第19讲 直线、平面垂直的判定与性质-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第19讲 直线、平面垂直的判定与性质 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．垂直证明的4条定理 2．垂直的证明方法 1．直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b (1)线面垂直的判定定理的推论：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的常用性质： ①若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内的任意直线． ②垂直于同一条直线的两个平面平行． 2．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 3．线面角与二面角 (1)直线与平面所成的角(线面角) 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°.若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°. (2)二面角 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (1)线面角的取值范围是[0°，90°]，二面角的取值范围是[0°，180°]． (2)当线面角为90°时，线面垂直；当二面角为90°时，面面垂直． 4．常用结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 考点1　垂直关系的基本问题 练习1．已知平面α和直线a，b，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．(多选题)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　) A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β 练习3．在三棱锥S-ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论： ①异面直线SB与AC所成的角为90°； ②直线SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； ④点C到平面SAB的距离是a. 其中正确的是 ．(填序号) 考点2　空间角及其应用 例1．(1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中．若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为 ． (2)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于点E，交AC于点F. ①证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； ②设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值． 练习1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( ) A．20° B．40° C．50° D．90° 2．在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为 ． 3．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点． (1)证明：△PBC是直角三角形； (2)若PA＝AB＝2，当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 考点3　线面垂直、面面垂直的判定与性质 考向1　线面垂直的判定与性质 例2．如图，在四棱锥A-BCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，平面ADE⊥平面BCDE，底面BCDE是等腰梯形，DE∥BC，DE＝BC，BE＝DC＝2，BD＝2，M是边DE的中点，点N在BC上，且BN＝3. (1)证明：BD⊥平面AMN； (2)设BD∩MN＝G，求三棱锥A-BGN的体积． +考向2　面面垂直的判定与性质 例3．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1. (1)证明：平面PAB⊥平面PBC； (2)求四棱锥P-ABCD的体积． 练习1．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(　　) A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PAB 练习2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD． 求证：(1)CD⊥平面PBD； (2)平面PBC⊥平面PCD． 练习3．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点． (1)求证：平面MOC⊥平面VAB； (2)求三棱锥B-VAC的高． 1．已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥α B．若m⊥α，n∥α，则m⊥n C．若m∥α，n∥m，则n∥α D．若m∥α，m∥β，则α∥β 2．设α，β是两个不同的平面，则α⊥β的充要条件是(　　) A．平面α内任意一条直线与平面β垂直 B．平面α，β都垂直于同一条直线 C．平面α，β都垂直于同一平面 D．平面α内存在一条直线与平面β垂直 3．如图，在四面体D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 4．(多选题)如图，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．MN∥AB B．平面VAC⊥平面VBC C．MN与BC所成的角为90° D．BC⊥平面VAC 5．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 6．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 7．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论： ①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC； ③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°. 其中正确的有 (把所有正确的序号都填上)． 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD． 9．如图，在三棱台DEF-ABC中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC ＝2BC． (1)证明：EF⊥DB； (2)求DF与平面DBC所成角的正弦值． 1．已知两个平面互相垂直，下列命题： ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 2．(多选题)如图，已知a，b是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，且AB＝2，动点P，Q分别位于直线a，b上．若直线PQ与AB所成的角θ＝，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是(　　) A．PQ的长度为2 B．PQ的长度不是定值 C．点M的轨迹是圆 D．三棱锥A­BPQ的体积为定值 3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可) 4．如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题： ①三棱锥A-D1PC的体积不变； ②A1P∥平面ACD1； ③DP⊥BC1； ④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确的是 ．(填序号) 5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC＝AD＝CD＝AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由，并求三棱锥A-CMN的高． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第19讲 直线、平面垂直的判定与性质 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　垂直关系的基本问题 练习1．B　练习2．ABD　练习3．①②③④　 考点2　空间角及其应用 例1．30°　 (2) 解：①因为M，N分别为BC，B1C1的中点， 所以MN∥BB1. 又AA1∥BB1，所以MN∥AA1. 在△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM. 又因为侧面BB1C1C为矩形，所以BC⊥BB1. 因为MN∥BB1，MN⊥BC．MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN， 所以BC⊥平面A1AMN. 又因为B1C1∥BC，且B1C1平面ABC，BC⊂平面ABC，所以B1C1∥平面ABC． 又因为B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF. 所以B1C1∥EF，所以EF∥BC． 又因为BC⊥平面A1AMN， 所以EF⊥平面A1AMN. 因为EF⊂平面EB1C1F， 所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN. ②连接NP，因为AO∥平面EB1C1F，平面AONP∩平面EB1C1F＝NP，所以AO∥NP. 根据三棱柱上下底面平行， 平面A1NMA∩平面ABC＝AM，平面A1NMA∩平面A1B1C1＝A1N， 所以ON∥AP，故四边形ONPA是平行四边形．设△ABC边长是6m(m>0)，可得ON＝AP，NP＝AO＝AB＝6m. 因为O为△A1B1C1的中心，且△A1B1C1边长为6m， 所以ON＝×6m×sin 60°＝m，故ON＝AP＝m. 因为EF∥BC，所以＝， 所以＝，解得EP＝m. 在B1C1截取B1Q＝EP＝m，故QN＝2m. 因为B1Q＝EP且B1Q∥EP，所以四边形B1QPE是平行四边形，所以B1E∥PQ. 由①知B1C1⊥平面A1AMN，故∠QPN为B1E与平面A1AMN所成角， 在Rt△QPN中，根据勾股定理可得PQ＝＝＝2m， 所以sin∠QPN＝＝＝.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为. 练习1．B 2．60°　 3．(1)证明：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，所以BC⊥AC． 又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC． 因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC． 因为PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC， 所以△PBC是直角三角形． (2)解：如图，过点A作AH⊥PC于点H，连接BH. 因为BC⊥平面PAC，AH⊂平面PAC， 所以BC⊥AH. 又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， 所以AH⊥平面PBC． 因为BH⊂平面PBC，所以AH⊥BH， 所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角． 因为PA⊥平面ABC， 所以∠PCA即是PC与平面ABC所成的角． 因为tan∠PCA＝＝，PA＝2，所以AC＝. 所以在Rt△PAC中，AH＝＝， 所以在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝， 即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 考点3　线面垂直、面面垂直的判定与性质 考向1　线面垂直的判定与性质 例2．(1)证明：因为△ADE是等边三角形，M是DE的中点，所以AM⊥DE. 又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，所以AM⊥平面BCDE. 因为BD⊂平面BCDE，所以AM⊥BD． 因为MD＝ME＝1，BN＝3，DE∥BC，DE＝BC， 所以MDCN，所以四边形MNCD是平行四边形，所以MN∥CD． 因为BD＝2，BC＝4，CD＝2，所以BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD，所以BD⊥MN. 又AM∩MN＝M，所以BD⊥平面AMN. (2)解：由(1)知AM⊥平面BCDE， 所以AM为三棱锥A-BGN的高． 因为△ADE是边长为2的等边三角形，所以AM＝. 易知GN＝CD＝. 又由(1)知BD⊥MN，所以BG＝＝. 所以S△BGN＝BG·NG＝××＝. 所以VA-BGN＝S△BGN·AM＝××＝. 考向2　面面垂直的判定与性质 例3．(1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝. 因为PC＝2，BC＝1，PB＝， 所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB. 因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB， 又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB， 又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC． (2)在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示． 由(1)知BC⊥平面PAB. 因为BC⊂平面ABCD， 所以平面PAB⊥平面ABCD． 又平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊥AB， 所以PE⊥平面ABCD． 因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°， 所以PE＝.因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥P-ABCD的体积为VP-ABCD＝××(1＋2)×1×＝. 练习1．C　练习2．证明：(1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°， 所以∠ABD＝∠ADB＝45°. 又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°. 又∠DCB＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD． 因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD， 所以CD⊥平面PBD． (2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP. 又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PDC． 又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC． 练习3．(1)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点， 所以OC⊥AB. 因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC， 所以OC⊥平面VAB. 因为OC⊂平面MOC, 所以平面MOC⊥平面VAB. (2)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝， 所以AB＝2，OC＝1， 所以等边三角形VAB的面积为S△VAB＝×22×sin 60°＝， 又因为OC⊥平面VAB，所以OC⊥OM. 在△AMC中，AM＝1，AC＝，MC＝， 所以S△AMC＝×1×＝， 所以S△VAC＝2S△MAC＝. 由三棱锥B-VAC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等， 即S△VAC·h＝S△VAB·OC, 所以h＝＝， 即三棱锥B-VAC的高为. 1．B　2．D　3．C 4．BCD　5．B 6．如果l⊥α，m∥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)　 7．①④　 8．证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD． 因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD，所以PE⊥BC． (2)因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD． 又因为平面PAD⊥平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD． 因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD． 又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A， 所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD． (3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG. 因为F，G分别为PB，PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝BC． 因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DE∥BC，DE＝BC． 所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形DEFG为平行四边形． 所以EF∥DG. 又因为EF平面PCD，DG⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD． 9．(1)证明：作DH⊥AC交AC于点H，连接BH. 因为平面ADFC⊥平面ABC，而平面ADFC∩平面ABC＝AC，DH⊂平面ADFC， 所以DH⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC， 即有DH⊥BC． 因为∠ACB＝∠ACD＝45°， 所以CD＝CH＝2BC，所以CH＝BC． 在△CBH中，BH2＝CH2＋BC2－2CH·BC·cos 45°＝BC2，即有BH2＋BC2＝CH2，所以BH⊥BC． 由棱台的定义可知，EF∥BC，所以DH⊥EF，BH⊥EF. 又BH∩DH＝H，所以EF⊥平面BHD． 而BD⊂平面BHD，所以EF⊥DB. (2)解：因为DF∥CH，所以DF与平面DBC所成角即为CH与平面DBC所成角． 作HG⊥BD于点G，连接CG， 由(1)可知，BC⊥平面BHD， 所以平面BCD⊥平面BHD． 又平面BCD∩平面BHD＝BD，HG⊂平面BHD， 所以HG⊥平面BCD． 即CH在平面DBC内的射影为CG，∠HCG即为所求角． 在Rt△HGC中，设BC＝a，则CH＝a，HG＝＝＝a， 所以sin∠HCG＝＝. 故DF与平面DBC所成角的正弦值为. 1．C 2．AC　3．DM⊥PC(或BM⊥PC等)　4．①②④　 5．(1)证明：连接AC，在直角梯形ABCD中， AC＝＝2， BC＝＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC． 又PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PC⊥BC． 又AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC． (2)解：N为PB的中点，理由如下：连接MN，CN. 因为M为PA的中点，N为PB的中点， 所以MN∥AB，且MN＝AB＝2. 又因为AB∥CD，所以MN∥CD， 所以M，N，C，D四点共面， 所以点N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点． 因为BC⊥平面PAC，N为PB的中点， 所以点N到平面PAC的距离d＝BC＝. 又S△ACM＝S△ACP＝××AC×PC＝， 所以V三棱锥N-ACM＝××＝. 由题意可知，在Rt△PCA中， PA＝＝2，CM＝. 在Rt△PCB中，PB＝＝2，CN＝， 所以S△CMN＝×2×＝. 设三棱锥A-CMN的高为h， 则V三棱锥N-ACM＝V三棱锥A-CMN＝××h＝， 解得h＝，故三棱锥A-CMN的高为. $$