专题2 一元二次方程的实际应用7种常考题型专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用7大常考题型，通过真实情境问题构建从模型建立到方程求解的完整解题链，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平均变化率|5题|含增长率/减少率，核心公式a(1±x)²=b|从实际增长问题抽象等量关系，培养数据意识| |循环问题|3题|单/双循环比赛、合同签订，涉及组合计数|通过实际情境理解“握手模型”，发展推理意识| |传播问题|3题|病毒传染、密码传播，含多轮传播及损耗|建立传染链数学模型，提升抽象能力| |利润问题|10题|售价-销量-利润关系，含一次函数背景|结合经济情境构建利润方程，强化应用意识| |面积问题|8题|矩形、道路、花圃等图形面积，含动态调整|运用几何直观转化面积关系，培养空间观念| |动点综合|3题|结合勾股定理、行程问题的动态几何|融合代数与几何，发展运算能力与推理能力| |日历问题|2题|月历中数字规律，横向/纵向/矩形框选|利用数字规律建立方程，体现数学眼光|

专题2 一元二次方程的实际应用7种常考题型专项训练 题型一 列一元二次方程解决平均变化率的问题 1．（2026•临沧二模）随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023年云南省鲜切花出口值达5.7亿元，2025年云南省鲜切花出口值达12.2亿元．如果设这两年出口值的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（　　） A．5.7（1+x2）＝12.2 B．5.7（1+x）2＝12.2 C．5.7（1﹣x）2＝12.2 D．5.7（1+2x）＝12.2 2．（2026•方山县二模）开窗见蓝天、出门迎白云，如今已成为太原市民的日常．一组数据印证了这份“蓝天幸福感”：2023年全年太原市空气污染天数为121天，2025年全年太原市空气污染天数为82天．设连续两年太原市空气污染天数的平均减少率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．121（1﹣x）2＝82 B．121（1﹣x%）2＝82 C．82（1+x）2＝121 D．121（1﹣2x）＝82 3．（2026春•宁海县期中）某厂家2025年1～5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A．140（1+x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．461（1﹣x）2＝180 D．368（1+x）2＝450 4．（2026•湖南模拟）据统计，云梦县博物馆开馆第一个月进馆7500人次，近日，跟随习近平总书记的考察足迹，云梦县博物馆受到广泛关注，进馆人数逐月增加，第三个月进馆10800人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该博物馆月接纳能力不能超过12000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 5．（2026•芜湖二模）某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为200吨，二月初水稻采收产量增至242吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． （1）求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． （2）按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 题型二 列一元二次方程解决循环问题 6．（2026•东莞市二模）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（　　） A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28 C． D． 7．（2026•东莞市一模）2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 8．（2026•老河口市模拟）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，若有x家公司共签订了45份合同，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45 C． D． 题型三 列一元二次方程解决传播问题 9．（2026•江津区二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 10．（2026•偏关县一模）数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 11．（2026•东莞市二模）新冠肺炎疫情是对人类的考验，对全球造成巨大影响，新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）． （1）求每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，某地政府开始建设大型方舱医院进行隔离病人治疗，方舱医院设置普通病房和重症病房（所有病房都是一房一人），其中要求重症病房不少于普通病房的，为了一次性将病人全部收治入院，这个方舱医院至少设置多少重症病房？ 题型四 列一元二次方程解决利润问题 12．（2026•乌鲁木齐模拟）经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（　　） A．（30﹣x）（200+10x）＝6250 B．（30+x）（200+10x）＝6250 C．（30+x）（200﹣10x）＝6250 D．（30﹣x）（200﹣10x）＝6250 13．（2026•滨城区二模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x（元/斤）与月销售量y（斤）满足一次函数关系：y＝﹣20x+800，若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（　　） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 14．（2026•虹口区三模）某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价＝每吨售价×年产量） 15．（2026春•西湖区月考）某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． （1）如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ （2）如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 16．（2026春•清江浦区期中）2026年3月20日苏超吉祥物“苏嘟嘟”在南京正式发布，一开售，就深受大家的喜欢．某电商立刻在抖音上对一款进价为78元的“苏嘟嘟”进行直播销售，第一天以每个108元的价格售出40个．为了让更多的消费者拥有它们，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出2个．设销售单价为x元． （1）超市从第二天起日销售量增加　 　 个，每个可以盈利　 　 元；（用含x的代数式表示） （2）该商店要保证每天盈利1232元，同时又要使顾客得到实惠，那么吉祥物的销售单价应定为多少元？ 17．（2026春•新昌县期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个． （1）降价5元时，日销量增加了多少个？ （2）当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 18．（2026•朝阳二模）在CBA篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 （1）网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； （2）为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 19．（2026•曾都区二模）某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于70元，经过市场调研发现，日销售量y（千克）与售价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）根据上述信息，求出y与x之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； （2）超市要想每天获得2100元的销售利润，售价应定为多少元？ （3）当每日购进这种水果的总进价不超过3840元时，通过计算说明每天能否获得2500元的销售利润？ 20．（2026春•鹿城区期中）瓯窑非遗文创成为温州文旅消费爆款，某门店主营特色青瓷茶具．现购进一批成本固定的青瓷茶具，分为线上和线下两种销售方式，每日以单件12～20元（含12元，20元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量y（件）关于销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣100x+2400，当售价为12元时，线下月利润为2400元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为500件，线上每件产品商家需多付2元快递费． （1）求出每件产品的成本； （2）三月份线上、线下的月利润共可达到5000元，求三月份每件产品的售价． 21．（2026•南山区二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 任务1 求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． 任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 题型五 列一元二次方程解决面积问题 22．（2026春•新昌县期中）如图，有一张长方形桌子的桌面长90cm，宽50cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为x（cm），则根据题意所列方程正确的是（　　） A．2（90﹣2x）（50﹣2x）＝90×50 B．（90﹣2x）（50﹣2x）＝2×90×50 C．2（90+2x）（50+2x）＝90×50 D．（90+2x）（50+2x）＝2×90×50 23．（2026•本溪二模）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x+（x﹣12）＝864 D．（x+x+12）2＝864 24．（2026•勐海县一模）清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为90cm，宽为60cm，中间画作的面积为4000cm2．设空白画框的宽度为xcm，则下列方程正确的是（　　） A．（90﹣2x）（60﹣2x）＝4000 B．（90﹣x）（60﹣x）＝4000 C．（90﹣2x）（60﹣x）＝4000 D．90×60﹣x2＝4000 25．（2026•荔城区模拟）如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为112m2，依题意列方程为（　　） A．10x+15×2x＝150﹣112 B．10×2x+15x＝150﹣112 C．（10﹣2x）（15﹣x）＝112 D．（10﹣x）（15﹣2x）＝112 26．（2026•泰兴市二模）如图所示，在一块长是20m、宽14m的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 27．（2026春•桓台县期中）某小区业委员会决定把长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m．预计划活动区造价60元m2，绿化区造价50元m2．设绿化区域较长直角边为xm． （1）用含x的代数式表示出口区的宽度为　 　 m，绿化区总造价为 　 元，活动区总造价为　 　 元； （2）如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能．请说明理由？ （3）业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2． 28．（2026春•包河区期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为a米），另三边用总长为35米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出1米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为144平方米． （1）当a＝20时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少？ （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长a的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到200平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现？若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 29．（2026•新昌县二模）根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形ABCD拼成一个大正方形EFGH． （1）求解方程x（x+5）＝6的正根，可令m＝x+5，n＝x，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形ABCD，大正方形EFGH的面积各是多少？ ②利用大正方形EFGH的边长，请你求出方程x（x+5＝6）的正根． （2）小明用此方法求关于x的方程x（3x+t）＝14（t为常数，且t＞0）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 题型六 一元二次方程与动点的综合运用 30．（2026•苏家屯区一模）我国古代数学著作《九章算术》”勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为x，根据题意可列方程为（　　） A．（3x）2+102＝（7x）2 B．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 C．（3x）2+（7x）2＝102 D．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 31．（2026春•包河区期中）已知∠BOC＝30°，点A在射线OB上，且OA＝6cm，点D从点A出发沿射线OB移动，速度为1cm/s；同时点E从点O出发沿射线OC移动，速度为，经过多少秒后△DOE为直角三角形？ 32．（2025秋•九台区月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，运动时间为t． （1）经过　　 秒后，点P运动到B点；经过　　 秒后，点Q运动到C点； （2）BP＝　　 ；（用含t的代数式表示） （3）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2？ （4）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动，点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接CP，求经过几秒钟后，△PCQ的面积为8cm2． 题型七 利用一元二次方程解决日历问题 33．（2026•梁溪区二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． （1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为　 　 ； （2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 34．（2026•武进区一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为　　 ，最大的数可用x表示为　　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 一元二次方程的实际应用7种常考题型专项训练 题型一 列一元二次方程解决平均变化率的问题 1．（2026•临沧二模）随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023年云南省鲜切花出口值达5.7亿元，2025年云南省鲜切花出口值达12.2亿元．如果设这两年出口值的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（　　） A．5.7（1+x2）＝12.2 B．5.7（1+x）2＝12.2 C．5.7（1﹣x）2＝12.2 D．5.7（1+2x）＝12.2 【分析】利用平均增长率的计算方法，逐年推导2025年出口值的表达式，即可得到对应方程． 【解答】解：根据题意可得：5.7（1+x）2＝12.2． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 2．（2026•方山县二模）开窗见蓝天、出门迎白云，如今已成为太原市民的日常．一组数据印证了这份“蓝天幸福感”：2023年全年太原市空气污染天数为121天，2025年全年太原市空气污染天数为82天．设连续两年太原市空气污染天数的平均减少率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．121（1﹣x）2＝82 B．121（1﹣x%）2＝82 C．82（1+x）2＝121 D．121（1﹣2x）＝82 【分析】根据初始污染天数和平均减少率推导两年后污染天数，即可列出正确方程． 【解答】解：根据题意可得：121（1﹣x）2＝82． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 3．（2026春•宁海县期中）某厂家2025年1～5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A．140（1+x）2＝461 B．180（1+x）2＝461 C．461（1﹣x）2＝180 D．368（1+x）2＝450 【分析】根据3月份和5月份的销售量，列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：368（1+x）2＝450， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2026•湖南模拟）据统计，云梦县博物馆开馆第一个月进馆7500人次，近日，跟随习近平总书记的考察足迹，云梦县博物馆受到广泛关注，进馆人数逐月增加，第三个月进馆10800人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该博物馆月接纳能力不能超过12000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 【分析】（1）设进馆人次的月平均增长率为x根据第三个月进馆10800人次列方程进行计算即可得到答案； （2）根据（1）的月平均增长率算出第四个月的进馆人次为与12000人次比较即可得到答案． 【解答】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，根据第三个月进馆10800人次可得， 7500（1+x）2＝10800， 解得：x1＝20%，（不符合题意舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率为20%； （2）解：不能，理由如下， 由（1）得， 四月的人数为：10800（1+20%）＝12960＞12000， ∴该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次． 【点睛】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 5．（2026•芜湖二模）某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为200吨，二月初水稻采收产量增至242吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． （1）求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． （2）按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为x，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至200（1+x）2，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【解答】解：（1）设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为x． 由题意得200（1+x）2＝242， 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为10%． （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算可得： 242×（1+10%）＝242×1.1＝266.2（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到266.2吨． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系是关键． 题型二 列一元二次方程解决循环问题 6．（2026•东莞市二模）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（　　） A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28 C． D． 【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程． 【解答】解：根据题意可列方程． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 7．（2026•东莞市一模）2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【分析】设该小组参加比赛的球队有x支，利用小组赛阶段比赛的总场数＝该小组参赛队伍数×（该小组参赛队伍数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该小组参加比赛的球队有x支， 根据题意得：x（x﹣1）＝56， 整理得：x2﹣x﹣56＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴该小组参加比赛的球队有8支． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8．（2026•老河口市模拟）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，若有x家公司共签订了45份合同，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45 C． D． 【分析】解题思路为：明确每家公司的签约数量，去掉重复计算的部分，根据总签约合同数列出等量关系即可得到方程． 【解答】解：根据题意可列方程． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 题型三 列一元二次方程解决传播问题 9．（2026•江津区二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据“有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81， 整理得：（x+1）2＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10 （不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了8人， ∴经过三轮传染后患流感的人数为81（1+x）＝81×（1+8）＝729． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2026•偏关县一模）数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【解答】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意列一元二次方程得，（6+6x﹣6）（1+x）﹣6＝114． 整理得，6x2+6x﹣120＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 11．（2026•东莞市二模）新冠肺炎疫情是对人类的考验，对全球造成巨大影响，新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）． （1）求每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，某地政府开始建设大型方舱医院进行隔离病人治疗，方舱医院设置普通病房和重症病房（所有病房都是一房一人），其中要求重症病房不少于普通病房的，为了一次性将病人全部收治入院，这个方舱医院至少设置多少重症病房？ 【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）求出第三轮传染后，患病总人数为2197人，设这个方舱医院设置a个重症病房，则设置（2197﹣a）个普通病房，根据重症病房不少于普通病房的，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 由题意得：1+x+x（1+x）＝169， 整理得：（1+x）2＝169， 解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均每个人传染了12个人； （2）第三轮传染后，患病总人数为：169×（1+12）＝2197（人）， 设这个方舱医院设置a个重症病房，则设置（2197﹣a）个普通病房， 由题意得：a（2197﹣a）， 解得：a≥84.5， ∵a为正整数， ∴a的最小值为85， 答：这个方舱医院至少设置85个重症病房． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 题型四 列一元二次方程解决利润问题 12．（2026•乌鲁木齐模拟）经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（　　） A．（30﹣x）（200+10x）＝6250 B．（30+x）（200+10x）＝6250 C．（30+x）（200﹣10x）＝6250 D．（30﹣x）（200﹣10x）＝6250 【分析】依据题意，由每件小商品降价x元，则每天销量为：（200+10x）件，从而平均每天销售利润＝（30﹣x）（200+10x）＝6250，即方程为（30﹣x）（200+10x）＝6250，进而得解． 【解答】解：由题意，∵每件小商品降价x元， ∴每天销量为：（200+10x）件， ∴平均每天销售利润＝（30﹣x）（200+10x）＝6250，即方程为（30﹣x）（200+10x）＝6250． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 13．（2026•滨城区二模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x（元/斤）与月销售量y（斤）满足一次函数关系：y＝﹣20x+800，若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（　　） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【分析】利用“总利润＝每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可． 【解答】解：∵每斤利润为（x﹣15）元，月销售量y＝﹣20x+800， ∴根据题意列一元二次方程得，（x﹣15）（﹣20x+800）＝3000， 解得x1＝25，x2＝30， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． 14．（2026•虹口区三模）某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价y（万元）与年产量x（吨）的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不用写定义域） （2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价＝每吨售价×年产量） 【分析】（1）根据图中数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数解析式； （2）利用该产品的总售价＝该产品的年产量×该产品每吨的售价，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将（20，70），（100，30）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+80； （2）根据题意得：x（﹣0.5x+80）＝2400， 整理得：x2﹣160x+4800＝0， 解得：x1＝40，x2＝120（不符合题意，舍去）． 答：该产品的年产量为40吨． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 15．（2026春•西湖区月考）某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． （1）如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ （2）如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【分析】（1）根据单价变化与销量变化的关系列一元一次方程求出单价，再利用总利润＝单个利润×销售量计算总利润； （2）根据总利润的等量关系列一元二次方程，求解得到面包单价． 【解答】解：（1）设这种面包的单价定为x元，由题意可知： 160﹣20（x﹣7）＝100， 解得x＝10， 则100×（10﹣5）＝500（元）， 答：这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元． （2）设这种面包的单价定为y元，由总利润的等量关系列一元二次方程可知： [160﹣20（y﹣7）]（y﹣5）＝480， 解得y1＝9，y2＝11， 答：这种面包的单价是9元或11元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是关键． 16．（2026春•清江浦区期中）2026年3月20日苏超吉祥物“苏嘟嘟”在南京正式发布，一开售，就深受大家的喜欢．某电商立刻在抖音上对一款进价为78元的“苏嘟嘟”进行直播销售，第一天以每个108元的价格售出40个．为了让更多的消费者拥有它们，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出2个．设销售单价为x元． （1）超市从第二天起日销售量增加　2（108﹣x）　 个，每个可以盈利　（x﹣78）　 元；（用含x的代数式表示） （2）该商店要保证每天盈利1232元，同时又要使顾客得到实惠，那么吉祥物的销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）根据题意分别列出代数式即可； （2）根据该商店要保证每天盈利1232元，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设销售单价为x元， 则超市从第二天起日销售量增加2（108﹣x）个，每个可以盈利（x﹣78）元， 故答案为：2（108﹣x），（x﹣78）； （2）根据题意得：（x﹣78）[40+2（108﹣x）]＝1232， 整理得：x2﹣206x+10600＝0， 解得：x1＝100，x2＝106（不符合题意，舍去）， 答：吉祥物的销售单价应定为100元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2026春•新昌县期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个． （1）降价5元时，日销量增加了多少个？ （2）当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【分析】（1）利用日销量增加的个数＝5×降价的钱数，即可求出结论； （2）设每个玩偶降价x元，则每个的销售利润为（50﹣x﹣30）元，日销售量为（320+5x）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：5×5＝25（个）． 答：降价5元时，日销量增加了25个； （2）设每个玩偶降价x元，则每个的销售利润为（50﹣x﹣30）元，日销售量为（320+5x）个， 根据题意得：（50﹣x﹣30）（320+5x）＝5940， 整理得：x2+44x﹣92＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣46（不符合题意，舍去）． 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．（2026•朝阳二模）在CBA篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 （1）网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； （2）为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 【分析】（1）设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶（30﹣x）件，根据等量关系：两款公仔玩偶共花费1430元，建立一元一次方程即可求解； （2）设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶（30﹣x）件， 由题意列一元一次方程得：44x+（30﹣x）×55＝1430， 解得x＝20， 则30﹣x＝30﹣20＝10（件）； 答：购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶10件． （2）设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元， 由题意列一元二次方程得：（y﹣55）[12+（67﹣y）×6]＝270， 解得y1＝60，y2＝64， 答：将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 19．（2026•曾都区二模）某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于70元，经过市场调研发现，日销售量y（千克）与售价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）根据上述信息，求出y与x之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； （2）超市要想每天获得2100元的销售利润，售价应定为多少元？ （3）当每日购进这种水果的总进价不超过3840元时，通过计算说明每天能否获得2500元的销售利润？ 【分析】（1）根据题意可知，y是x的一次函数，利用待定系数法求解析式即可； （2）设售价应定为x元，根据题意可得（﹣4x+360）（x﹣40）＝2100，解方程舍去不符合题意的解即可； （3）设最大利润为w元，根据题意可得w＝（﹣4x+360）（x﹣40）＝﹣4（x﹣65）2+2500，整理后利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意列二元一次方程组可得：， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+360； （2）设售价应定为x元， 根据题意列一元二次方程可得：（﹣4x+360）（x﹣40）＝2100， 解得x1＝75（不符合题意，舍去），x2＝55， ∴售价应定为55元； （3）不能，理由如下： 设日销售利润为w元，根据题意可得： w＝（﹣4x+360）（x﹣40）＝﹣4x2+520x﹣14400＝﹣4（x﹣65）2+2500， ∵总进价不超过3840元，3840÷40＝96，即日销售量不超过96千克， 根据题意列式得，﹣4x+360≤96， 解得x≥66， ﹣4＜0，抛物线开口向下， ∴当x＝65时，w最大为2500元， ∴总进价不超过3840元时，不能获得2500元的销售利润． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，一次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． 20．（2026春•鹿城区期中）瓯窑非遗文创成为温州文旅消费爆款，某门店主营特色青瓷茶具．现购进一批成本固定的青瓷茶具，分为线上和线下两种销售方式，每日以单件12～20元（含12元，20元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量y（件）关于销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣100x+2400，当售价为12元时，线下月利润为2400元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为500件，线上每件产品商家需多付2元快递费． （1）求出每件产品的成本； （2）三月份线上、线下的月利润共可达到5000元，求三月份每件产品的售价． 【分析】（1）设每件产品的成本为a元，根据当售价为12元时，线下月利润为2400元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据三月份线上、线下的月利润共可达到5000元，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设每件产品的成本为a元， 由题意得：（12﹣a）（﹣100×12+2400）＝2400， 解得：a＝10， 答：每件产品的成本为10元； （2）依题意得：500（x﹣2﹣10）+（x﹣10）（﹣100x+2400）＝5000， 整理得：x2﹣39x+350＝0， 解得：x1＝25，x2＝14， ∵12≤x≤20， ∴x＝25不符合题意，舍去， 答：三月份每件产品的售价为14元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 21．（2026•南山区二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 任务1 求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． 任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【分析】任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x，根据“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设每件“哭哭马”实际售价应定为y元，根据为使每日销售利润达到1020元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x， 由题意得：20（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为10%； 任务2：设每件“哭哭马”实际售价应定为y元， 由题意得：（y﹣60）[48+4（80﹣y）]＝1020， 整理得：y2﹣152y+5775＝0， 解得：y1＝75，y2＝77（不符合题意，舍去）， 答：每件“哭哭马”实际售价应定为75元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 题型五 列一元二次方程解决面积问题 22．（2026春•新昌县期中）如图，有一张长方形桌子的桌面长90cm，宽50cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为x（cm），则根据题意所列方程正确的是（　　） A．2（90﹣2x）（50﹣2x）＝90×50 B．（90﹣2x）（50﹣2x）＝2×90×50 C．2（90+2x）（50+2x）＝90×50 D．（90+2x）（50+2x）＝2×90×50 【分析】根据各边之间的关系，可得出台布的长为（90+2x）cm，宽为（50+2x）cm，利用台布的面积是桌面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设台布各边垂下的长度为xcm， 由题意可知可得出台布的长为（90+2x）cm，宽为（50+2x）cm， 即：（90+2x）（50+2x）＝2×90×50． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确找准等量关系是解题的关键． 23．（2026•本溪二模）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x+（x﹣12）＝864 D．（x+x+12）2＝864 【分析】根据这块田地长与宽之间的关系，可得出这块田地的长为（x+12）步，根据这块田地的面积为864平方步，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵这块田地的宽为x步，且宽比长少12步， ∴这块田地的长为（x+12）步． 根据题意得：x（x+12）＝864． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（2026•勐海县一模）清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为90cm，宽为60cm，中间画作的面积为4000cm2．设空白画框的宽度为xcm，则下列方程正确的是（　　） A．（90﹣2x）（60﹣2x）＝4000 B．（90﹣x）（60﹣x）＝4000 C．（90﹣2x）（60﹣x）＝4000 D．90×60﹣x2＝4000 【分析】设空白画框的宽度为xcm，则中间画作的长为（90﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，根据中间画作的面积为4000cm2，列出方程即可． 【解答】解：根据题意得： （90﹣2x）（60﹣2x）＝4000． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 25．（2026•荔城区模拟）如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植花苗的面积为112m2，依题意列方程为（　　） A．10x+15×2x＝150﹣112 B．10×2x+15x＝150﹣112 C．（10﹣2x）（15﹣x）＝112 D．（10﹣x）（15﹣2x）＝112 【分析】设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长（15﹣x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，根据种植花苗的面积为112m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长（15﹣x）m，宽（10﹣2x）m的矩形， 依题意得：（10﹣2x）（15﹣x）＝112， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（2026•泰兴市二模）如图所示，在一块长是20m、宽14m的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 【分析】设两个花圃之间的草坪的宽度为xm，则两个花圃可合成长为（20﹣3x）m，宽为（14﹣2x）m的矩形，根据花圃总面积为矩形空地面积的一半，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设两个花圃之间的草坪的宽度为xm，则两个花圃可合成长为（20﹣3x）m，宽为（14﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（20﹣3x）（14﹣2x）20×14， 整理得：3x2﹣41x+70＝0， 解得：x1＝2，x2（不符合题意，舍去）． 答：两个花圃之间的草坪的宽度为2m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27．（2026春•桓台县期中）某小区业委员会决定把长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m．预计划活动区造价60元m2，绿化区造价50元m2．设绿化区域较长直角边为xm． （1）用含x的代数式表示出口区的宽度为　（80﹣2x）　 m，绿化区总造价为　100x（x﹣10）　 元，活动区总造价为　60[80×60﹣2x（x﹣10）]　 元； （2）如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能．请说明理由？ （3）业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2． 【分析】（1）根据图形可得结论； （2）根据面积×造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得y与x的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得x的取值范围，业主委员会投资28.4万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论； （3）先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为x＝22时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验． 【解答】解：（1）由题意可得，出口的宽度为（80﹣2x）cm；绿化区总造价为100x（x﹣10）元，活动区总造价为60[80×60﹣2x（x﹣10）]元， 故答案为：（80﹣2x），100x（x﹣10），60[80×60﹣2x（x﹣10）]； （2）设工程队总造价y元， 由题意可得，BC＝EF＝80﹣2x，∴AB＝CDx﹣10， y＝50×4x（x﹣10）+60×[60×80﹣4x（x﹣10）]＝﹣20x2+200x+288000， ∵36≤80﹣2x≤44， ∴18≤x≤22， ∴﹣20x2+200x+288000≤284000， x2﹣10x﹣200≥0， 设m＝x2﹣10x﹣200＝（x﹣5）2﹣225， 当m＝0时，x2﹣10x﹣200＝0，x＝20或﹣10， ∴当m≥0时，x≤﹣10或x≥20， ∴20≤x≤22， 所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程， 所有工程方案如下：①较长直角边为20m，短直角边为10m，出口宽度为40m； ②较长直角边为21m，短直角边为11m，出口宽度为38m； ③较长直角边为22m，短直角边为12m，出口宽度为36m； （3）y＝﹣20x2+200x+288000＝﹣20（x﹣5）2+288500， 在20≤x≤22中y随x的增大而减小， ∴当x＝22时，y有最小值， 绿化面积＝4××22×（22﹣10）＝528， 设原计划每天绿化xm2，则在实际施工中，每天绿化（x+11）m2， 则4， 解得：x＝33或﹣44（舍）， 经检验x＝33是原方程的解， 答：原计划每天绿化33m2． 【点睛】本题是有关几何图形的应用问题，考查了一元一次不等式、分式方程、二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题． 28．（2026春•包河区期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为a米），另三边用总长为35米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出1米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为144平方米． （1）当a＝20时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少？ （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长a的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到200平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现？若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设养鸡场垂直于墙的一边的长是x米，则平行于墙的一边的长是（35+1﹣2x）米，根据题意得x（35+1﹣2x）＝144，然后解方程并检验即可； （2）由（1）得平行于墙的一边的长是24米或是12米，然后分当a≥24时；当12≤a＜24时；当a＜12时，进行讨论即可； （3）设养鸡场垂直于墙的一边的长是y米，则平行于墙的一边的长是（35+1﹣2y）米，根据题意得y（35+1﹣2y）＝200，整理得y2﹣18y+100＝0，由（﹣18）2﹣4×1×100＝324﹣400＝﹣76＜0即可判断． 【解答】解：（1）设养鸡场垂直于墙的一边的长是x米，则平行于墙的一边的长是（35+1﹣2x）米， ∵长方形养鸡场总面积为144平方米， ∴x（35+1﹣2x）＝144， 解得：x1＝6，x2＝12， 当x＝6时，平行于墙的一边的长是36﹣2×6＝24＞20，不符合题意； 当x＝12时，平行于墙的一边的长是36﹣2×12＝12＜20，符合题意； ∴当a＝20时，养鸡场平行于墙的一边的长是12米； （2）由（1）得平行于墙的一边的长是24米或是12米， 当a≥24时，两边都不超过墙长，有2种围法； 当12≤a＜24时，两边都不超过墙长，有1种围法； 当a＜12时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长a的取值范围是12≤a＜24； （3）不能实现，理由如下， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是y米，则平行于墙的一边的长是（35+1﹣2y）＝（36﹣2y）米， 根据题意得y（36﹣2y）＝200， 整理得：y2﹣18y+100＝0， ∵（﹣18）2﹣4×1×100＝324﹣400＝﹣76＜0， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到200平方米， ∴不能实现． 【点睛】本题考查一元二次从的应用，解题的关键是读懂题意列出方程． 29．（2026•新昌县二模）根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形ABCD拼成一个大正方形EFGH． （1）求解方程x（x+5）＝6的正根，可令m＝x+5，n＝x，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形ABCD，大正方形EFGH的面积各是多少？ ②利用大正方形EFGH的边长，请你求出方程x（x+5＝6）的正根． （2）小明用此方法求关于x的方程x（3x+t）＝14（t为常数，且t＞0）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 【分析】（1）①依据题意，由m＝x+5，n＝x，长方形面积mn＝6，则小正方形的边长为m﹣n＝（x+5）﹣x＝5，从而可得小正方形的面积，由大正方形的边长为m+n，则其面积为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝25+4×6＝25+24＝49，即可得解； ②依据题意，由（1）得EF＝m+n＝7＝2x+5，从而x＝1，即方程x（x+5）＝6 的正根为x＝1，即可得解； （2）依据题意得，从而t＝1，即可得解． 【解答】解：（1）①由题意，∵m＝x+5，n＝x，长方形面积mn＝6， ∴小正方形的边长为m﹣n＝（x+5）﹣x＝5， ∴小正方形的面积为：（m﹣n）2＝52＝25． 又∵大正方形的边长为m+n， ∴其面积为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝25+4×6＝25+24＝49． 答：小正方形面积为25，大正方形面积为49； ②由（1）得EF＝m+n＝7＝2x+5， ∴x＝1，即方程x（x+5）＝6 的正根为x＝1； （2）由题意得， ∴t＝1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、正方形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 题型六 一元二次方程与动点的综合运用 30．（2026•苏家屯区一模）我国古代数学著作《九章算术》”勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为x，根据题意可列方程为（　　） A．（3x）2+102＝（7x）2 B．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 C．（3x）2+（7x）2＝102 D．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 【分析】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB＝3x步，甲共行AC+BC＝7x步，利用勾股定理列出方程即可． 【解答】解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB＝3x步，甲共行AC+BC＝7x步， ∵AC＝10步， ∴BC＝（7x﹣10）步， 又∵∠A＝90°， ∴BC2＝AC2+AB2， 即（7x﹣10）2＝102+（3x）2， ∴（3x）2+102＝（7x﹣10）2， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 31．（2026春•包河区期中）已知∠BOC＝30°，点A在射线OB上，且OA＝6cm，点D从点A出发沿射线OB移动，速度为1cm/s；同时点E从点O出发沿射线OC移动，速度为，经过多少秒后△DOE为直角三角形？ 【分析】设经过ts后△DOE为直角三角形，则OD＝（6+t） cm，OEtcm，分∠OED＝90°及∠ODE＝90°两种情况考虑，当∠OED＝90°时，DE cm，利用勾股定理，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；当∠ODE＝90°时，DEtcm，利用勾股定理，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：设经过ts后△DOE为直角三角形，则OD＝OA+AD＝（6+t） cm，OEtcm， 当∠OED＝90°时，∵∠BOC＝30°， ∴DEOD cm， 在Rt△DOE中，OE2+DE2＝OD2， 即（t）2+（）2＝（6+t）2， 整理得：t2﹣4t﹣12＝0， 解得：t1＝6，t2＝﹣2（不符合题意，舍去）； 当∠ODE＝90°时，∵∠BOC＝30°， ∴DEOEtcm， 在Rt△DOE中，DE2+OD2＝OE2， 即（t）2+（6+t）2＝（t）2， 整理得：5t2﹣48t﹣144＝0， 解得：t1＝12，t2（不符合题意，舍去）． 答：经过6或12秒后△DOE为直角三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及含30度角的直角三角形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 32．（2025秋•九台区月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，运动时间为t． （1）经过　　 秒后，点P运动到B点；经过　　 秒后，点Q运动到C点； （2）BP＝　　 ；（用含t的代数式表示） （3）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2？ （4）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动，点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接CP，求经过几秒钟后，△PCQ的面积为8cm2． 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度，即可求解； （2）根据题意可得AP＝tcm，即可求解； （3）根据△PBQ的面积为8cm2，列出关于t的方程，即可求解； （4）分三种情况：当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时0＜t≤4；当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时4＜t≤6；当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时6＜t≤8；根据△PCQ的面积为8cm2，列出关于t的方程，即可求解． 【解答】解：（1）经过6÷1＝6秒后，点P运动到B点； 经过8÷2＝4秒后，点Q运动到C点； 故答案为：6；4； （2）AP＝tcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm； 故答案为：（6﹣t）cm； （3）BQ＝2tcm， ∴，即， 解得：t＝2或4， 即经过2或4秒钟后，△PBQ的面积为8cm2； （4）点P到达终点的时间为2×6＝12秒，点Q到达终点的时间为2×4＝8秒， 当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时0＜t≤4，BP＝（6﹣t）cm，CQ＝（8﹣2t）cm， ∵△PCQ的面积为8cm2， ∴，即， ∴t＝2或8（舍去）； 当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时4＜t≤6，BP＝（6﹣t）cm，CQ＝（2t﹣8）cm， ∵△PCQ的面积为8cm2， ∴，即，此方程无解； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时6＜t≤8，BP＝（t﹣6）cm，CQ＝（2t﹣8）cm， ∵△PCQ的面积为8cm2， ∴，即， ∴t＝2（不符合题意，舍去）或8； ∴经过2或8秒钟后，△PCQ的面积为8cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积以及分类讨论；通过分类讨论得出方程是解题的关键． 题型七 利用一元二次方程解决日历问题 33．（2026•梁溪区二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． （1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为　123　 ； （2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【分析】（1）依据题意，要使框出数的总和的最大，结合10月最大日期为 31，从而纵向三连数最大为：17，24，31，又小明与小亮的框有一个数相同，且分别用横着、竖着，可得横着三连数为：24，25，26，进而可以得解； （2）依据题意，设两人框的中间相同的数为x，则可得方程（x﹣1）（x﹣7）＝112，即x2﹣8x﹣105＝0，进而x1＝﹣7（负数舍去），x2＝15，结合15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，要使框出数的总和的最大， ∵10 月最大日期为 31， ∴纵向三连数最大为：17，24，31， 又∵小明与小亮的框有一个数相同，且分别用横着、竖着， ∴横着三连数为：24，25，26， ∴总和的最大值为：17+24+31+25+26＝123． 故答案为：123； （2）小亮的说法是正确的．理由： 设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程（x﹣1）（x﹣7）＝112，即x2﹣8x﹣105＝0， ∴x1＝﹣7（负数舍去），x2＝15． ∵15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数， ∴不符合题意舍去． ∴小亮说法正确． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 34．（2026•武进区一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为　　 ，最大的数可用x表示为　　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案； （2）设最小数为x，最大数为x+16，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵每行的后一个数比前一个数大1，每列的下一个数比上一个数大7， ∴中间的数可用x表示为x+1+7＝x+8， 最大的数可用x表示为x+2+14＝x+16； 故答案为：x+8；x+16； （2）设最小数为x，最大数为x+16， 根据题意可列一元二次方程：x（x+16）＝192， 解得x＝8或x＝﹣24（不符合题意，舍去）， ∴最小数为8，最大数为8+16＝24， ∴9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24， 其和为8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $