1.2 反比例函数存在性问题 专项训练 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数与几何图形存在性问题，按三角形到特殊四边形梯度设计，强化坐标运算与图形性质的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形存在性问题|4题|坐标轴上找点使三角形等腰|基于等腰边相等性质，结合坐标距离公式分类讨论| |直角三角形存在性问题|2题|坐标轴上找点构成直角三角形|利用直角顶点分类，结合勾股定理或斜率乘积为-1求解| |平行四边形存在性问题|3题|双动点（y轴/双曲线）构成平行四边形|依据对边平行且相等或对角线互相平分列方程| |矩形存在性问题|2题|平面内找点构成矩形|在平行四边形基础上增加直角条件，结合图形性质转化| |菱形存在性问题|2题|双曲线上找点构成菱形|利用菱形四边相等或对角线垂直平分性质求解| |正方形存在性问题|4题|动点构成正方形求边长或解析式|综合正方形四边相等、四角直角及坐标变换特征|

《1.2反比例函数存在性问题专项训练》全卷 答案与解析 一、等腰三角形存在性问题 题1 (1)面积 S△AOB= 2 (2）点P坐标(P在坐标轴上，使△PAB等腰) (0,0),(1±V14,0),(-2±V17,0),(0,2±V17),(0,-1±√14 共9个。 简析： 联立y=x+1与y=,得交点A(1,2小、B(-2-1。面积用 行列式。等腰分类：分别令PA=PB、PA=AB、PB=A B,且P在坐标轴上，解方程即得。 题2 答案(D在x轴上)： D(0,0),(-5±v94,0),(2±V73.0) 简析： 交点A(-5,-2)、B(2,5),设D(d,0),分类AD=BD、AD =AB、BD=AB解得。 题3 答案(Q在y轴上)： Q0,-. (0,3±V41),(0,±V29 简析： 设Q(0,q),已知A(2,3)、C(-4,0),AC=3V5。分别令AQ =CQ、AQ=AC、CQ=AC解方程。 题4 答案（取图中正方形B(1,-9)的情形）： P(0,-6+V10),(0.-6-V10),(0,-12) 简析： 由A(0,-6)以、D(-3,-7)得AD=(-3,-1),正方形有两种取 法，本题通常取B(1,-9)。设P(0,y),AB=V10,分AP= AB、BP=AB解之（舍去与A重合的点）。 二、直角三角形存在性问题 题5 答案(P在坐标轴上，以AB为斜边)： -1士V17 .0 1±17 2 简析： 以AB为直径的圆与坐标轴的交点。AB中点M(-号，)，半径 平方号，圆方程与×镇、y轴分别相交得解。 题6 答案： 不存在这样的点C。 简析： 若AB为斜边，C应在AB中垂线与x轴交点，为(0,0)，但不满 足直角等腰；若AB为直角边，过A或B作垂线与x轴交点分别 为(3,0)、（-3.0)，但对应边长不等于AB。故无解。 三、平行四边形存在性问题 题7 答案(Q在双曲线上)： Q(-1-2) 简析： 设P(O,叭、Q(g,子，分别以AB、AP、AQ为对角线讨论。AB 2 为对角线得Q(3,写；AP为对角线得Q(-1,-2；A0为对角线 时得Q与A重合，舍去。 题8 答案(P在双曲线上，Q在y轴上)： P(-1,-4),Q(0,2):P(1,4④)，Q0,6)；P(-1,-4),Q(0,- 简析： 由非负式得a=-1,b=-2,故A(-1,0)、B(0,-2)。根据平 行四边形及双曲线y=生，求出C(2,2)、D(1,4。设P(P, 4 4 )、Q(0,9),分别以AB、AP、AQ为对角线讨论，得到三组解。 题g 答案(Q在x轴上)： Q(7.).Q)Q0) 简析： 另-交点B6.-2。设Dd,-号、Q(g,0。以AB、AD、BD 12 为对角线分别讨论： ·AB为对角线→D(-3,4),Q(7,0) ·AD为对角线→D8),Q,0了 ·B0为对角线→D-号s,Q(号，o ,13 四、矩形存在性问题 题10 答案(P在x轴上，Q任意，使ABPQ为矩形，求P坐标)： P-40,P号0，P8+V网.o,Pg-Vm.0 简析： 由反比例得A(-2,4、B(8,-1),直线AB斜率-，垂线斜率 20 ·以AB为边：过A或B作垂线交x轴于(-4.0叭、（号，0 ·以AB为对角线：点P在以AB为直径的圆上，与x轴交点3 ±V29 题11 答案： ·交点：A(-1,-4)、B(2,2)0 ·点C有两个： C1(1,4) 3+页，V-3 2 ·当C=C(1,4)时，存在矩形，对应： M(-8-),N(7,- 简析：由面积公式得C的方程，解出两个。对C,设M(m, 4 ),利用BM与CN互相平分及(C-B)·(M-C)=0,解得 m=-8,进而得N。 五、菱形存在性问题 题12 答案：存在，点D坐标为 (8,1) 简析： 点Pm,2)在y=上→n=4,所以P4,2,且PB上t 轴，故B(4,0)。一次函数过A(-4,0八小、P(4,2),得)=4r+ 1,与y轴交点C(0,1)。菱形BCPD中D=B+P-C=(8,1 ),且该点在双曲线上，成立。 题13 答案（按图中C在B右侧取）： D 3v5 3 8+ 2 简析： 与)=交点得48，多，与×轴交点B6.0 )。 =3v AB=V32+( 2 菱形以AB为边，C在x轴正半轴上，故C(5+ 3v 2,0),则 D=A+C-B= 3v53 22 六、正方形存在性问题 题14 答案：边长为 2 简析： 设A(a,0)、B(0,b),由正方形性质得C(b,a+b)、D(a+b,a ,两者均在y=2上，得a=b=1,边长AB=V2。 题15 答案（根据图形取C在AB上方）： k=-64 (若取另一个C点，则k=-32,但通常图中取上方一个，故答 案为-64。)】 简析： 一次函数与x轴交A(-12,0),与y轴交B(0,4)。以AB为边作 正方形，C有两个位置，图中取C(-4,16),代入)=冬得k= -64。 题16 答案： 直线BD的解析式为 y=5x+5 证明略（利用HL全等条件）。 简析： 由正方形条件及双曲线方程，求得B(-1,0)、D(0,5),故BD斜 率5，截距5，得解析式。 题17 答案：正确结论的个数为 A.2 正确的结论是①③。 简析： 设正方形边长a,点E(a,t)、F(t,a)。 ·①OE=OF成立； ·②∠EOF=G0°不一定，错误； ·③面积相等成立； ·④EF=CF+AE不恒成立； ·⑤条件矛盾，错误。 所以选A(2个)。 1.2反比例函数存在性问题专项训练 一、等腰三角形存在性问题 题 1：如图，点 A、B 是反比例函数与一次函数的交点． (1) 连接 OA、OB，求的面积； (2) 一次函数与 y 轴相交于点 C，在坐标轴上存在点 P 使得是等腰三角形，求点 P 的坐标． 题 2：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A、B 两点，D 是 x 轴上一点，若为等腰三角形，求 D 点坐标。 题 3：已知点 A (2,3)，C (-4,0)，Q 是 y 轴上一点，使得为等腰三角形，求 Q 点坐标。 题 4：在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 为正方形，已知点 A (0，﹣6)、D (﹣3，﹣7)，在 y 轴上是否存在一点 P，使是 AB 为腰的等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 二、直角三角形存在性问题 题 5：如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象分别交于点 A (1,2) 和点 B (-2,-1)．在坐标轴上是否存在点 P，使是以 AB 为斜边的直角三角形，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 题 6：已知直线与双曲线相交于点 A (1,2) 和点 B (-2,-1)，请问在 x 轴上是否存在点 C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由． 三、平行四边形存在性问题 题 7：一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于 A (1,2) 和 B (2,1) 两点，若点 P 在 y 轴上，Q 在双曲线上，当以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 Q 点的坐标。 题 8：如图 1，已知点 A（a ，0），B（0，b ），且 a、b 满足，▱ABCD 的边 AD 与 y 轴交于点 E，且 E 为 AD 中点，双曲线经过 C、D 两点．点 P 在双曲线上，点 Q 在 y 轴上，若以点 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点 P、Q 的坐标。 题 9：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 A（﹣2，6），点 D 在该反比例函数的图象上，点 Q 在 x 轴上，当以 A、B、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点 Q 的坐标。 四、矩形存在性问题 题 10：一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A (-2,a)、B (8,-1) 两点，在 x 轴上是否存在一点 P，平面坐标系内是否存在一点 Q，使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 题 11：在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 A（m，﹣4），B 两点．点 C 是第一象限内反比例函数图象上一点，若的面积为 6，求点 C 的坐标；连接 BC，点 M 为反比例函数图象上一动点，平面内是否存在这样的点 N，使以点 B，C，M，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出满足条件的点 N 坐标。 五、菱形存在性问题 题 12：一次函数的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点 P（n，2），与 x 轴交于点 A（﹣4，0），与 y 轴交于点 C，PB⊥x 轴于点 B，AC=BC．反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 题 13：如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点 A（8，n），与 x 轴相交于点 B．以 AB 为边2作菱形 ABCD，使点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在第一象限，求点 D 的坐标。 六、正方形存在性问题 题 14：已知点 A、B 分别是 x 轴、y 轴上的动点，点 C、D 是某函数图象上的点，当四边形 ABCD (A、B、C、D 各点依次排列) 为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形。如图，正方形 ABCD 是反比例函数图象上的其中一个伴侣正方形．则这个伴侣正方形的边长是？ 题 15：在平面直角坐标系中，一次函数图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、点 B，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，且点 C 在反比例函数的图象上．则 k 的值为？ 题 16：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，2）在双曲线（x＞0）上，点 C 在双曲线（x＜0）上，分别过 A、C 向 x 轴作垂线，垂足分别为 F、E，以 A、C 为顶点作正方形 ABCD，且使点 B 在 x 轴上，点 D 在 y 轴的正半轴上．求证：△BCE≌△ABF；求直线 BD 的解析式． 题 17：如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G。下列结论： ①OF=OE； ②∠EOF=60∘； ③四边形AEGD与△FOG面积相等； ④EF=CF+AE； ⑤若∠EOF=45∘，EF=4，则直线FE的函数解析式为y=−x+4+22–√。 其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 学科网（北京）股份有限公司 $