第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间直角坐标系 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算.所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础. 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢?下面我们就来研究这个问题. 【知识点1 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（25-26高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点关于轴对称的坐标性质进行判断即可. 【解答过程】点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【解答过程】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点在坐标平面上的投影的性质求解. 【解答过程】因为点在坐标平面内的投影横、竖坐标不变，纵坐标为0. 所以. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·广东茂名·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】点关于平面对称的点的坐标为. 【解答过程】点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 模块三 空间向量的坐标运算 【知识点2 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】由题意知，. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的坐标运算进行计算即可. 【解答过程】因为向量， 所以. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的坐标规则进行线性运算即可. 【解答过程】因为，，， 所以 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】由， 可得：， 所以. 故选：D. 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量坐标运算求解即可. 【解答过程】， . 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用空间向量数量积的坐标运算即可. 【解答过程】由点，，，可得， 所以， 故选:D. 【变式3-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据向量数量积的运算律和向量数量积的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【解题思路】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】因为，，， 所以，则. 故选：B. 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【解答过程】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【解答过程】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知，，三点在同一条直线上，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】先利用空间向量的坐标运算求出与的坐标，再利用列方程求解即可. 【解答过程】因为，， 所以，， 又因为，，三点共线， 所以，， 解得，，所以， 故选：C. 【变式4-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】根据空间向量基本定理列方程求解即可. 【解答过程】若三向量不能构成空间向量的一组基底， 所以共面， 则存在使得， 则，解得， 所以实数的值为1． 故选：A． 模块四 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 【知识点3 用空间向量的坐标运算解决几何问题】 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型5 空间向量模长的坐标运算】 【例5】（25-26高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的坐标线性运算求出，再利用模长公式即可求解. 【解答过程】因为，， 所以， 所以. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·四川广安·期末）若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解题思路】据向量的坐标运算求，进而可求模长. 【解答过程】，所以. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】根据模长公式即可求解. 【解答过程】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【解答过程】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】（25-26高二上·海南儋州·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【解答过程】因为，所以，解得， 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【解题思路】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【解答过程】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）设，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【解答过程】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求解，得的值. 【解答过程】由题可知，，解得. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·江西九江·期末）已知向量，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解题思路】根据向量的减法和数量积的坐标运算化简求出. 【解答过程】由题意得， 则，解得. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·随堂练习）已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【解答过程】（1）由，得. （2）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 【变式7-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）根据给定条件，求出的坐标，再利用空间向量夹角的坐标表示求解. （2）求出与的坐标，再利用空间向量垂直关系的坐标表示列式求解. 【解答过程】（1）由，得， 则，，， 因此，而， 则，所以与的夹角为. （2）依题意，，，由与互相垂直， 得，即， 所以. 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标运算】 【例8】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，即可求解. 【解答过程】由向量，，可得， 则， 因为，所以. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【解答过程】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【解答过程】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B. 【变式8-3】（25-26高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【解题思路】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可. 【解答过程】因为，所以，即，解得， 故选：A. 2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】利用向量的坐标运算进行求解. 【解答过程】因为，所以， 所以， 故选：B. 3．（25-26高二上·江西南昌·期末）若三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【解题思路】由空间向量的坐标表示与共线定理，有，即可解得的值，进而可求的值. 【解答过程】. 因为三点共线，所以，即，解得， 则. 故选：A. 4．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【解答过程】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【解答过程】在上的投影向量为 . 故选：C. 6．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解题思路】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【解答过程】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C. 7．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】使用向量的模的公式与向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，解得. 故选：B. 8．（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出 的取值范围. 【解答过程】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. . 点在线段上运动， ，且. ， ， ， 即， 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．能构成空间的一个基底 【答案】AB 【解题思路】根据空间向量的坐标运算分析判断ABC；分析可知，即可知不能构成空间的一个基底，即可判断D. 【解答过程】因为空间向量，，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，即， 所以不能构成空间的一个基底，故D错误； 故选：AB. 10．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 【答案】AD 【解题思路】根据向量模的计算公式，可判定A正确；根据空间向量的数量积的坐标运算公式，可判定B错误；根据向量的夹角公式，可判定C错误；根据同向的单位向量的计算方法，可判定D正确. 【解答过程】对于A，由向量，可得，故A正确； 对于B，由向量， 可得，故B错误； 对于C，由向量的夹角公式，可得， 而，则，故C错误； 对于D，由题意得与同向的单位向量，故D正确. 故选：AD. 11．（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解题思路】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【解答过程】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，则__________. 【答案】 【解题思路】由空间向量的减法运算及模运算求解. 【解答过程】,则. 故答案为: . 13．（25-26高二上·上海·期末）已知向量，，若，则__________． 【答案】 【解题思路】根据空间向量平行的坐标运算列式求得，由此求得. 【解答过程】由于，所以，解得，所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求__________． 【答案】 【解题思路】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【解答过程】由题意得，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【解答过程】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 16．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】(1) (2)或． 【解题思路】（1）首先求出向量，，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； 【解答过程】（1）因为、、，，， 所以，， 则． （2）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 17．（25-26高二上·甘肃武威·期中）已知向量． (1)若，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量垂直的坐标表示求解； （2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【解答过程】（1）因为， 所以， 因为，则， 解得； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． 由（1）知，， 若向量与同向共线，则存在，使得，即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 18．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【解题思路】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【解答过程】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【解答过程】（1）由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． （3）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间直角坐标系 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算.所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础. 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢?下面我们就来研究这个问题. 【知识点1 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（25-26高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·广东茂名·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 模块三 空间向量的坐标运算 【知识点2 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【变式4-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式4-2】（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知，，三点在同一条直线上，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 模块四 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 【知识点3 用空间向量的坐标运算解决几何问题】 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型5 空间向量模长的坐标运算】 【例5】（25-26高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式5-1】（25-26高二上·四川广安·期末）若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【变式5-2】（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【变式5-3】（25-26高二上·全国·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】（25-26高二上·海南儋州·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式6-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【变式6-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）设，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【变式6-3】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·江西九江·期末）已知向量，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式7-2】（25-26高二上·全国·随堂练习）已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 【变式7-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标运算】 【例8】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二上·江西南昌·期末）若三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．0 4．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 7．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 8．（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．能构成空间的一个基底 10．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 11．（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 三、填空题 12．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，则__________. 13．（25-26高二上·上海·期末）已知向量，，若，则__________． 14．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求__________． 四、解答题 15．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 16．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 17．（25-26高二上·甘肃武威·期中）已知向量． (1)若，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 18．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $