取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证明它们共线. 2、利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 4、用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. (2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 5、用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 6、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 题型01 空间中直线的方向向量 1．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直线的方向向量和向量的坐标运算求解. 【详解】依题意，直线l的一个方向向量为. 故选： 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由两直线垂直有对应方向向量的数量积为0，再应用空间向量数量积的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，故. 故选：B 3．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 4．（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 5．（24-25高二上·河南濮阳·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得. 【详解】依题意，，，则， 所以点的坐标满足的关系式是. 故选：C. 【技巧归纳】 直线的方向向量 (1)直线的方向向量为非零向量. (2)直线的方向向量有无数个,如果a是直线的方向向量,则λa(λ≠0)必是直线的方向向量.求一条直线的方向向量,可以在直线上取两点a,b,则即为直线的一个方向向量. 题型02 平面的法向量 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 2．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 3．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点为平面内任意一点，有，由题意可得，可得x，y，z的关系，将选项分别代入检验，即可得答案. 【详解】设点为平面内任意一点，有， 所以，可得. 选项A：，故在平面内； 选项B：，故在平面内； 选项C：，故不在平面内； 选项D：，故在平面内； 故选：C 4．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 【答案】14 【分析】根据法向量得出线线垂直结合空间向量数量积公式计算求解. 【详解】因为，且，所以，解得. 故答案为：14. 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 6．（25-26高二上·全国·课后作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 【答案】答案见解析 【分析】设，法一：根据已知标注出相关点坐标，进而得，，求出平面的法向量；法二：过点作于点，则为的中点，再由线面垂直的判定及性质定理得平面，写出的坐标，即可得. 【详解】根据题意，设， 法一：，，，则，， 设平面的法向量为，则有， 令，得，则为平面的一个法向量．（答案不唯一） 法二：过点作于点，则为的中点， 平面，平面， ， ， ，又，平面， 平面，平面， ，又，且，平面， 平面，易得，，， ，故， 平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【技巧归纳】 平面的法向量的求解方法 (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 题型03 利用空间向量解决平行及其探索性问题 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 2．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标公式求解. 【详解】，平面的法向量分别为，， ，， ，， ，，，. 故选：B. 3．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】要解决这个问题，我们需要分析“”与“直线与平面平行”之间的逻辑关系，判断是充分条件、必要条件还是充要条件. 【详解】当时，直线与平面平行或直线在平面内， 因此，“”不能推出“直线与平面平行”，所以充分性不成立. 如果直线与平面平行，那么直线的方向向量与平面的一个法向量一定垂直， 所以“直线与平面平行”可以推出“”，因此必要性成立. 综上，“”是“直线与平面平行”的必要不充分条件. 故选：B 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 5．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【技巧归纳】 1、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.具体方法有如下两种. (1)坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. (2)基向量法:取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证明它们共线. 2、利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 题型04 利用空间向量解决垂直及其探索性问题 1．（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 2．（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为0，逐一验证即可. 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 3．（24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 【技巧归纳】 1、用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. (2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积运算说明两向量的数量积为0. 2、用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 3、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】问题转化为求的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 4．（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由即可得解. 【详解】因为，所以. 故选:C. 5．（24-25高二上·湖南·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方向向量的定义计算即可. 【详解】由方向向量得，又因为， 所以. 故选：A. 6．（多选题）（25-26高二上·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 7．（多选题）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体的棱长为2，则， 所以， 设平面的一个法向量为, 所以， 令，则，可得； 对于A，由可得， 因此，又平面，所以平面，所以A正确； 对于B，， 体对角线所在的向量为：， 易知, 因此不存在体对角线与平面平行，即B错误； 对于C，面对角线所在的向量为：， ， 显然以上向量与法向量均不平行， 所以不存在面对角线与平面垂直，即C错误； 对于D，显然，所以平面，即D正确. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则______. 【答案】4 【分析】由和共线，即可求解. 【详解】由题得，设，则，解得. 故答案为：4 9．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，论证即可； （2）易得向量为平面的一个法向量，再论证即可； （3）易得平面的法向量为，再求得平面的一个法向量为，论证即可. 【详解】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系： 可得. 由为棱的中点，得. （1）向量， 故， 所以. （2）因为， 又平面，平面， 所以，，平面， 所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而， 所以， 又平面，所以平面. （3）由（2）知平面的法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得， 所以为平面的一个法向量. 且， 所以 所以平面平面. 10．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 11．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】以为原点建系，设，计算的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. 【详解】因，则以为原点，所在直线为轴、轴，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因AD⊥平面BCD，则轴， 设，， 因M是AD的中点，P是BM的中点，则，， 因，则，则， 则， 又平面的一个法向量为，则，即， 又平面，则平面. 12．（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． (1)求证：平面； (2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线与平面相交，证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点， 由为的中点，得，又平面，平面， 所以平面. （2）直线与平面相交． 在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得， 由为正三角形，且为的中点，得． 由平面，得平面，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而，且，则， 由，得与不垂直，即向量不平行于平面， 因此平面，且与平面不平行， 所以直线与平面相交. 13．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个探究题，如图1，点分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接后就得到一个“刍甍”，如图2所示．若是四边形对角线的交点，试用向量方法证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】求解翻折问题只需要会抓住不变量，由题图1知，，，，折起后在题图2中仍有，，，建立适当的空间直角坐标系，方法一：设线段中点，只需证明；方法二：设平面的法向量为，只需证明即可. 【详解】方法一：因为,，且平面，所以平面． 以为原点，的方向分别为轴和轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， 点在平面上， 则，，．取线段中点，连接，则，． 所以，，所以，由于平面，平面，所以平面． 方法二：由上述方法知，，，，， 则，，设平面的法向量为，则 ，即， 于是，，不妨取法向量． 因为，所以， 又平面，所以平面． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $