重难点专题03 一元二次方程的实际应用（9大题型）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题03 一元二次方程的实际应用 重难点一 与增长率有关的问题 1.连续增长用公式，连续下降用公式，为初始基数，为变化率，为变化次数；2.若题目给两年总和，则列 ，结果必须满足变化率在合理区间，舍去不合理解。 1．某企业年芯片销售总额为亿元，经过两年技术革新，该企业年芯片销售总额达到亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 因此年平均增长率为． 2．根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律，确定初始量，增长年数和最终量即可列出正确方程． 【详解】先计算2025到2035年的间隔年数，，即共增长10年， 年平均增长率为，初始规模为万亿元， 按照平均增长率规律，年后规模为初始量， 10年后规模为， 又 2035年规模为万亿元， 可列方程为． 3．某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个． （1）口罩日产量的月平均增长率为__________ 按照这个增长率，预计月平均日产量为__________个 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，增长前的量增长后的量，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设口罩日产量的月平均增长率为，根据月及月的日产量，即可列出方程求解． （2）利用月份平均日产量月份平均日产量（增长率）即可得出答案． 【详解】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为， 依据题意可得：， 解得：，（不合题意舍去）， ∴， 故答案为：． （2）解：依据题意可得：（个）， 故答案为：． 4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 【答案】进馆人次的月平均增长率是 【分析】设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率是x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率是． 5．某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 【答案】(1)20% (2)万人次 【分析】（1）设第三、四季度的平均增长率为x．根据题意列一元二次方程，求解即可； （2）分别计算各季度的游客人数，再求和即可． 【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x． 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第三、四季度游客人数的平均增长率为； （2）解：∵第一季度游客人数为100万人次， ∴第二季度游客人数为（万人次）， 第三季度游客人数为（万人次）． ∵第四季度游客人数为129.6万人次， ∴该旅游景区一年接待游客的总人数为（万人次）． 重难点二 解决传播类问题 1.核心公式为，为初始数量，为每轮传播人数，为传播轮数，为最终总数； 2.解题时默认从1个传染源开始，分清累计总数与新增数量，只保留正数解，舍去负数根。 1．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 【答案】D 【分析】先列方程求出每轮平均传染人数，那么第一轮后患病总人数为，第二轮新增患病人数为，根据“经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出方程解得后再计算第三轮传染后的总患病人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， ， 整理得， 解得或， ∵传染人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 则第三轮传染后总患病人数为（人）． 2．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则这种植物每个支干长出的小分支个数是． 故答案为：． 4．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 5．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 重难点三 解决与营销利润问题 1.固定核心公式总利润=单件利润×销售数量； 2.涨价降价题型统一套路：设涨跌元，单件利润随涨跌增减，销量随涨跌反向增减，列式 ； 3.优先保证售价、销量、利润为正数，根据 “让利最大、销量最高、成本最低” 择优取解。 1．为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【答案】B 【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可． 【详解】解：∵每斤利润为元，月销售量， ∴， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元． 2．已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量，先求出售价上升元后的每件利润和日销量，再根据总利润列方程即可． 【详解】解：设某天的售价上升元件，依题意，每件利润为元． 上升元后，日销量下降件，此时日销量为件． 可列方程为． 3．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 【答案】8 【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可． 【详解】解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个， 根据题意，可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 当时，定价为元/个， 当时，定价为元/个， 因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个． 4．为备战2026靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的团购优惠方案如下：若购买数量不超过30个，则每个足球的售价为180元；若购买数量超过30个，则每增加1个，每个足球的售价降低2元，但每个足球的售价不得低于120元．若该足球队共花费6750元购买该品牌足球，求该足球队购买足球的数量． 【答案】45个 【分析】设该足球队购买了x个足球，先判断，然后根据总花费6750元，列出方程，解方程，然后根据每个足球的售价不得低于120元，再进行判断即可． 【详解】解：设该足球队购买了x个足球， 若购买30个，总价为（元）， ∵， ∴， 则， 整理得：， ∴，，                                       当时，单价为（元），，不符合题意，舍去； 当时，单价为（元），，符合题意． 答：该足球队购买了45个足球． 5．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1) ， (2)每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 (3)不可能 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【详解】（1） 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． （2）根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得 整理得 因式分解得 解得 因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． （3） 假设平均每天赢利2000元， 列方程得 整理得 判别式得 因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 重难点四 解决握手循环问题 1.握手、循环问题：单循环（握手、单赛、两两对接）公式 ，避免两两重复计算； 2.双循环、互赠礼物、主客场比赛公式 ； 3.结果必须是正整数，小数、负数一律舍去。 1．2025年9月13日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中心城区赛区在这一赛段一共会举办55场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他所有队伍各进行1场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（     ）支 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是支，根据单循环赛制可得一共会举办场比赛，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是支， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是11支． 2．随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需要与其余支球队各进行一场比赛， 又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为，因此可得方程． 3．随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 【答案】7 【分析】本题属于一元二次方程的实际应用问题，可通过设未知数，根据每两个机场间航线的计数规则建立方程求解，核心是避免航线的重复计算． 【详解】解：设这个航空公司飞往的飞机场有个， 根据题意列方程：， 解得：，， 因为飞机场的数量为正整数，所以不符合实际意义，舍去． 4．“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍，依题意得， ， ， 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍． 5．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 重难点五 行程问题 1.依据基础公式，多以时间差作为等量关系列方程； 2.常用：原用时实际用时提前 / 延误时间； 3.做题先统一时间、路程、速度单位，设速度或时间为未知数，只保留正数解，排除负速度、负时间。 1．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值． 2．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为 ， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为 ， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 4．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 5．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 重难点六 解决有关数字问题 1.两位数表示为，三位数同理放大百倍、十倍； 2.连续整数设为 ，连续奇偶设为 ； 3.根据题目和、积、平方关系列方程，解完必须检验数位数字0–9的取值范围，舍去不符合数位规则的解。 1．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 2．小明在与的对话中输入如下文字：“有没有这样一个非零实数，先计算它的平方，再减去它的3倍，结果等于这个数？”经过深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，需根据题意列出一元二次方程，结合非零实数的限定条件求解方程． 【详解】解：设这个非零实数为．根据题意列方程： 移项，得 因式分解，得 则或 解得， 由于该数为非零实数，故舍去 ∴ 故答案为：． 3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：C． 4．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】(1)83 (2)9 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得： ； （2）解：根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程可得： ， ∴， 整理得：， 解得（不符合题意，舍去）， 故n的值为9． 5．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）根据图形，列出算式进行计算即可； （2）类比十进制的加减运算，进行计算即可； （3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（天）； 故答案为：510； （2）； 故答案为： （3）由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 重难点七 从图表中获取信息解决问题 1.先从表格、统计图中提取数据，找出数量均匀增减的变化规律； 2.套用增长率、营销利润的变化模型设未知数列方程； 3.严格对照图表的数据变化区间，舍去不符合实际统计规律的根。 1．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【答案】(1)20000 (2)45人 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性． （1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用； （2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数． 【详解】（1）解：由题意得（元） 应该支付20000元． 故答案为：20000 （2）设参加这次旅游的人数是人， （元），， ． 根据题意得：． 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． 2．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 3．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 4．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元． 【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问. 【详解】解：(1)超过部分应交(元)； (2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以． (3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元． 重难点八 解决静态图形问题 1.常用平移、割补思想，将小路、空白区域平移至边缘，统一用剩余长×剩余宽=有效面积列方程； 2.四周等宽小路公式 ，十字小路公式 ； 3.必须保证边长大于0，舍去使边长为负或超出图形范围的根。 1．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 2．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵四个直角三角形都全等的，正方形的面积为5，小正方形的面积为1， ∴，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 3．如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段长的铁丝网在院墙（墙长）的一边恰好围成了一个矩形鸡舍，其面积为．若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个宽的门（由其他材料构成），则该鸡舍的长度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】设鸡舍垂直于院墙的一边长为，则平行于院墙的一边的长为，即．根据题意，得：，再求解即可． 【详解】解：设鸡舍垂直于院墙的一边长为，则平行于院墙的一边的长为，即．根据题意，得： 整理，得： 解这个方程，得： 当时，． 因为墙长只有，而，所以不符合题意，舍去． 当时，． 因为，符合题意． 所以该鸡舍的长度为． 4．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 【答案】1 【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可． 【详解】设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 故答案为：1． 5．已知长方形的周长是16． (1)若长方形的面积是12，求长方形的长和宽； (2)长方形的面积可以是20吗？若可以，求出长和宽，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)长方形的长为6，宽为2 (2)长方形的面积不可以是20，理由如下： 设长方形的长为，则宽为， 若长方形的面积是20，则， 整理得， ，此方程无实数解， ∴长方形的面积不可以是20 【分析】（1）设长方形的长为，则宽为，根据长方形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设长方形的长为，则宽为，根据长方形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设长方形的长为，则宽为， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当时，宽为，符合题意； 当时，宽为，通常长方形的长不小于宽，故不符合题意； ∴长方形的长为6，宽为2； （2）略 6．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【答案】(1)当长度是时，矩形花园的面积为 (2)不能，理由如下： 设 ，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设 ，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设 ，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 【详解】（1）解：设 ，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为． （2）略 7．广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： 1．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： (1)方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． (2)请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 【答案】(1)，， (2)图形见详解，评价准确，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，多项式的运算等知识． （1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）转变思路，根据“在纸板宽的一侧裁剪两个正方形”的思路构图即可作答；同（1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）如图， 根据题意有：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：， 即：包装盒的表面积为：， 由上图可知：纸板的宽刚好构成纸盒的两面高、底和盖，刚好底和盖的宽度相等，两面高的宽度也相等， ∵包装盒底面积为， ∴， 整理：， 解得：，（时，，明显不符合题意舍去）， 即：； （2）图形如下： 根据上图有：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：， 根据图形有：此时包装盒的表面积为：， ∵包装盒底面积为， ∴， 整理：， 解得：，（，明显不符合题意舍去）， 即：； 方案1：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 方案2：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 综合比较：方案2使用的纸板面积更少，即减少纸张浪费；相比于方案1的纸盒，方案2的纸盒在高度相等的同时，底部的长宽比例更接近，图形更接近于正方形；相比于方案1的 “长条形”纸盒，方案2的纸盒则更加方正． 即“方案2表面积更小”的评价准确． 重难点九 解决动态几何问题 1.统一设运动时间为，利用路程=速度×时间表示所有动态线段长度； 2.再结合三角形面积公式、勾股定理列一元二次方程； 3.解题必须控制动点运动范围，保证所有线段长度为正，舍去动点跑出图形外的时间解与负数解。 1．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 2．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 4．如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可； 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：， ∴，， ∴； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 综上所述，或． 5．如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，的长为________．（用含t的式子表示 （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及一元二次方程的求解． （1）根据点P的运动速度和时间，结合线段的长度关系，即可求出的长； （2）先根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据点P、Q的运动速度和时间表示出、的长，最后根据三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：（1）已知点P从点A出发，速度是，运动时间为， ∴， 又∵为等腰三角形，为边上的高， ∴点D为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）当时，，， ∵， ∴中边上的高为， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 故答案为：． 6．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 【答案】()秒 【分析】本题考查等腰三角形的定义、勾股定理及一元二次方程的应用，关键是设运动时间为秒，用含的代数式表示各边长度，尤其注意，所以只有这种情况，同时需检验解是否符合点的运动范围()． 【详解】解：设运动时间为秒()，则，，． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 当时，， 两边平方得，整理得， 由一元二次方程求根公式得， ， ∴舍去，保留； 答：()秒时，是等腰三角形． 7．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 8．综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 9．如图，在矩形中，，点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是t秒（） (1)当t为何值时，是等腰三角形？ (2)当F为边的中点时，求此时的长度． (3)是否存在某一时刻t，使点D在线段的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使的面积是矩形面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)存在， 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，一元二次方程的实际应用，正确理解题意时解题的关键． （1）由矩形的性质可得，根据题意可得，则，当是等腰三角形时，，建立方程求解即可； （2）由题意得当F为边的中点时，，则，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，由（1）知，，则，利用勾股定理得到，当点D在线段的垂直平分线上时，，建立方程求解即可； （4）由（3）知知，，，，，根据的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积，结合的面积是矩形面积的，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 根据题意可得，则， 当是等腰三角形时，则， ∴， 解得； （2）解：由题意得当F为边的中点时，， 则，解得，, ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，， 在矩形中，，， 由（1）知，，则， ∵， 当点D在线段的垂直平分线上时，，即， ∴，即， 解得或（舍去）； （4）解：存在，， 由（3）知，，，，， ∵的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴，即， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03 一元二次方程的实际应用 重难点一 与增长率有关的问题 1.连续增长用公式，连续下降用公式，为初始基数，为变化率，为变化次数；2.若题目给两年总和，则列 ，结果必须满足变化率在合理区间，舍去不合理解。 1．某企业年芯片销售总额为亿元，经过两年技术革新，该企业年芯片销售总额达到亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 2．根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（     ）． A． B． C． D． 3．某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个． （1）口罩日产量的月平均增长率为__________ 按照这个增长率，预计月平均日产量为__________个 4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 5．某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 重难点二 解决传播类问题 1.核心公式为，为初始数量，为每轮传播人数，为传播轮数，为最终总数； 2.解题时默认从1个传染源开始，分清累计总数与新增数量，只保留正数解，舍去负数根。 1．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 2．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 4．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 5．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 重难点三 解决与营销利润问题 1.固定核心公式总利润=单件利润×销售数量； 2.涨价降价题型统一套路：设涨跌元，单件利润随涨跌增减，销量随涨跌反向增减，列式 ； 3.优先保证售价、销量、利润为正数，根据 “让利最大、销量最高、成本最低” 择优取解。 1．为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 2．已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程(    ) A． B． C． D． 3．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 4．为备战2026靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的团购优惠方案如下：若购买数量不超过30个，则每个足球的售价为180元；若购买数量超过30个，则每增加1个，每个足球的售价降低2元，但每个足球的售价不得低于120元．若该足球队共花费6750元购买该品牌足球，求该足球队购买足球的数量． 5．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 重难点四 解决握手循环问题 1.握手、循环问题：单循环（握手、单赛、两两对接）公式 ，避免两两重复计算； 2.双循环、互赠礼物、主客场比赛公式 ； 3.结果必须是正整数，小数、负数一律舍去。 1．2025年9月13日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中心城区赛区在这一赛段一共会举办55场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他所有队伍各进行1场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（     ）支 A．9 B．10 C．11 D．12 2．随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 3．随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 4．“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？ 5．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 重难点五 行程问题 1.依据基础公式，多以时间差作为等量关系列方程； 2.常用：原用时实际用时提前 / 延误时间； 3.做题先统一时间、路程、速度单位，设速度或时间为未知数，只保留正数解，排除负速度、负时间。 1．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 2．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 4．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 5．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 重难点六 解决有关数字问题 1.两位数表示为，三位数同理放大百倍、十倍； 2.连续整数设为 ，连续奇偶设为 ； 3.根据题目和、积、平方关系列方程，解完必须检验数位数字0–9的取值范围，舍去不符合数位规则的解。 1．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 2．小明在与的对话中输入如下文字：“有没有这样一个非零实数，先计算它的平方，再减去它的3倍，结果等于这个数？”经过深度思考和验证，给出的这个数应该是______． 3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 4．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 5．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3) 小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 重难点七 从图表中获取信息解决问题 1.先从表格、统计图中提取数据，找出数量均匀增减的变化规律； 2.套用增长率、营销利润的变化模型设未知数列方程； 3.严格对照图表的数据变化区间，舍去不符合实际统计规律的根。 1．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 2．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 3．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3） 结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 4．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (4) 求8月份该户居民应交电费多少元? 重难点八 解决静态图形问题 1.常用平移、割补思想，将小路、空白区域平移至边缘，统一用剩余长×剩余宽=有效面积列方程； 2.四周等宽小路公式 ，十字小路公式 ； 3.必须保证边长大于0，舍去使边长为负或超出图形范围的根。 1．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段长的铁丝网在院墙（墙长）的一边恰好围成了一个矩形鸡舍，其面积为．若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个宽的门（由其他材料构成），则该鸡舍的长度为（     ） A．或 B．或 C． D． 4．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 5．已知长方形的周长是16． (1)若长方形的面积是12，求长方形的长和宽； (2)长方形的面积可以是20吗？若可以，求出长和宽，若不可以，请说明理由． 6．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 7．广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： 1．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： (1)方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． (2)请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 重难点九 解决动态几何问题 1.统一设运动时间为，利用路程=速度×时间表示所有动态线段长度； 2.再结合三角形面积公式、勾股定理列一元二次方程； 3.解题必须控制动点运动范围，保证所有线段长度为正，舍去动点跑出图形外的时间解与负数解。 1．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 4．如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 5．如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，的长为________．（用含t的式子表示 （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为________． 6．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 7．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 8．综合与探究，如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 9．如图，在矩形中，，点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是t秒（） (1)当t为何值时，是等腰三角形？ (2)当F为边的中点时，求此时的长度． (3)是否存在某一时刻t，使点D在线段的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使的面积是矩形面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $