第二单元 分数乘法 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学人教版六年级上册（新教材）

本讲义聚焦分数乘法核心知识点，系统梳理分数乘整数（含意义、计算方法及约分规则）、分数乘分数（含意义、交叉约分技巧）、分数连乘（运算顺序与整体约分）、因数与积的大小关系、倒数的认识（定义、求法及特殊数）及实际应用（基本与连续求一个数的几分之几），构建从概念理解到计算技巧再到问题解决的完整学习支架。 该资料采用“知识梳理-考点讲练-综合训练”三阶设计，通过典例精讲与变式训练（如分数连乘整体约分计算）培养运算能力（数学思维），结合实际问题分析（如求故事书本数）发展抽象能力与模型意识（数学眼光、数学语言）。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生强化练习、查漏补缺，提升知识应用能力。

第二单元 分数乘法 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、分数乘整数 1 二、分数乘分数 2 三、分数连乘 2 四、因数与积的大小关系（两个因数均不为 0） 2 五、倒数的认识 3 六、分数乘法实际应用 3 考点讲练 3 考点一：分数乘法的基本计算 3 考点二：分数连乘计算 5 考点三：倒数的认识 7 考点四：求一个数的几分之几的实际问题 9 考点五：连续求一个数的几分之几的实际问题 10 综合训练 12 知识梳理 一、分数乘整数 1. 意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算，也可以表示求这个分数的几倍是多少。 例如： 表示 3 个相加的和是多少，也表示的 3 倍是多少。 2. 计算方法 用分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变。 计算时能约分的可以先约分，再计算，结果必须化成最简分数。 3. 约分规则 约分是整数与分母约分，约分后的整数写在原数上方，约分后的分母写在原数下方，约分后再相乘，结果与不约分直接计算一致。 二、分数乘分数 1. 意义 分数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。 例如： 表示求的是多少。 2. 计算方法 用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 公式：（均不为 0） 3. 简便技巧 计算分数乘分数时，可以先交叉约分：将一个分数的分子与另一个分数的分母约去最大公因数，约分后再相乘，计算更简便，且结果一定是最简分数。 4. 注意事项 不能分子与分子约分、分母与分母约分；约分时要找分子和分母的最大公因数，确保约到最简。 三、分数连乘 1. 运算顺序 分数连乘属于同级运算，按照从左到右的顺序依次计算；也可以将所有分数放在一起整体约分后，一次性计算出结果。 2. 计算技巧 多个分数连乘时，把所有分子、所有分母分别汇总，先整体交叉约分，再将约分后的分子相乘作分子、分母相乘作分母，一步得出结果，效率更高。 四、因数与积的大小关系（两个因数均不为 0） 一个数乘大于 1 的数，积大于原来的数； 一个数乘等于 1 的数，积等于原来的数； 一个数乘小于 1 的数，积小于原来的数。 五、倒数的认识 1. 定义 乘积是 1 的两个数互为倒数。 例如：，我们就说和互为倒数，或者说的倒数是。 2. 核心注意 倒数是两个数之间的依存关系，不能单独说某个数是倒数，必须说明谁是谁的倒数，或者谁和谁互为倒数。 3. 求倒数的方法 求真分数、假分数的倒数：直接交换分子和分母的位置； 求非 0 整数的倒数：先把整数看作分母是 1 的假分数，再交换分子、分母的位置； 求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置； 求小数的倒数：先把小数化成分数，再求它的倒数。 4. 特殊数的倒数 1 的倒数是 1，因为； 0 没有倒数，因为 0 和任何数相乘都得 0，不可能等于 1。 六、分数乘法实际应用 1. 基本题型：求一个数的几分之几是多少 解题关键：找准单位 “1”，“的几分之几” 前面的量就是单位 “1”。 核心数量关系： 2. 进阶题型：连续求一个数的几分之几是多少 解题思路 1：分步计算，先以第一个量为单位 “1”，求出中间量；再以中间量为单位 “1”，求出最终量。 解题思路 2：先求出最终量占最初单位 “1” 的总分率，再用最初单位 “1” 的量乘总分率。 考点讲练 考点一：分数乘法的基本计算 【典例精讲】 计算： 【分析】 本题考查分数乘分数的计算。按照规则先交叉约分，再分子乘分子、分母乘分母，可简化计算过程，保证结果为最简分数。 【详解】 第一步：交叉约分，5 和 15 约去最大公因数 5，分别得 1 和 3；8 和 12 约去最大公因数 4，分别得 2 和 3。 第二步：约分后算式变为，分子相乘、分母相乘： 【答案】 【变式训练 1】 计算： 【分析】 本题考查整数乘分数的计算。整数与分母先约分，再用约分后的整数乘分子，分母约分后是 1 时可省略不写。 【详解】 18 和分母 6 约去最大公因数 6，18 约分后得 3，分母 6 约分后得 1。 【答案】 【变式训练 2】 计算： 【分析】 分数乘分数，先交叉约分再计算，注意分子和分母对应约分。 【详解】 9 和 18 约去 9，分别得 1 和 2；7 和 14 约去 7，分别得 1 和 2。 约分后算式为 【答案】 【变式训练 3】 判断：一个数乘分数，积一定小于这个数。（ ） 【分析】 根据因数与积的大小关系判断，分数分为真分数、假分数，大于 1、等于 1、小于 1 的情况都存在，积的大小不唯一。 【详解】 举反例验证： 乘大于 1 的分数：，积 3 大于原数 2； 乘等于 1 的分数：，积等于原数； 只有乘小于 1 的真分数时，积才小于原数。 因此 “积一定小于这个数” 的说法不成立。 【答案】× 考点二：分数连乘计算 【典例精讲】 计算： 【分析】 本题考查分数连乘的简便计算。可以将三个分数整体约分，把所有分子和所有分母放在一起交叉约分化简，再一次性相乘。 【详解】 所有分子：4、3、3；所有分母：9、8、5 第一步：整体约分 4 和 8 约去 4，分子得 1，分母得 2； 第一个 3 和 9 约去 3，分子得 1，分母得 3； 第二个 3 和分母约分后的 3 约去 3，分子得 1，分母得 1。 第二步：约分后相乘 【答案】 【变式训练 1】 计算： 【分析】 三个分数连乘，整体交叉约分后再计算，减少计算量。 【详解】 所有分子：2、9、5；所有分母：3、10、6 2 和 6 约去 2，分子得 1，分母得 3； 9 和 3 约去 3，分子得 3，分母得 1； 5 和 10 约去 5，分子得 1，分母得 2。 约分后： 【答案】 【变式训练 2】 计算： 【分析】 整数参与分数连乘时，把整数看作分母为 1 的分数，一起参与约分计算。 【详解】 把 12 看作，所有分子：12、3、5；所有分母：1、4、9 12 和 4 约去 4，分子得 3，分母得 1； 约分后的 3 和 9 约去 3，分子得 1，分母得 3。 约分后： 【答案】 【变式训练 3】 判断：三个分数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。（ ） 【分析】 本题考查乘法结合律在分数乘法中的适用性，整数乘法的运算律对分数乘法同样成立。 【详解】 乘法结合律适用于所有乘法运算，分数乘法也遵循这一规律：三个数相乘，改变运算顺序，积不变。因此题目说法正确。 【答案】√ 考点三：倒数的认识 【典例精讲】 求下面各数的倒数。 4 1.25 【分析】 根据不同类型数的倒数求法，先统一转化为分数形式，再交换分子和分母的位置得到倒数。 【详解】 是真分数，直接交换分子、分母，倒数是； 4 是整数，看作，交换分子、分母，倒数是； 1.25 化成分数是，交换分子、分母，倒数是； 化成假分数是，交换分子、分母，倒数是。 【答案】；；； 【变式训练 1】 判断题。（对的画 “√”，错的画 “×”） （1）因为，所以和互为倒数。（ ） （2）1 的倒数是 1，0 的倒数是 0。（ ） 【分析】 根据倒数的定义和特殊数的倒数规则，逐一判断对错。 【详解】 （1）倒数的定义是乘积为 1的两个数互为倒数，不是和为 1。，因此不互为倒数，说法错误。 （2）1 的倒数是 1 正确，但 0 和任何数相乘都得 0，不可能等于 1，因此 0 没有倒数，说法错误。 【答案】（1）×；（2）× 【变式训练 2】 下面各组数中，互为倒数的是（ ）。 A. 和 B. 和 C. 和 【分析】 根据倒数的定义，计算每组两个数的乘积，乘积为 1 的一组互为倒数。 【详解】 A 选项：，不互为倒数； B 选项：，符合倒数定义，互为倒数； C 选项：，不互为倒数。 【答案】B 【变式训练 3】 一个数的倒数是，这个数的是多少？ 【分析】 先根据 “乘积是 1” 求出原数，再用原数乘，计算出结果。 【详解】 第一步：求原数 互为倒数的两个数乘积是 1，原数 = 第二步：求这个数的 【答案】 考点四：求一个数的几分之几的实际问题 【典例精讲】 学校图书馆有科技书 240 本，故事书的本数是科技书的。故事书有多少本？ 【分析】 本题是基础的分数乘法应用题。单位 “1” 是科技书的本数，已知为 240 本，求故事书的本数就是求 240 的是多少，用乘法计算。 【详解】 数量关系：科技书本数 × = 故事书本数 （本） 【答案】故事书有 200 本。 【变式训练 1】 一根钢管长 16 米，用去了，用去了多少米？ 【分析】 单位 “1” 是钢管的总长度，已知为 16 米，求用去的长度就是求 16 米的是多少，用乘法计算。 【详解】 （米） 【答案】用去了 12 米。 【变式训练 2】 六（1）班有男生 25 人，女生人数是男生的。六（1）班一共有多少人？ 【分析】 先以男生人数为单位 “1”，求出女生人数，再将男女生人数相加，得到全班总人数。 【详解】 第一步：求女生人数 （人） 第二步：求全班总人数 （人） 【答案】六（1）班一共有 45 人。 【变式训练 3】 一袋大米重 50 千克，第一周吃了这袋大米的，第二周吃了这袋大米的。两周一共吃了多少千克？ 【分析】 单位 “1” 都是这袋大米的总质量，可以分别算出两周吃的质量再相加，也可以先算两周一共吃了总量的几分之几，再乘总质量。 【详解】 方法一：分步计算 第一周吃的质量：（千克） 第二周吃的质量：（千克） 两周一共：（千克） 方法二：先算总分率 两周一共吃了总量的： 两周一共吃的质量：（千克） 【答案】两周一共吃了 25 千克。 考点五：连续求一个数的几分之几的实际问题 【典例精讲】 果园里有苹果树 120 棵，梨树的棵数是苹果树的，桃树的棵数是梨树的。桃树有多少棵？ 【分析】 本题是连续求一个数的几分之几的应用题。第一步以苹果树为单位 “1” 求出梨树棵数，第二步以梨树为单位 “1” 求出桃树棵数；也可以先求出桃树棵数占苹果树的总分率，再一步计算。 【详解】 方法一：分步计算 梨树棵数：（棵） 桃树棵数：（棵） 方法二：先求总分率 桃树棵数占苹果树的： 桃树棵数：（棵） 【答案】桃树有 60 棵。 【变式训练 1】 三年级有学生 180 人，四年级人数是三年级的，五年级人数是四年级的。五年级有学生多少人？ 【分析】 连续求一个数的几分之几，依次以三年级、四年级人数为单位 “1”，分步计算即可。 【详解】 四年级人数：（人） 五年级人数：（人） 【答案】五年级有学生 120 人。 【变式训练 2】 一本故事书有 160 页，小明第一天看了全书的，第二天看了第一天的。第二天看了多少页？ 【分析】 先以全书页数为单位 “1” 求出第一天看的页数，再以第一天看的页数为单位 “1”，求出第二天看的页数。 【详解】 第一天看的页数：（页） 第二天看的页数：（页） 【答案】第二天看了 24 页。 【变式训练 3】 养殖场养鸡 360 只，鸭的只数是鸡的，鹅的只数比鸭少。鹅有多少只？ 【分析】 先求出鸭的只数；鹅比鸭少，说明鹅的只数是鸭的，再用鸭的数量乘对应分率得到鹅的数量。 【详解】 第一步：求鸭的只数 （只） 第二步：求鹅的只数 鹅是鸭的： 鹅的只数：（只） 【答案】鹅有 240 只。 综合训练 1．已知，下面的说法正确的是（    ）。 A．x比y少 B．y比x多 C．y比x多 D．x比y少 【答案】B 【分析】根据题意，利用假设法解答。假设，则，逐项进行分析解答。 【详解】A．单位“1”是，是的（1－），根据求一个数的几分之几，用乘法，＝7×（1－）＝1，1≠6，选项错误； B．单位“1”是，是的（1＋），根据求一个数的几分之几，用乘法，＝×（1＋）＝7，7＝7，选项正确； C．单位“1”是，是的（1＋），根据求一个数的几分之几，用乘法，＝6×（1＋）＝，≠7，选项错误； D．选项表述缺失数值或与计算结果不符，选项错误。 2．甲、乙两根绳子同样长，甲用去全长的，乙用去米，剩下绳子长度相比（    ）。 A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．一样长 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查分数的意义。解题的关键在于区分分数表示“分率”还是“具体数量”。甲用去全长的，这里的是分率，表示用去的长度占全长的比例，具体长度随全长变化；乙用去米，这里的米是具体数量，长度固定不变。由于绳子的全长未知，无法确定甲用去的具体长度，因此无法比较剩下绳子的长度。 【详解】甲用去的长度：甲用去全长的，是把绳子全长看作单位“1”，用去的长度等于全长乘。 乙用去的长度：乙用去米，是具体的长度，不随全长变化。 因为绳子全长未知，分三种情况讨论剩下绳子的长度： 当全长等于米时，甲用去（米），甲、乙用去长度相等，剩下长度一样长； 当全长大于米时，甲用去长度大于米，甲剩下长度比乙短； 当全长小于米时，甲用去长度小于米，甲剩下长度比乙长。 因全长即单位“1”未知，剩下长度关系不确定，所以剩下绳子长度相比无法确定。 3．云云和文文一起做作业，文文完成作业用了25分钟，云云完成作业用了小时，她们俩谁做得更快些（    ）。 A．云云 B．文文 C．一样快 D．芳芳 【答案】A 【分析】完成同样的作业，用时越少的人做得越快。先将云云用的时间单位“小时”换算成“分钟”，再与文文用的时间进行比较大小。 【详解】1小时＝60分钟 （分钟） 15＜25 因为完成同样的作业，用时越少做得越快，所以云云做得更快些。 4．甲、乙、丙三个数都大于0，乙数是甲数的，丙数是乙数的，甲、乙、丙三个数的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．乙＞丙＞甲 D．甲＞丙＞乙 【答案】A 【分析】取5和6的最小公倍数30当作甲数，依次算出乙、丙数值，再对比三个数大小。 【详解】甲＝30 乙： 丙： 30＞24＞20，甲＞乙＞丙。 5．一本200页的故事书，小丽第一天看了它的，第二天看了它的，第三天应从第（    ）页看起。 A．51 B．100 C．150 D．151 【答案】D 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用总页数乘两天看的分率之和即是前两天看的页数，然后再加上1即可。 【详解】200×（＋）＋1 ＝200×＋1 ＝150＋1 ＝151（页） 第三天应从第151页看起。 6．科学实验课上，做一次植物生长实验需要用纯净水，五年级的同学要做30次植物生长实验，一共需要准备（    ）kg纯净水。 A．6 B．16 C．18 D．50 【答案】C 【分析】一共需要准备的纯净水的质量＝做一次植物生长实验需要用的纯净水的质量×次数，据此列式解答。 【详解】×30＝18（kg） 所以一共需要准备18kg纯净水。 7．声音在钢铁中的传播速度约是千米/秒，在水中的传播速度是在钢铁中的，声音在水中的传播速度约是( )千米/秒。 【答案】 【分析】把声音在钢铁中的传播速度看作单位“1”，求已知单位“1”的量的几分之几是多少，用乘法。 【详解】（千米/秒） 8．1千克的是( )千克；5千米的是( )千米。 【答案】 4 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，因此，题中两个空都是用乘法计算。 【详解】（1）（千克） （2）（千米） 9．乐乐看一本90页的书，已经看了30页，已经看了这本书的( )，再看( )页正好看全书的一半。 【答案】 15 【分析】已知一本书是90页，已经看了30页，问已经看了这本书的几分之几，那么用已经看的页数除以总页数即可；全书的一半即为全书的，用全书页数乘，即为全书的一半是多少页，再用全书一半的页数减去已经看了的页数即可求出再看多少页正好看全书的一半。 【详解】 全书的一半即为，（页） （页） 即乐乐看一本90页的书，已经看了30页，已经看了这本书的，再看15页正好看全书的一半。 10．充足的睡眠和适量的体育运动有益于儿童的生长发育。建议小学生每天的睡眠时间应不少于一天的，小学生每天睡眠的时间应不少于( )小时。小学生每天体育锻炼的时间应不少于睡眠时间的，小学生每天体育锻炼的时间应不少于( )小时。 【答案】 10 2 【分析】①把一天的总时间（24小时）看作单位“1”，已知小学生每天的睡眠时间应不少于一天的，也就是求24的是多少，用乘法计算； ②把睡眠时间看作单位“1”，已知小学生每天体育锻炼的时间应不少于睡眠时间的，就是求睡眠时间的是多少，用乘法计算。 【详解】①24×＝10（小时） 即小学生每天睡眠时间应不少于10小时。 ②10×＝2（小时） 即小学生每天体育锻炼的时间应不少于2小时。 11．芳芳，小强，小明三人从甲地到乙地比赛跑步，芳芳用了小时，小强用了10分钟，小明用了0.2小时，( )是冠军。 【答案】小强 【分析】路程一样时，用时越少，速度越快，就是冠军。把三个人的时间统一成相同单位（全部换算成分钟或全部换算成小时），再比较大小。 换算方法：大单位换小单位，乘进率；小单位换大单位，除以进率。 【详解】统一换算成分钟 1小时＝60分钟 芳芳用时：×60＝15（分钟） 小强用时：10分钟 小明用时：0.2×60＝12（分钟） 10分钟＜12分钟＜15分钟 小强用时最短，所以小强是冠军。 12．两根长度都是a米的彩带，一根用来剪星星，用去米，还剩( )米；另一根用来剪花朵，用去它的，还剩下( )米。 【答案】 a－/a－0.6 （1－）a 【分析】米是用去的具体长度，用一根彩带的总长度减去用去的长度即可表示出还剩的长度； 把另一根彩带总长度看作单位“1”，是用去的分率，还剩全长的（1－），用总长度乘（1－）即可表示出剩下的长度。 【详解】两根长度都是a米的彩带，一根用来剪星星，用去米，还剩（a－）米； 另一根用来剪花朵，用去它的，还剩下（1－）a米。 13．小雨在计算时，把括号漏看了，这样算出的结果与正确结果相差( )。 【答案】//2.25 【分析】正确的算式，根据乘法分配律可变成，把括号漏看了，算式是，据此对比两个算式。 【详解】正确的算式： 错误的算式： 正确的算式比错误的算式多： 或或。 14．“人生得意须尽欢，莫使金樽空对月“出自诗仙李白的《将进酒》若一个酒壶内的酒正好能倒满8樽，每樽能装升酒，则酒壶有( )升酒。 【答案】 【分析】要计算酒壶的总容量，已知一个酒壶内的酒正好能倒满8樽，每樽能装升酒，总容量为8个升之和，用8×即可。 【详解】8× ＝ ＝ ＝ 因此，酒壶有升酒。 15．直接写出得数。                           【答案】；；；； ；2；； 【解析】略 16．计算下面各题，能简算的要简算。 （1）              （2） （3）       （4） 【答案】（1）；（2） （3）；（4）13 【分析】（1）从左往右依次计算； （2）根据乘法分配律进行简算； （3）先把0.125化成，再根据减法的性质去掉括号后，算式变成，再交换“”和“”的位置进行简算； （4）根据乘法分配律进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） 17．学校图书馆新购进一批科技书和故事书，其中科技书有240本。故事书的本数是科技书的，故事书有多少本？ 【答案】200本 【分析】把科技书的本数看作单位“1”，故事书的本数是科技书的。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即科技书的本数乘。 【详解】（本） 答：故事书有200本。 18．某小学有学生1680人，六年级学生占全校学生总数的，六年级男生人数是本年级学生人数的，六年级男生有多少人？ 【答案】 200人 【分析】把全校学生总人数看作单位“1”，六年级的学生人数占全校学生总数的，单位“1”已知，所以用乘法，用全校学生的总人数乘，求出六年级的学生人数；再把六年级的学生人数看作单位“1”，六年级的男生人数占六年级的学生人数的，单位“1”已知，用六年级的学生人数乘，即可解答。 【详解】分步计算： （1）求六年级的人数： 1680× ＝240×2 ＝480（人） （2）求六年级的男生人数： 480× ＝40×5 ＝200（人） 综合式计算： 1680×× ＝240×2× ＝240× ＝40×5 ＝200（人） 答：六年级男生有200人。 19．笑笑有60本课外书，其中科技书占，漫画书占，其余的是故事书，故事书占了几分之几？故事书有多少本？ 【答案】；本 【分析】把全部课外书看作单位“1”，先减去科技书、漫画书对应的分率，求出故事书占整体的几分之几；再用总本数乘故事书的分率，算出故事书实际数量。 【详解】 （本） 答：故事书占了，故事书有26本。 20．实验小学“双减”以来为学生提供了丰富的共享课程，开设的阅读、艺体、编程、劳动等课程深受学生的喜爱。参加舞蹈课的学生有35人，参加劳动课的学生比参加舞蹈课的多，那么参加劳动课的学生比参加舞蹈课的多多少人？ 【答案】人 【分析】参加劳动课的学生比参加舞蹈课的多，是把参加舞蹈课的人数看作单位“1”，参加劳动课的学生比参加舞蹈课多的人数＝舞蹈课人数。 【详解】参加劳动课的学生比参加舞蹈课多的人数：35＝7（人） 答：参加劳动课的学生比参加舞蹈课的多7人。 21．学校餐厅购回一袋玉米淀粉，第一次用了整袋的，第二次用了剩余的，第二次用了整袋的几分之几？请画出你的想法。并写出结果。 【答案】； 【分析】先画一个完整长方形代表整袋玉米淀粉，将其平均分为5等份，涂色2份表示第一次使用的部分；将剩余未涂色的3等份再平均分为6小份，取其中1小份标记为第二次使用的部分，据此画图。 把整袋玉米淀粉看作单位“1”，用1减去第一次用去的分率，求出剩余部分的占比；再把剩余部分当作单位“1”，乘第二次用去的分率，求出第二次用量占整袋的分率。 【详解】画图略； （1－）× ＝× ＝ 答：第二次用了整袋的。 22．球从高处自由落下，每次接触到地面后弹起的高度是上一次落下高度的。如果球从45米的高处落下，那么第二次弹起的高度是多少米？ 【答案】7.2米 【分析】将开始落下高度看作单位“1”，第一次弹起的高度是开始落下高度的，开始落下高度×第一次弹起的对应分率＝第一次弹起的高度；再将第一次弹起的高度看作单位“1”，第二次弹起的高度是第一次弹起高度的，第一次弹起的高度×第二次弹起的对应分率＝第二次弹起的高度。 【详解】45×× ＝18× ＝7.2（米） 答：第二次弹起的高度是7.2米。 23．深圳被誉为“中国公园第一城”，深圳公园分为三种类型：自然公园、城市公园和社区公园。据统计，截至2026年1月，深圳公园总数已达到1350个。其中，社区公园的数量约为公园总数量的。深圳社区公园有多少个？ 【答案】1080个 【分析】把公园总数量看作单位"1"，已知社区公园的数量占总数量的。求社区公园有多少个，就是求1350的是多少。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】（个） 答：深圳社区公园有1080个。 24．位于北京城市副中心的城市绿心森林公园一期部分有运河故道、东方厂址等36个景点。暑假里，笑笑一家去城市绿心森林公园游玩，第一天游玩了景点总数的，第二天游玩景点总数的，两天一共游玩了多少个景点？ 【答案】23个 【分析】把景点总数看作单位“1”，第一天游玩了景点总数的，第二天游玩了景点总数的。先求出两天一共游玩了景点总数的几分之几，再用景点总数乘这个分率求出两天一共游玩的景点个数。 【详解】 ＝ ＝ 36×＝23（个） 答：两天一共游玩了23个景点。 25．吃粽子是端午节的传统习俗之一。端午节前一天，乐乐一家在包粽子，妈妈包了36个粽子，乐乐包的粽子数量是妈妈的，乐乐包了几个粽子？爸爸包了24个粽子，爸爸包的粽子数量是妈妈包的几分之几？ 【答案】8个； 【分析】把妈妈包的粽子数量看作单位“1”，乐乐包的粽子数量是妈妈的，乐乐包的粽子数量＝妈妈包的粽子数量×，爸爸包的粽子数量占妈妈包的粽子数量的分率＝爸爸包的粽子数量÷妈妈包的粽子数量，根据“”结果用最简分数表示。 【详解】36×＝8（个） 24÷36＝ 答：乐乐包了8个粽子，爸爸包的粽子数量是妈妈包的。 26．“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。”这是李白《早发白帝城》中的一句诗。诗中白帝城到江陵两地水路大约长340千米，如果船第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了全程的，那么第二小时比第一小时多行驶多少千米？ 【答案】6千米 【分析】要求第二小时比第一小时多行驶的路程，用第二小时行驶路程占全程的比率减去第一小时行驶路程占全程的比率，再乘总路程即可。 【详解】 ＝340× ＝6（千米） 答：第二小时比第一小时多行驶6千米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 分数乘法 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、分数乘整数 1 二、分数乘分数 2 三、分数连乘 2 四、因数与积的大小关系（两个因数均不为 0） 2 五、倒数的认识 3 六、分数乘法实际应用 3 考点讲练 3 考点一：分数乘法的基本计算 3 考点二：分数连乘计算 4 考点三：倒数的认识 5 考点四：求一个数的几分之几的实际问题 6 考点五：连续求一个数的几分之几的实际问题 7 综合训练 7 知识梳理 一、分数乘整数 1. 意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算，也可以表示求这个分数的几倍是多少。 例如： 表示 3 个相加的和是多少，也表示的 3 倍是多少。 2. 计算方法 用分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变。 计算时能约分的可以先约分，再计算，结果必须化成最简分数。 3. 约分规则 约分是整数与分母约分，约分后的整数写在原数上方，约分后的分母写在原数下方，约分后再相乘，结果与不约分直接计算一致。 二、分数乘分数 1. 意义 分数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。 例如： 表示求的是多少。 2. 计算方法 用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 公式：（均不为 0） 3. 简便技巧 计算分数乘分数时，可以先交叉约分：将一个分数的分子与另一个分数的分母约去最大公因数，约分后再相乘，计算更简便，且结果一定是最简分数。 4. 注意事项 不能分子与分子约分、分母与分母约分；约分时要找分子和分母的最大公因数，确保约到最简。 三、分数连乘 1. 运算顺序 分数连乘属于同级运算，按照从左到右的顺序依次计算；也可以将所有分数放在一起整体约分后，一次性计算出结果。 2. 计算技巧 多个分数连乘时，把所有分子、所有分母分别汇总，先整体交叉约分，再将约分后的分子相乘作分子、分母相乘作分母，一步得出结果，效率更高。 四、因数与积的大小关系（两个因数均不为 0） 一个数乘大于 1 的数，积大于原来的数； 一个数乘等于 1 的数，积等于原来的数； 一个数乘小于 1 的数，积小于原来的数。 五、倒数的认识 1. 定义 乘积是 1 的两个数互为倒数。 例如：，我们就说和互为倒数，或者说的倒数是。 2. 核心注意 倒数是两个数之间的依存关系，不能单独说某个数是倒数，必须说明谁是谁的倒数，或者谁和谁互为倒数。 3. 求倒数的方法 求真分数、假分数的倒数：直接交换分子和分母的位置； 求非 0 整数的倒数：先把整数看作分母是 1 的假分数，再交换分子、分母的位置； 求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置； 求小数的倒数：先把小数化成分数，再求它的倒数。 4. 特殊数的倒数 1 的倒数是 1，因为； 0 没有倒数，因为 0 和任何数相乘都得 0，不可能等于 1。 六、分数乘法实际应用 1. 基本题型：求一个数的几分之几是多少 解题关键：找准单位 “1”，“的几分之几” 前面的量就是单位 “1”。 核心数量关系： 2. 进阶题型：连续求一个数的几分之几是多少 解题思路 1：分步计算，先以第一个量为单位 “1”，求出中间量；再以中间量为单位 “1”，求出最终量。 解题思路 2：先求出最终量占最初单位 “1” 的总分率，再用最初单位 “1” 的量乘总分率。 考点讲练 考点一：分数乘法的基本计算 【典例精讲】 计算： 【变式训练 1】 计算： 【变式训练 2】 计算： 【变式训练 3】 判断：一个数乘分数，积一定小于这个数。（ ） 考点二：分数连乘计算 【典例精讲】 计算： 【变式训练 1】 计算： 【变式训练 2】 计算： 【变式训练 3】 判断：三个分数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。（ ） 考点三：倒数的认识 【典例精讲】 求下面各数的倒数。 4 1.25 【变式训练 1】 判断题。（对的画 “√”，错的画 “×”） （1）因为，所以和互为倒数。（ ） （2）1 的倒数是 1，0 的倒数是 0。（ ） 【变式训练 2】 下面各组数中，互为倒数的是（ ）。 A. 和 B. 和 C. 和 【变式训练 3】 一个数的倒数是，这个数的是多少？ 考点四：求一个数的几分之几的实际问题 【典例精讲】 学校图书馆有科技书 240 本，故事书的本数是科技书的。故事书有多少本？ 【变式训练 1】 一根钢管长 16 米，用去了，用去了多少米？ 【变式训练 2】 六（1）班有男生 25 人，女生人数是男生的。六（1）班一共有多少人？ 【变式训练 3】 一袋大米重 50 千克，第一周吃了这袋大米的，第二周吃了这袋大米的。两周一共吃了多少千克？ 考点五：连续求一个数的几分之几的实际问题 【典例精讲】 果园里有苹果树 120 棵，梨树的棵数是苹果树的，桃树的棵数是梨树的。桃树有多少棵？ 【变式训练 1】 三年级有学生 180 人，四年级人数是三年级的，五年级人数是四年级的。五年级有学生多少人？ 【变式训练 2】 一本故事书有 160 页，小明第一天看了全书的，第二天看了第一天的。第二天看了多少页？ 【变式训练 3】 养殖场养鸡 360 只，鸭的只数是鸡的，鹅的只数比鸭少。鹅有多少只？ 综合训练 1．已知，下面的说法正确的是（    ）。 A．x比y少 B．y比x多 C．y比x多 D．x比y少 2．甲、乙两根绳子同样长，甲用去全长的，乙用去米，剩下绳子长度相比（    ）。 A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．一样长 D．无法确定 3．云云和文文一起做作业，文文完成作业用了25分钟，云云完成作业用了小时，她们俩谁做得更快些（    ）。 A．云云 B．文文 C．一样快 D．芳芳 4．甲、乙、丙三个数都大于0，乙数是甲数的，丙数是乙数的，甲、乙、丙三个数的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．乙＞丙＞甲 D．甲＞丙＞乙 5．一本200页的故事书，小丽第一天看了它的，第二天看了它的，第三天应从第（    ）页看起。 A．51 B．100 C．150 D．151 6．科学实验课上，做一次植物生长实验需要用纯净水，五年级的同学要做30次植物生长实验，一共需要准备（    ）kg纯净水。 A．6 B．16 C．18 D．50 7．声音在钢铁中的传播速度约是千米/秒，在水中的传播速度是在钢铁中的，声音在水中的传播速度约是( )千米/秒。 8．1千克的是( )千克；5千米的是( )千米。 9．乐乐看一本90页的书，已经看了30页，已经看了这本书的( )，再看( )页正好看全书的一半。 10．充足的睡眠和适量的体育运动有益于儿童的生长发育。建议小学生每天的睡眠时间应不少于一天的，小学生每天睡眠的时间应不少于( )小时。小学生每天体育锻炼的时间应不少于睡眠时间的，小学生每天体育锻炼的时间应不少于( )小时。 11．芳芳，小强，小明三人从甲地到乙地比赛跑步，芳芳用了小时，小强用了10分钟，小明用了0.2小时，( )是冠军。 12．两根长度都是a米的彩带，一根用来剪星星，用去米，还剩( )米；另一根用来剪花朵，用去它的，还剩下( )米。 13．小雨在计算时，把括号漏看了，这样算出的结果与正确结果相差( )。 14．“人生得意须尽欢，莫使金樽空对月“出自诗仙李白的《将进酒》若一个酒壶内的酒正好能倒满8樽，每樽能装升酒，则酒壶有( )升酒。 15．直接写出得数。                           16．计算下面各题，能简算的要简算。 （1）              （2） （3）       （4） 17．学校图书馆新购进一批科技书和故事书，其中科技书有240本。故事书的本数是科技书的，故事书有多少本？ 18．某小学有学生1680人，六年级学生占全校学生总数的，六年级男生人数是本年级学生人数的，六年级男生有多少人？ 19．笑笑有60本课外书，其中科技书占，漫画书占，其余的是故事书，故事书占了几分之几？故事书有多少本？ 20．实验小学“双减”以来为学生提供了丰富的共享课程，开设的阅读、艺体、编程、劳动等课程深受学生的喜爱。参加舞蹈课的学生有35人，参加劳动课的学生比参加舞蹈课的多，那么参加劳动课的学生比参加舞蹈课的多多少人？ 21．学校餐厅购回一袋玉米淀粉，第一次用了整袋的，第二次用了剩余的，第二次用了整袋的几分之几？请画出你的想法。并写出结果。 22．球从高处自由落下，每次接触到地面后弹起的高度是上一次落下高度的。如果球从45米的高处落下，那么第二次弹起的高度是多少米？ 23．深圳被誉为“中国公园第一城”，深圳公园分为三种类型：自然公园、城市公园和社区公园。据统计，截至2026年1月，深圳公园总数已达到1350个。其中，社区公园的数量约为公园总数量的。深圳社区公园有多少个？ 24．位于北京城市副中心的城市绿心森林公园一期部分有运河故道、东方厂址等36个景点。暑假里，笑笑一家去城市绿心森林公园游玩，第一天游玩了景点总数的，第二天游玩景点总数的，两天一共游玩了多少个景点？ 25．吃粽子是端午节的传统习俗之一。端午节前一天，乐乐一家在包粽子，妈妈包了36个粽子，乐乐包的粽子数量是妈妈的，乐乐包了几个粽子？爸爸包了24个粽子，爸爸包的粽子数量是妈妈包的几分之几？ 26．“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。”这是李白《早发白帝城》中的一句诗。诗中白帝城到江陵两地水路大约长340千米，如果船第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了全程的，那么第二小时比第一小时多行驶多少千米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $